La formule 2'"i« = se développera par le
du
procédé dont on a fait usage dans le n"*. %6^ ^ à Tégard de la fonction (e*— I )% et Ton aura les relations des çoefficiens des puis-
du sances de la quantité -7- A > qui tient ici la place de « , en écri-
dx
vant — m^ au lieu de n ^ dans les équations de la page 17. Il vient par cette opération
etc.
et on a par conséquent
y-+*A-'"+*+ etc.
du \dxJ \dx/ \dx/
changeant les puissances négatives en intégrale ^ d'après la règle prescrite dans le n"". 914, il en résultera
'tTu^ /««^x- + --/^-«^^''-» + -,^ etc.
ApptndiUf N
9? Q\{. \, Du Calcul
Si 1*00 change le signe des coefficiens affectés d'un nombre impaur d'accens, ou qu'on écrive
--T^r-'^^x-^-'+^tc.
A" les lettres.^'. A", A'", etc. dépendront alors de ces équations :
1 ^' 2.3^ 3^»3*4 ^•3*4'5 etc.
917. Examinons en particulier le cas où ;w=5i , dans lequel on a
2 z^= l/« dx ^Au +A'-^ h — ^'"— ^ h'+ etc.
A dx ax*
en observant que le terme — Af^'^udx"^"^ devient
^Ap-'u dx'''= -^Af^u d x'= — Au.
Les coefficiens A , A\ A", etc. donnés alors par les équations
etc.
s*évanoviissent de deux en deux , en commençant au troisième ;
DES Différences. 99
c'e$t-à-dîre, quon trouve ^''=0, -^^^=0, -^''"=0, et qu'on a par conséquent
I I du d^u d^u «
xu = Uudx — lu-\'A'—h—A'''-—h'+A^'—' A^— etc.
h 1 dx dx dx
918. On s'est beaucoup occupé de la recherche des coefficiens numériques de la valeur de 2m , etc. voici comment Laplace est parvenu à l'expression générale de l'un quelconque , indépendamment de tous ceux qui le précèdent. On a premièrement
en multipliant les deux membres par A, il viendra
-^=^+^.A + ^.A*+^,A3+^Ji^+ etc.
e* — I Cette série étant ordonnée suivant les puissances entières et positives de A y il résulte du théorème de Taylor que
I • X. • • ./Z uH
en observant de faire A=o ^ après les difFérentiations ; cependant si l'on effectue les calculs indiqués , les valeurs A , A,^ A^, etc. se présenteront toutes sous la forme de | : Laplace a évité pette difficulté par un artifice d'analyse très-ingénieux. La fraction
A A .1/ -- 7* . T* -Â — ^ —n. TT se décompose en -r-r rr î
de plus , il est visible que lorsqu'on fait A = o , on a
puisqu'il est indifférent d'écrire y au lieu de la quantité A ^ son multiple /y A qui s'évanouit en même tems qu'elle. On tire de là, toujours dans l'hypothèse de A = o ^
Nx
100 C H. I. Du Calcul
en faisant /; = ^ et g = nj on aura donc
i c — i) Ce +1
Si l'on donne à -j-^ la forme A(e*+.i)~', on obtiendra par
dh' dh'
1" dk' x" r/A" ^ dh' *
d'où Ton déduira
^A* 1"— I * dh'' '
équation dont te second membre ne devient plus ^, quand on y
met o pour k.
la formule du n"*. 107 , ■
+ ndkd"-\{c^+ I )-*+ A^\(e*+ I )-';
la différentielle ^A étant prise pour constante , il ne reste que les deux derniers termes du second membre , et la supposition de A=:o fait encore disparoître le dernier , en sorte qu'on a seulement
^{A(«*+ i)-'}=/2i/Ai/*-.(c*+ i)-% lorsque h~o^ ce qui donne
(<<-,iJ « <f-'(e*+ I )-' -n l<*+i/
« par cooséqu», A=,.^., (-^.Xx--) ■/*- '
Si maintenant on calcule les différentielles successives de la quan-
• r ' tité — j^ , pour en connoître la loi , on trouvera
''l,*+ij -^ "^l^+A—^^
= ■ , etc.
dh ~(e*+l)*' dh^ (e*+l)
DES Différences. ioï
et Ton en conclura que Ton doit avoir en général
"^XJi^i] ^,e<''-0*+ ^^g(''->)^+ J^e^»'-^)^ ... + etc.
.9, , B^^B^y etc. désignant des coefficiens numériques indépendans de h. n est d'ailleurs évident que le numérateur de cette fraction ne doit contenir que des puissances positives de t^, et que par con* séquent le second membre de l'équation
arl
doit s'arrêter à -ff„,e*; d'oîi il suit que si on développe le premier en une série descendante ^ ordonnée suivant les puissances de e% cette série doit aussi se terminer à e^. Or on a
(e*+ I )-'=«-*( I + e-*)-'=r*— -«-**+ c~^*—«-'4*+ etc.
^^'^j^J^ = =f{ *"*— i""'*"**+ 3"-*^"'*— 4"""'*"^*+ etc. } ;
le signe — se rapportant au cas oîi n est pair et le signe + à celui oii il est impair ; on obtiendra donc
q=(e*+ I )"{r*— 1— ^•*+3"-*e-'*— 4"^*«-4^+ etc.}
en observant de s'arrêter dans le développement du premier membre au terme multiplié par e^, parce que tous les autres doivent évi* demment s'évanouir. D'après cette remarque ^ il viendra
101 C n. L D cr Calcul
Si Ton divisé les deux membres de cette équation par (e* + i)% q.i'on fasse ensuite A = o, dans le second, il en résultera
— 4"^— 3"^/2+ 1" ' ^ . / -- -i^ ^^^^ -^ } +etcJ
t ifi 1.1.3 3
et enfin
etc. I
Il ne faut pas oublier que le signe supérieur convient au cas oii n est pair , et le signe inférieur a lieu dans le cas contraire.
Cette valeur ne peut être employée que quand /i> i , car elle devient infinie lorsque n=i ; et on prouve avec la plus grande facilité qu'elle s'évanouît dans tous les c^s où n est impair. En effet , par la formation des différences successives ( n"*. 860 ) , et en mettant à part les termes dans lesquels les facteurs de la forme (/i— /)— ' deviennent de celle-ci (—/')'""', parce que i l'emporte sur /i, ona
rp/2(« ^n)'*'"'=fc(n-T-/2T-r.l)'*"'
s=:(n^,y-* l(n^iy-^ +ltlS (/2^3)"^' ±(--1)-*
.1 i»i II. 1 j
etc.
mais comiiie il résulte de la formule du n"". 864 > qu^en général A".:t"*'=±o, les premiers membres des équations ci-deçsus s'éva^ 0 ouïssent ^ et les seconds donnent ^lors
DES DlFFÉREIfCES. I03
72, , n(n — ï) ^ nCn^^i) («-3)-'-- -(«-4 '"" + -\— ->--s)'-'...^3"-'--i"-'«+ -^^^ ^,
en ne comprenant dans les premiers membres de chacune de ces dernières équations que les termes où la quantité /j— i est positive entre les parenthèses des puissances /z— *k Cela posé^ il est évident que le numérateur de l'expression de j4^ renferme un nombre pair de termes lorsque n est impair ; si l'on substitue à la place de la première moitié dé ces termes , qui forment les seconds membres des équations précédentes , leurs valeurs , et qxie Ton fasse attention aux signes de la seconde moitié qui se déduisent de celuLdu dernier terme y on aura le résultat suivant :
-(«-3)"-'+ 7(«-4r '- -Vt-('*-5)'"' + • • • •
dans lequel les lignes placées à égale distance de la première et de la dernière sont composées de mêmes termes , mais pris avec un signe contraire ; er le nombre de ces lignes étant pair , leur assemblage sera identiquement nul ; ainsi ^nr=^^ 9 lorsque n est impair. Lorsque n est pair , le numérateur de J^ a un terme moyen exprimé
par ^[{-) -.-(--..) +-L— '(--,) -.etc.}.
et ceux qui sont placés à égale distance des termes extrêmes sont afièctés du même signe , en sorte que si l'on met à la place du dernier, et de ceux qui le précèdent^ jusqu'au terme moyen exclu* sivementy les expressions équivalentes
I , l'-^'A-n , 3'^'^i»-';2+ A 1 , etc.
il viendra , en réunissant les termes semblables placés à égale distance avant et après le terme moyen ,
Kn \"""* n/n x"*"* n{n—\)/n x""* \
fl
le signe supérieur ayant lieu quand - est impair, et le signe
inférieur lorsque ce nombre est p^. Soit fait - ànzp , et concevons
qu'après la substitution on divise par x le numérateur et le dénominateur de -^n, on aura
etc.
ce résultat étant or4onné par rapport aux puissances de p , p-^i , pwri f etc. prendra la forme
Il I.* ^\ 1.^.3 i
+ etc.
• Telle
nEsDlFFÈRENCES. 10$
Telle est l'expression du coefficient du terme général de la suite
i- = UA-^-AMAh^'+^ih^'^J.h' +-^a/*'+ etc.) ,
d'après laquelle on forme celle-ci :
A dx dx dx ax '
919. Si Ton fait u=x'* dans la formule de Tarticle précédent; on aura
S.a:"*=^- — + ^,a:"+u^.72a;«-'A + ^X/B— i)(ot— X>"-^4'
+ ^6/72(/72— i)(r»— i)(/7i— 3)(;»— 4K-'A'+ etc.
La série s'arrêtera toutes les fois que l'exposant m sera entier et positif} le dernier terme sera
si m est pair, et
si ce nombre est impain
En rapprochant ce résultat de celui que nous avons rapporté dans le n**. 898 , on jreconnoîtra l'accord qui règne entre l'un et l'autre. Si on» désigne par 35,, 5^^, 7^5, $Bj ^ n-^sj les nombres absolus, 7, jy i> 1^* ir etc. qui multiplient les termes de l'expression de la page 70 , à partir du troisième terme , on aura *
d'oii
€t comme la formation des coefficiens A , J^, A^, A^^, etc. est connue ;
10^ C H. I. Du Calcul
celle des nombres B^, B^, etc. le sera pareillement. Il est visible qu'on peut donner à l'expression de S •:«:"* cette forme :
i.3.4.5*6 dans laquelle
Ces derniers nombres ont été remarqués d'a]>ord par Jacques Bernoulli, qui donna le premier l'expression de Ht somme de ta suite i", 1% j%, •..«"*; mais il rfen connut pas la loi ; Moivre, dans s^ Misccllanca ana,lytica ^ indiqua la suivante :
etc.
Euler . trouva d'autres relations très-élégantes entre les nombres B^ ^ jff, , Bf^^ etc. qu'il nomma nombres de BernouUi ( numtri BtrnouUiani ) ; mais il n'en dé couvrit point encore le terme général qui se déduit facilement de l'expression de A^^ ; car de l'équation
il résulte ' . ' -5^^-»=
+ etc;
DES Différences^ 107
Exprimée par les nombres B^^ £^ , etc. la valeur <ie 21/ devient
I ^ I y^àuh d^u h^
+ ^5-r-T -T- — etc.
910. UÎTitégrale /i^i/AT qiii entre dans la formule précédente^ pourrok en être chassée au moyen de la série
/«rf* = ««— — --+-—:-— -—etc. (n». 485 ),
qui s'arrête aussi lorsque la fonction u a dans un ordre quelconque
des différences constantes; tpais on parvient directement à une
expression délivrée du signe/, par le moyen du théorème de Taylor.
qui, pour les. quantités «, , u^^ «î. ••«», antécédentes à u^
donne les séries
du h d^u A* J^u A^ d^u h^
«— -p-+ -T— 7-3 + -r—. etc.
dx 1 dx^i.% dx^ 1.2.3 «Jt* 1.2.3.4
du h d^u h\ d^u h^ J^u A*
dx I dx^'i.x "^ dx^ 1.2.3 dx^ 1.2.3.4
du h d^u A* A^u h^ -d^u A^ u—n—- - +^*T~; ^ T^ + ^in '■ — ^^c-
dx i dx i.i, dx 1.2.3 «* I.2.3.4
En ajoutant toutes ces valeurs ensemble^ on trouve
du h
X(;^=:ntt— (l + 2 + 3.. .. + 72)
dx I
!♦ *^ fl:r' 1,2
— etc.
désignant par Sn^ X^P^^'j *^^% ^^c. les sommes des puissances des
termes de la série i, 2, 3,,. .«a, on obtient cette formule
' ^ duh ^ d'u A» „ , iPu h^
xuz=:nu — Sn.^^ VSn^.-- — .J/z'.—-. , j- etc.
dx I dx^ 1.2 dx^ 1.2.3
io8 C H. I. Du Calcul
et on a pour déterminer Sn^ Sn^y Sn^^ etc. les équations Sn = xn + n\ Sn*=j:n^+ /z% Sn^=j:n^+n\ etc. ( n^ 897 )•
On rendra semblables entt'eux tous les termes de cette expression
de ^u y en observant que n:=Sn^y et on aura
du h „ d^u A* „ , </^« A»
^u:=zSn\u—Sn.- \-Sn',—— Sn^.—-z + «te.
dx .1 ax i.x dx^ 1.1.3
911. Sî on rapproche cette formule de celle du n\ 9191 on en déduira l'expression suivante:
lfudx=(Sn'+ i)u—{Sn + ^2?.)- -^+Sn.— ^ n I dx ' I • X dx
A» Va ^, A* d*u ,^, .„, A'' d^u
qui peut servir à calculer les valeurs approchées des intégrales ^ et qui se change en
fudx=^{Sx'+ s.)u—(Sx-\.iB,)—+ -y**-^-^
quand on fait A = r , et que l'on part de Torigine des x.
On trouve une autre expression Atfuix , qui ne dépend que des différences ^ en mettant dans le développement de l'équation
rrfudx=z- -
k'' ^ iog.(l +Az/>^
au lieu de ^a la valeur obtenue, n°. 911. En effet, cette équation ' donne par le changement de i^tT^ en 2;// et de lu"" en i^,
-/« ^:ir = r i/ + C,« + C,A 7/ + C,A'// + etc.
r, , c. , C3 , etc. désignant des coefficiens numériques faciles à obtenir, puisque ce sont ceux des puissances de A// dans te polynôme
{ I — i.zi,^ + jAtt*— J A tt^+ etc. }"•*. Cela posé, si l'on chasse ^u par le moyen de la formule citée, il viendra , en prenant A= i , ce* qui rend 4;'=jr, et se servant
DES Différences. 109
pour abréger , de la notation de Vandermonde ( n'*. 901 ) ,
/i^^^ = (C, + ^)«+(C,— [o][:r + i])Az^ + (i:5 + [o][A;+z])A-*i
+ (C^— [o][x + 3])A^i^+ctc.
Cette formule qui a été remarquée en premier lieu par Lorgna , peut être fort utile pour obtenir des valeurs approchées de fu âx par les différences de 2/ ^ ou les aires des courbes par les différences de leurs ordonnées équidistantes.
911. On étend sans peine l'expression de xu donnée dans le n^ 919 r 3^ c^s ^^ ^^^ 3 ^^=^'y f y étant une fonction quelconque de X , parce qu en intégrant par parties , d'après la formule du n°. 9 10 ^
d'y — as df ^y on trouve 2 a*y = — ^ ; substituant pour Ly la série
qui l'exprime 9 il vient
(a*— i)sa>=a'j.— a*| -sa'-f + ^^'~ + x^'^^ +etc. \
^ * "^ ^ \i dx i.i dx^ i,i,3 dx^ y
dy d^Y
Si , à la place de y , on met successivement ~ , --^ , etc. on
dx dx'^
trouvera les équations
(a*— i)2:a'-^=: a'^ — a*f * xa'^ + — s ô'^ + etc.| -^ ^ dx dx II dx"" 1 . 1 dx"" } .
(a*— i)ïa'-^^ = a'j^ — ^ J - S a'-4 + etc. [ ^ ^ ^;c* £/jc* ( I dx^ J
etc.
avec le secours desquelles on éliminera les intégrales
Il est visible que le résultat sera de la forme
dx dx dx
Euler détermine les coefficiens ^ , B , C, etc. en substituant dans
cette dernière équation les valeurs de ay , a'- ; , ^'-p^ , etc,
dx d x^
110 Ck. 1. Du Calcul
prises dans les précédentes. Par ce moyen on obtient Téquation
h dy a^h^ d'y a^h^ d^y
I (tx i,i ax i«l«3 ^x
+ C(a^— I WStf'--^ + etc.
+ etc.
qui , devant être identique , donne
A{^a^—l) +tf*=o
5(fl*— i) + ^^A + ^ = o
' (^*— I ) + -Ba^-\ Aa^ + =0
Z> ( a*— 1 ) + -Ca^-\ Ba^A ^ ^^*H = O
Cest par ce procédé qu'EuIer détermine aussi les coefficiens de la formule du n*. 9 1 3 , et Ton voit aisément qu'il peut s'employer également pour parvenir à la formule du n"". 864.
