III

pour les sommes des séries dont les termes généraux sont i.at/»— i], ».i.3[/»— O»' i.i.3.4t/'— 4]» etc«

ou

■ III ^ m4..U

/(/'+0' K/'+OO'+i)* /'(/'+ 0(^+ *)(/»+ 3)*

tl est bon d'observer que tput ce qui précède reposant entièrement sur le n^ 899 , peut être facilement ramené 1 s'il étoit besoin, à une forme élémentaire*

Toutes les séries dont le terme général pourra se décomposer en puissances du second ordre , soît positives OU négatives ^ seront gommées facilement paf ce qui précède^

93 î. La fraction ^—————^ que nous avons intégrée dan j le n% 905 j produit I dans le cas où At=ii ^ la série

on en obtient la somme ^ soit en mettant x^i ^ an lieu de x dans

l'expression ^———j^const. que donne intégrale, paria sup-

position de A= I ; soit en ajoutant à cette intégrale le ferme général ; on a par l'un et Tautre procédé

En égalant au premier terme ^ , ce que devient la somme quand Ar=i, on a cOnst.=% , d*oîi JT ■ ^^7*/ r == 1— ^^"^4 .

On se conduira de même dans tous les cas oii Ton aura intégré le terme général de la série proposée î mais , sans nous arrêter davantage à des exemples particuliers , parcourons successivement les divers résultats que donnent les expressions générales de s«»

932. Si dans la formulé Si{x,h)^x{(^x^h)^î{x^h)^const. ( nV 897), ou 5«^ = s«+« — canst. on met à la place de 2î«, les diverse expressions que nous avons obtenues jusqu'ici , on en déduira les principales formules qu'Euler a données pour la sommation des suites dans ses Institutiones Calculi Mffcrmtialis.

1% L'expression de 22^ du n% 912, en y faisant A=ti et en employant pour abréger la notation du n^. 901 , donne

Su:^{x^l)u-^lx^l'\lo']ù,u^^[x + ^]{o'\^'u^[x+l]^^^

+ [ -^ + 4] [ o J à^u — etc. — comt, i\ 11 résulte de l'expression de x k ^ rapportée dans lé n*. 919 ,

ti6 C H. I. Vu Calcul

. Lorsqu'on prend ic^ur", il vient par la dernière

—etc. *-*• const.

en remettant , au lieu des lettres B^^ S^, B^, etc. les nombre» qu'elles représentent , on a . cette valeur :

+ tiJLj^i ji|i »2Jl£/w}[i>«- •«-,,- etc. + const,

La constante arbitraire satisfera aux conditions relatives au terme d'oh Ton commence à prendre la somme. Si Ton veut ^ par ex^ple, qu'elle soit nulle en mdme tems que x^ la constante doit $tre nulle pour tous les cas oîi m est pair ; mais il faudra la prendre égale au dernier terme et de signe contraire, pour ceux oti m est impair, y. L'expression du n"". 9x0 donne

du h . dfu A* J^u

^ ' dx i dx^ i*a ds

4*. Enfin les expressions des n^'. 9T0 , 99:3 , conduisent à

^j^^'it^Pi^^'^'P.+H^'P,) + çtç.

Par les trois premières formules on obtiemlra la somme des suites dont le termr général es( une fonctfop rationnelle e| en^ère ^ tx p;(r

^ t> Ê s DtPféREKCES. Î2.7

les deux dernières celles des suites dont le terme général est composé de deux facteurs dont Tun eit une fonction rationnelle et en«» tière de i^ ^ et Fautre une fonction susceptible d'un nombre indéfini d^intégrationSi

93.3 « L'un des eas les plus simples de Cette dernière classe de séries est Qompris dans le terme général d^x"^^ appartenant à la suite

résultante de la multiplication terme à terme dHme progression par quotiens ( ou progression géométrique ) , par la suite des puissances m des nombres naturels. L'expression de Xa'y ^ du n"^. 913 » qui donne

•^ «*— . I dx («*—!)• dx* ("*— 0

•— « — 4 ^ . ' ' — - — î — L^jk. etc. + consh devient pour ce cas

«*— ï l (a*—!) ^ ^ ^ (tf*— 1)* f ,

. . . . . '> + const.

Si l'on veut prendre la valeur de Sa^x"^, à partir de xtt±o , il faudra déterminer la constante arbitraire , de manière à rendre nul , dafis la même hypothèse ^ le second membre de cette équation; on trouvera absi

Sa'x^rs^- — ^ a* — I

etc.

On voit par ùe^ îésultats particuliers que la constante tst égale à ce que devient , lorsque jrrsao , le dernier terme de la partie variable de Texpression , et doit être affectée du signe — .

L'expression générale de Say s^arrêtant toutes les fois que la

128 C H. l. Du Calcul

fonction y sera rationnelle eC entière , on pourra par son moyen

obtenir les sommes des séries qui résultent de la multiplication

terme à terme d'une progression par quotiens ( ou progression

géométrique } et d'une série dont le terme général sera rationnel

et entier, . Les suites

p\ 7" ?' "TXT"

que Ton rencontre fréquemment sont dans ce cas. Leurs sommes se dé«

duisent de Texpression de Sa'y , en y faisant d'abord A=;:?i , a= — ,

P puis successivement

y=-r, y=?= I y= ^, etc.

934. La formule S P Q^ Q(P+xP )^à Q ^^P, + etc, semble encore plus appropriée aux séries ci- dessus ^ à cause de la simplicité que présente l'expression des différences des fonctions

x{x+ i)^ ou [4;+ i], «^(^+1 )(* + !)> ou f:t+2j, etc.

En faisant P==:a* et Ç = [oJ[:c+/2 — 1], on obtient pour le cas général

+ [;2][r+ii^i]-— — ^, . , .d=ln]-j~^^+ çonst. Ce résultat est susceptible de plusieurs réductions ^ et notam-

ment de celles 4u façtçur çotaimun [o]^ avçc Içs facteurs

DES Différences. 1x9

facteurs [«], [n], etc. en les effectuant toutes il vient •î[o]a'[:r+/z— 71]= 1 a[p\ [x+n — i] — [o][:c + n— i]-— —

935. Si Ton fait P = [:c], et que Q représente toujours une fonction rationnelle et entière , on aura pour tous les cas où n sera un nombre entier positif et différent de l'unité ,

— a'Q; , ■ '•^ ? J TT + etc. + const,

résultat qui peut s'écrire ainsi : '

— A^Q[/z — s][*+3j — tic... + const.

en '

observant que [ ^ ] = ^^-^ , et en changeant les produits

(,.^n+i)( — «+2), etc. en puissances négatives du second ordre, conformément aux loix établies dans le n"*. çox. ^

Il est bon de remarquer que Ton peut rapporter à cette formule toutes les fonctions telles que

(* + i)(*+i)(*+5)(*+ii)*

dans le dénominateur desquelles les facteurs ne sont pas consécutifs ; et pour cela îl suffit de remplir les lacunes , en écrivant , tant au numérateur qu'au dénominateur, tous, les facteurs qui manquent dans ce dernier. Dans l'exemple cité on anive à

^(:r+3)Cx + 4)(:.+6)(^ + 7X^+8)(x+9)(x+I0) ^r^ . Ar ^\ .,-,%?'-.' (*+l)(r+i)(«+3)(*+4X;t+5)(:.+6)....(:i?+iO""^'- ^ ^^ '**'°-"-*J-

Apftndiu. . R

130 Cîï. l. Dt/CAict/L

La fraction — appartient au cas qui nôui ocdup^ i

car tn décomposant son dénominateur en facteurs simples^ elle revient à •; — — ^-— r* et faisant i;i;— i = ajt:'+ i , on a

I I Jt'+l

prenant donc nrsj ^ on obtiendrai

4x*+4x— 3 4(^' + 3) -^ 4L JL -r j

puisque a'Q = ô^

Si on repasse à la notation ordinaire , on trouvera

8(:f' + i)(Ar'+3)^ • •(ix+i)(l^+3)

936. Lorsque a est négatif, et qu^on prend A=ï, la série ^ dont le terme général est a'y ^ a ses termes alternativement positifs et négatifs , si d'ailleurs la fonction j^ conserve toujours le même signe ; Euler profite de cette remarque pour obtenir une formule propre à donner la somme desséries quelconques dont les termes sont alterna* tivement positifs et négatifSé II suppose tf = -«i^ et la séria proposée de

^y, a^^'yif ^"^y.s etc.

qu'elle éroit , devient

yf — y, > +yMf été.

réquation

(«* — i;' dx^

DES ^Différences^ 131

donne alors , en prenant A = i ,

• Les termes affectés des eoefficiens différentiels d'un ordre pair dispa* roissent dans cette formule comme dans celte du n*. 918; car en faisant ^ = — i dans le terme général de l'expression de 2 a*y j trouvée n*» 9x3 ^ U se change en

et nous avons prouvé dans le o"*. 91 8 ^ que le second facteur de cette dernière quantité s^évanouit toutes les fois que n est impair.

En la comparant avec la valeur de A^ » obtenue dans le même article 9 on l'exprimera par (1"*— i)^,^; changeant ensuite ;» en xp ^

mettant à la place de J^p , sa valeur sfc — — îti-. — , rapponée

wx nombres de BernouUi ( n% 9 1 9 ) ^ on aura sfc-^^ '^^' , et