Si dans l'expression
sPQ=QzP — A<2 2"*P, + A^Qs^P.— a'Q s^P, + etc.
obtenue n% 910, on remplace les différences de la fonction Q par leurs valeurs en séries , formées d'après le n**. 864 , et que nous représenterons pour abréger par
dO d^O ,d^0
a^ dx^ dx^
DES Différences. m
on aura
dx ' dx'
. — £^AXs<P,--«VP.+j3S'P,) + etc.
dx Examinons en particulier le cas oîi P=a*; il viendra pour ce cas
— ■ k or
a'- .. û*+* :^ . . , tf"*-^*
et par conséquent
sa'0= -=- a'—= V- a'-—\ < <t } h*
formule qui rentre dans celle du n"". précédent , lorsqu'on y substitue les valeurs des coefficiens «t , jg , . . . . <t', jg', etc.
En faisant us<|ge dans le cas actuel , ainsi que dans les précédens ,' de la considération des exponentielles ^ il faut prendre Q = c'; il vient alors
et dans la même hypothèse la série qui exprime s a'Q devenant divisible par a V , on a
{{a'^iy (a*— î)^"^(■^C::7)^J+''^^• équation dont le second membre peut être mis sous la forme
Il reste maintenant à développer le premier sous une forme analogue; pour y parvenir « il faut remarquer que
tfV— I (a*— I )<*+(«*— I ) (a*— i)— (<-*! ) *
1 1 i C H. I. Du Calcul
parce qu'il en résulte £]^ J I «-*— I («-'— i)» •»
= i i^-H — . .4. etc î < —
/;•{ I + + etc.}»
série qui prend évidemment la forme I { B B, \, { B' B', B\ \ ,,
et rentre par conséquent dans celle de la précédente. Si donc on y change les puissances de h en produits de la forme
h—^y k T^> c^c* et qu'on la multiplie par a% on auraiex-
' pression de sa'Q, d'où il suit que Ton peut écrire cette équation:
^(fy^
^f.dx
pourvu qu'on eh développe le second membre comme il a été
dy
dit ci-dessus; ce qui s'opérera en faisant pour. abréger —h-^ij
dx
et en réduisant la fonction -r en série ascendante suivant les
puissances de [.
I^e théorème de Taylor s'applique à cette fonction et donne
le coeffcient du n'"*' terme de cette suite, ou de i*"' , sera
»«al à — -ti*"'-? , en observant de faire { = 0
^prçs les difFérentiatioris ; il se déterminera d'une manière analogue
DES Différences. hj,
à celle dont'on a trouvé ^""'-r dans le n'. 918. On a en lefFet
3tf-*e-*+tf'"**r»'+,a"^*«-'^'+a~4*tf""^+ etc. .
tf*<* — I
par cette dernière série on trouve
aht*^^ I
multipliant le second membre de cette équation par le développement de ( âV — I )", pour le comparer au numérateur de la
première expression de ^^'-7-; f ^^ trouvera ^
— n rtC""*)*e^'*"»> :^»-»/îa^'»-3)*ÉC«-3)«j«-i;2aC»r'^)V*"'*>*+ etc.-
+etc.
=c,a<—^«(-")«+c,a(— *)*<(*-)'+<:,«<-«)*«<*-?)'. . . . +c;,dV,
d'oh on déduira '
/ , nf/ï — i) n(n — i)(n — 1)\ :,==:T:(4-'-3-»;i + i-'-i-^ L^i 1^^ etc.
Faisant ensuite 1=0 , dans l'expression de ^'""-j; , et se rappe-
lant qu'il faut remplacer ^'»""' par h'^'-j-^^ , on aura pour le terme général de la valeur de ^a'y^ cette formule
Appendice*
ÏI4 C E. l. D ir C A L c tr t
Il est visible que la valeur de xa^'y sera terminée toutes les fofs que y sera une fonction rationnelle et entière de x. Nous n'insisterons sur aucun cas particulier de cette formule 9 parce qu'il est trop facile de les déduire du cas général ; nous observerons seulement qu'elle ne peut servir quand ^-=1 : les dénominateurs des coefficiens s'évanouissent alors coiçme au commencement du n^. 91$ ^
puisqu'on retombe sur l'équation sj^=:
Nous ferons encore remarquer que l'équation Sia*y= > — ^
n'est qu'un cas particulier de cette autre plus générale :
donnée en premier lieu par Laplace. On y parviendroit par des considérations analogues à celles dont nous avons fait usage dans le n"". 914; mais devant la déduire dans le chapitre suivant de la même source dont ce Géomètre l'a tirée ^ il seroit superflu de nous y arrêter ici.
914. Nous n'avons donné dans le n*". 911 que l'expression de l'intégrale simple x^ ^ mail on peut déduire celle de s**!^ de l'équation
en y faisant A':^â , ce qui change x' en s , et avec l'attention d'en développer le second membre dans la forme suivante :
=(i + Att)-*" + — (i + A«)-— ' -H ^ ^ (i + Luy^^J^ etc.
puis d'écrire 1/ , à la place de l'unité qui forme le premier terme de chaque binôme et qu'il faut regarder comme tgnacit la place de (a«)%
DES Différences. iiç
et enfin substiiuer a^ ^ au lieu de àkU\ on obtiendra ainsi
- ^^ ^ ^ + etc.> [ A«/ï
+ etc.
^Quoique les séries qui multiplient « , Au, A*^ , a^u , etc. dans cette expression , se présentent sous une forme ift^nie , il faut néanmoins n'en prendre la somme que depuis Tindice * = o ,
jusqu'à l'indice j. Ccst ce dont on peut $c convaincre , au moins
pour le cas^/yi=si^ en comparant le résultat qu? donne alors la formule ci- dessus, avec celui qu'on déduiroit de ces relations:
^uz=u^, + u^+u^+ u^^+ etc
U AU+ A*U A'tt+CtC.
+u — iA«+3A*zf— 4AV+etc* + « — 3 AU + 6a*u — I oùPu + etc.
+ etc....... ..•.^...
fondées sur les n**. 897, 873,
Au reste 9 il est facile .de voir que la formule ci- dessus est plus cùrieu&e qu'utile ; je ne l'ai rapportée que pour compléter xe qui regarde l'analogie des pidssances négatives et des intégrales , et je ferai remarquer à cette occasion que l'équation
est vraie aussi dans les mêmes hypothèses; car elle devient A'^i^=z {( J +Aw)^i }"•, quand on fait f/:=^h.
925. Nous aurons peu de chose à dire pour le moment , sur la d'intégiter par approximation les différences. Ce procédé , I x{tt< MA analogue dansk Calcul intégral des différent idl es ^
11^ Ck. h DuCalcux
consiste à réduire les fonctions proposées en séries dont cliaque terme soit facilement intégrable. On attendra ce but toutes les fois qu'il sera possible de transformer ces fonctions en séries dont les termes procèdent suivant les puissances du second ordre ^ parce que ces puissances s'intégrent immédiatement ( a"", 901 )•
Supposons qu'on ait la fonction —, et que la différence de 'la
variable x soit égale à Punité , ce qu'on peut toujours obtenir en
substituant -- à a:. La fraction — - étant convertie en
h AT*
[*] + 3 [*3 + II [*] + «te- ( «'• 903 ) » aura pour intégrale cette suite
— [x] -- 1 [*] — ij!. [jc] — etc. + const. ( n». 901 ).
L'expression - échappe à ce moyen parce qu'elle renferme le terme [xj
dont l'intégrale se présente sous la forme — — — , semblable à celle
que prend la formule fx'^dx = , lorsque /» = — i. Si l'on
employé la valeur de 22^4 obtenue dans le n^ 919 , on trouvera
x+l /" ' ' i:«r+l l(Ar+l)* 4(^+1)^ 6(jf+l)'
résultat qui contient un logarithme*
Les autres valeurs de "zu fournissent aussi des séries infinies qui peuvent conduire à des résultats. approchés, lorsqu'elles sont convergentes. Celle du n"*'. 911 donne
43=W M M-[-^+ ^î M M + ^[^+ J m' W— ^- 3[^+ 3K<>] [A etc.
en prenant les valeurs de a[^] , à.\x\ , d'après les formules du r/. 902 ; ce résultât devient, après les réductions dont chacun dp
