Soit une série quelconque
dont le terme général .^,=: u ; si Ton pouvoir obtenir séparément la somme des termes affectés d*un indice impair^ on arriveroit facilement à celle de la série
puîsquen nommant S la somme de la série complète^ et S* celle de la série des termes dont l'indice est impair ^ on auroit
\ —1:/^,, — iJ^j —1-^5 —etc.
Si Ton désignoit par 5"^^ la somme des termes pris de trois en trois
dans lés suites proposées , on auroit
\ — z-^4 —1-^5 — 1-^8 — etc.
= ^^+^,—^^+^,+^4— ^5 +^^+^7— ^8+ etc.
On voit assez par ces combinaisons le parti que l'on pourroit tirer pour la sommation des suites de l'expression des termes pris à des
DES Différences. 13}
intervalles égaux dans une série quelconque ; or c'est ce que donnent
les formules
^''"ttzrs ; , S'"*i/=: n— ' ( n*. Q2< ),
{du i"** r A' y ^ y 1 J 9
en y faisant /w=i , A=r:i , et A'î:^i , ^=3 , =^=4 , etc. puis déterminant la constante arbitraire de manière à faire commencer la série partielle à tel terme que Ton voudra de la série complète.
La première formule donne s'«= -^^^ , et son développe-
t —I ment se déduisant de celui de Si/ ( n^ 919 ) , en y changeant seu* lement h en K^ il viendra
À .1 dx Z ajf^ 2.3.4
ajoutant ensuite le ternie général u , pour passer à la somme S^x , on aura
î î du k! d^u h!^ S'u=—/udx+-u+B,'- .5,y-3 — + etc. + C,
U 1 dx % ^dx^ 2.. 3. 4
C étant la constante arbitraire ^ et on tirera de là
Su — %yu=^l i^—-)judx /z+ — ' — i— î- —
\ h y 2 X dx
— ^^ —^ 7-1 + etc. + const.
quand A'=2, le terme fudx disparoît, et on a, comme dans le n^ 936 ,
Su—iS'u='^\ -tt+ —^ -J ^^ —^ T-^ +etc. [ ^êonst.
I2 2 dx ^•3.4 dx^ J
en observant de donner à 2/ le signe du terme oh Ton s arrête.
939. Parmi les cas oii les diverses expressions de .5«, rapportées dans le n"*. 932, ne se terminent point, ceux dans lesquels on obtient une série convergente méritent une attention particulière , car alors on arrive au moins à une valeur approchée de la somme des suites proposées. .
r J4 Cn, hDt/CALcui
La formule.
Stt=fudx + -u + —- -i — ^. etc. + eonst.
étant appliquée à la suh<r
1 II T
donne
;c XX %x* j^x^ 6x^
Cette dernière est d*autant plus convergente que la valeur de x devient plus grande ; mais avaftt d'en fkire usage, il convient de déterminer la constante arbitraire. On ne peut supposer a7:;3^o i et si Ton f^t x=k i ^
ce qui rend 5- = i , l'équation
I B, B. Br
z % 4 ^ qu'on obtient alors ayant pour second membre une série divergente ne mène à f ien. Pour parer à cet inconvénient il n'y a qu'à prendre x plus grand , égal à lo , par exemple ; et désignant j^ar J la quantité
^=;=-l 10 H ^— — **- 4- >■. p-T -z — "^— T- + etc. * cansu
% t9 %QQ 4OOOO 6000000
et on tirera de là
' çonst.T^A'^ - 1 10 f --^ -^ î — + etc.
^ zo 100 400000
et menant cette «pression en nombres , on obtiendra
^ofw/. = 0,5772156649615315.
Il est à propos de remarquer que cette valeur est aussi pelle 4e I» gérie divergente,
I B, B. Bc B,
mais il faut entendre ici par la valeur d'une série divergente h quantité dont cette série tient la place^ ou ce qui e^f la jEaêflie chose j
n È s DtfFÈRENCBSé IjJ
la Valeur de la fonction dont la série dirergente offre le développement ^ soit général , soit particulier.
Pour faciliter les applications de l'expression de i*-, aux diffé^
fentes valeurs de x , nous rapporterons ici les valeurs des huit premiers nombres de BernoiiUi , exprimés en décimales ^ savoir é
S, t:= Oyi666666666666 A =0^0333333333333 5^ ==0,013809523809^ ^^=0,0333333333333
Supposons à présent que Ton demande la somme des iooo premiers termes de la sériel +7+ j+ etc. on trouvera, en faisant Jt:= 1000, que .pour avoir cette somme avec treize décimales , il suffit de calculer les quatre premiers termes de l'expression de S- ^ et en observant que le logarithme népérien de lô est 2,301585091994045 ( introd. n**. 14 ) , on aura
pour Vx == r 1000 ;= 6,9077 5 5 178981 1 ^ pour 4-î =• ^!=+ 0,000 5 000000000
IX
=: + o,ocooooooooooa
•f const. = + 0,5771 1 5664901 5 ;
ce qui donnera
i+T- + Tôb= 7^4849708605 503, résultat qui fait; voir avec quelle lenteur marche la série proposée ^ quoique cependant la somme totale ou la limite en soit inHnie ,
puisqu'elle se réduit à 5- =:la:^ lorsque x est infîoieé
Si Ton preod pour x un nombre très-grand , le premier terme et la constante suffiront seuls pour donner une valeur très-approchée de la somme entière de la série ; on aura donc
on aura à plus forte raison
i|ï II I .-.^
I + -+7- . . • + - + — — . . • . + — — =\{x^y)^C\ 23 X x-\'\ oç\y
retranchant la première série de la seconde y il viendra
formule qui peut être utile pour trouver les logarithmes des nombres un peu considérables. On la rendra plus exacte en introduisant dans la somme des séries ci-^dessus quelques-uns des termes qui suivent \x et 1(^7 + ^) ; on obtiendra de cette manière
II I W V. f I I
4{x+yy 4x^ etc,
et toutes les fois que Ton pourra négliger les termes divisés par les puissances (^ + y) et de x^ supérieures à la première , on aura
\ ^ / X'J^i x+x ^-vy i^x x-^-yy
