XX X
+ etc. + cor? st.
x+i ' 2{x+i) 3(^ + 3) ' 4(*'+4) Cet exemple sufEt pour montrer ce qu'on doit faire dans tous les cas.
9x6. Fidèles au devoir que nous nous sommes imposé , de rattacher au plan de cet ouvrage tout ce qui, dans les traités de Calcul différentiel et intégral d'Euler 9 peut avoir quelqu'importance, par rapport à l'état actuel de l'analyse , nous allons rapporter une méthode pour obtenir l'expression approchée de 2 2^ , au moyen d'une éqttation différentielle du premier degré et d'un ordre indéfini.
Si Ton fait s «^ = ;[ , îl viendra « = a ^ , et on aura , par le théorème de Taylor , cette équation :
dx i dx"" i.x dx^ 1.2.3
lorsque la quantité A sera très -^ petite , ou que renfermés entre des limites connues et très-resserrées, les coefficiens différentiels
-r^ y -tA 9 -7-^ j ^*c. formeront nécessairement une série conver-
dx ' dx^ dx^
gente, on pourra terminer cette équation; on aiira alors une équation, différentielle du premier degré, à coefficiens constans, ' d'un ordre marqué par celui du terme auquel on s'arrêtera , et dont l'intégration feroit conrioître la fonction { ( n*. 649 ).
Il convient de remarquer que l'on peut toujours rendre la quantité A aussi petite qu'on voudra ; car .si u étoit fonction de x* et de A', et
qu'on y fît x=^ — , on auroit A = — ; mais il faudroit , pour
qu'on pût tirer parti de cette transformation , qu'elle ne rendît pas trop divergente la série des coefficiens différentiels.
Au lieu d'intégrer l'équation différentielle ci-dessus , pour en tirer la valeur de u , nous ferons usage de la méthode des substitutions successives. En négligeant d'abord les puissances de A , supérieures à
dt Ai la première , t>n aura « == ^ - , d'où {= jfudx. Soit pour abréger
1 1 8 C H. I. Du Calcul
^fu dx=iP y et posons r = P + /? A ; en substituant cette valeur fi
daps Tex pression de u^ nous aurons
dP h d^P A* iPP h'
j ^in — ^T^ 1- ^^*
dx I dx^ i.x dx^ 1.2.3 " ~ ^ dp h'' d^p h^ (Pp h^ i
dx I dx l.x dx^ 1.1.3
mais il est évident que la première ligne du second membre est égale à A P y et en se bornant dans la seconde au terme affecté de A%
dp I
on obtiendra u-^àPz^ — h\ d*oîi p^-^^ffù — /^P)dx. Faisons
encore -jrfii^ — ^P) dx=P\ et prenons p=,F+p'k , l'équation
„ dp A» d*p A» d^p A^
dx I dx* i.x dx^ i»i.3 deviendra
dP' A» d'F h' d^P^ A*
dx 1 dx* i.x dx^ I.X.3
dp' A' ^y A* dPp' k^
+ etc.
Ja? I dx* i.i //at; i.z.3
la première ligne du second membre étant égale à Aa?', on aura ^ en se bortiant au premier terme de la seconde ,
^^ù.P^h^r=dLh\ d'où p'==^'^nu^AP^hAF)dx.
dç^ n
Il est facile de continuer ce procédé , qui donnera
s u=:i=P + P'h + P"h*+ etc.
/>:= Ifudx , P'^j-f{u^^P)dx, r='^f{u^AP^hù.F)dx , etc.
Pour en montrer l'application , nous ferons avec Euler a=ax% A=?t ; il viendra
^'=/{-(^ + t)+^ + î. + t}^^=î^» ^^'=0, ft par conséquent
résultat qui s'accorde avec celui du n% 898.
DEsDlFFÉRENCES. II9
917. Lorsque la fonction u est de la fortne vy , on parvient à un résultat délivré du signe d'intégration > en faisant 'Zvy=^vi^ ce qui donne
en mettant y, à la place de v+ av , et d^où on tire
(dzk J'r A* ^? A^ .
'.{t^^+t^ +:r^ + etc. J.
ttfa: I dx* i.i tfjf^ 1.1.3 V
vy«^7Av:
En négligeant les termes multipliés par A ^ oti obtient d'abord
r= -^. Faisant — = i^ et 7=P+i>A, il vient ensuite
rfP A J^/> A» ^P A^
- tf a: I fl a:* I . X dx^ l • 1 . 3
./iAav — V,^ ^^^ ^i^ ^-Jl
<fjt I dx^ i.l ^x' 1.1.3 d'oîi Ton déduira , en raisonnant comme dans le n"". précédent ,
v,aP
— ^AAv=r,AP, et /r = —
Aav •
V aP puis on posera — -^— = /^j p — P'+p'hy
et en vertu de Téquation
(dp A* ^ye; A^ 1
— /;AAi'=y,AP + v,|-jL — +— ; + etc. \
Idx I </Ar I.l J
tfjr I dx^ T.i
+~— +-r^ + etc.
dX I ^AT* I.l
d*oîi on tirera —/A a v=v» aP', /^ — — 7—- .
Aav
La marche du reste de Topération est semblable à ce commencement ,^ et en la suivant on parvient à
svj. = vç = r { P + P'A + P'''A*+ etc. }
vy , v.aP ^, v.aP'
P= — , P= ' — , P'= z , etc.
Av* Aav ' Aav
928. En intégrant plusieurs fois de suite et par parties ^ chaque terme de la formule,
s"*? Q = QzP— A Qx*P,+ A*Q±'P.— A^Ç 2*P,+ etc. on obtiendra successivement les expressions de z^PQ, ^^0.9 ^^c, Taylor a donné celle de ï"*PQ, savoir:
^^V -r M T- ^A^QS"-»-^P,+ etC. ^ 1.2.3 ^ ^
Cette formule se vérifie facilement de proche en proche , en observant que les coefficiens de Q x'^JPy A Q s"'"*"*P, , etc. sont les mêmes que ceux des puissances de x dans le développement de (i ^^)""'", analogie que Ton prouve comme il suit : si on fait
jTPQ =^Q2'"P+5a Qs"*-*-'P. + Ca*Q2"^»P.+ etc.
et que Ton prenne la différence de çttte équation en n'y faisant varier que les fonctions ^ et Q^ on aura
aQS'^P.+ C
A^QL^+'P.+ etc.
parce que a.l"P<2=s'"-*P(2, et A.^r=JSrAr+ r,Ajr ; mais si Ton fait aussi
(i +xy'^zzrJ^Bx + Cx'+Dx^'^etc, on trouvera
{i+xyi'^-')={i+x)'^(i+x)=J+B x+C x*+etç,
Il suit de là que Ton passe de TfTQ^ à 2*""PQ , comme de (i + «x^)"* à (i+jc)"("*'"0; cette] correspondance ayant toujours lieu jusqu'au cas oh m=;= I , poiK lequel les coefficiens de xPQ et de (i+jr)"* sont identiques , il est incontestable que toute la suite des développement de SPQ, "z^FQ^j ^^PQ,y etc. sera semblable à cet égard à celle des développemens de (i +Jt)"'*, (i +a;)''*, (i +^)"~% etc. (*).
(*) Taylor démontre Immédiatement son résultat par des intégrations qu'il est aisé de reconnoître dans l'expression de 5;"*""'PQ et dNîfFectuer ensuite. Il est évident ^ue si l'on change m en m+i et qu'on écrive en conséquence -^„ S,J Ci- etc.
Nous
i> E s Différences. lii
Nous ferons remarquer en passant que par suite de l'analogie des puissances et des différences on auroit
-f --L il i A'Qii"*^jPj + etc.
929* Nous ne nous arrêterons pas au cas où la fonction u
■ ■ I^IW^i»^— »i
pour A^ Sj Cf etc. S"*"^iPQ, devenant alois 2"»PQ , on aura
^»=5i<, B»+^,=J?, C,+Bi=C^ etc. d'où A>4=D, A5=-.^j, aC=— 5., etc.
Là première de ces équations donne d'abord A^i^const, puis ^=1, puî^u^
i»=0 donne aussi /=i ; la seconde conduit à A JB=— i . £ = — > . à cause de
Szs=o , quand mjsz^ ; poursuivant de la mâme manière on obtiendra
Pour mettre p(u& d'uniformité dans la méthode» j'ai préféré ce procédé^ la considération de Tanabgie des puissances et des difFérences, si souvent employée dan» çç qui précède; en le suivant j'anrois rendu la^démonstration indépendante de celle du btnome ; mais j'observerai que l'on peut se servir de l'intégration pour parvenir çet^e dernière 9 sans tomber dans aucun cercle vicieux. Eh effet , si l'on prend
on aura A'=:A+ 1 ; B'=B-i^A , C:=:C+B , etc, A,4=i, ùBz:=iAy ^C==By etc.
en intégrant d'après le tJ*. 899 , qui ne suppose point la théorie des puissances , et faisant attention que Ay^^C^ etc. doivent ^trenuls quand }7z;^o, on obtiendra
^ x= — , X^^= "■ 9 w 3c: ' I y etc.
quel que soit l'exposant m. U seroit facile de donnera cette démonstration un/ forme purement élémentaire ; c'est ce qu'on peut voir dans l'Encyclopédie méthodlque ( Dictionn. deMath«aumot Vtnomt) et dan$ les HovaactéAçad. Pctropoiuanay ann, 1787.
renferme plusieurs variables ; nous nous bornerons à indiquer lef
formules
^^Ma^
( du du du !■*
qui résultent des expressions
:*-A+---A-f 7-/ + ftc. l
^* . dy d^ — I i ( n% 86$ )
f il il - F
lorsqu'on y chaire ^m tn ^^m^ tn vertu de ranalo^ des puîs^ sances négatives et de$ intégrales. Le lecteur familiarisé avec les dé^ monstrations que nous avons données des cas les plus simples de ces formules ^ trouvera sans ptine le moyen de les prouver un généraU
Application du ^jô. D^après l'équation ^f(j?j A)=Sf(:r^ A)4*f(:r, A) — €ônsu ^nccs* à* Ta som- obtenue dans le n^. 897 , chacune des fonctions intégrées dans ce qui nation des suites* précède s nous donnera la somme de la suite dont cette fonction
représente le terme général» Ayant trouvé , n"". 901^
nous en déduirons
c^"1 t/^] . rr^ t/^]-^C«-^OI>]
'mais
