ÔJC

+ etc. + C.

138 C H. I. D u Ca L C U L

Cette $érîe devient très-convergente lorsque x est un peu grand ; et on peut se servir utilement de cette propriété , pour déterminer la constante C^ comme.dans le n?. 939. Si l'on fait par exemple /w=i ,

^-i — + — ; r+>zr ^ + ctc. + C,

. ^ X xx"" x^ xr x^ ' .

et posant jt = i o ^ on obtiendra

i + — +—...+ — 7=^ + 7-^+ etc.+C,

d'où l'on tirera

en poussant la série du second membre jusqu'à son dixième terme.

Une circonstance très-digne de remarque , c'est que la valeur de C^ à quelque degré d'exactitude que l'on porté l'approximation , se

trouve la même que celle de --- ^ ^ désignant le rapport de la cir*

conférence au diamètre ou la demi-circonférence du cercle dont le rayon est i , et que la transcendante tt entre aus» dans l'expression de la constante relative aux séries dont les termes gêné-

raux sont — • —r • etc. En attendant que nous démontrions ri-. x^ ^ x^^ ^

goureusement la vérité de tette assertion , par I9 considération des

produits composés d'un nombre indéfini de facteurs 9 on peut au

moins la vérifier par approximation et de proche en proche ^ sur les

séries indiquées précédemment.

Si Ton calcule aussi les valeurs de la constante dans les séries

dont les termes généraux sont -7 > -7 > etc. et qu^on les com«

pare aux puissances ir^y v^^ etc. on aura , en portant l'exactitude à seize décimales et en observant que la constante donne la valeur de la série lorsque x est infini ,

DES Diffère NCÈi. i\^

t+ — +etc.= i,644934o66848zi64=- ^ — = — '- ^r*

» + —+etc.= 1,202056903 1 595942= 9r?

> + — +etc.=i,o36927755io68632=^ w^

ï+ r6-+^^c.= i,oi7343o6i984449i= == 1 — »♦

i+77+etc.= i,oo83492773866oi8=-- — î or^

I W* 2'jff

i + ^+etc,=i,O04O77356i979443=:=. = î — x«

ï + —+etc.= 1,0020083 928260822= ' îT»

i + — +etc.=i,ooo994575i278i8o=— ^ =i!£2^-

.^* 935Ï5 i.î-.io

etc. . ^

643. n est bon de remarquer que ces valeur? donnent aussi lei limites des séries

' + Î-Î+ ;^.- f^»+ f^5- f i?,+etc^r,zoxo...

' 1+— ^^-ff ^^ ff I 7.8 y, 9.10 „. if^,

3 » i«3 1.3 2.3 ' 1.3 -o,+etc.---— ^ — »♦

,il ^ ■ 3«4»5 p 5'^'7 a . T-^.ç 9I10.11 „•

'+4 i^"iTT '""1:7:7 '"^"^TiTT^ — ^-j:^:^B,^,,c,^i,oy6^„.

etc.

qu'on obtient en faisant jr = 1 9 et successivement

/w = 2 , iw = 3 , /«=«4, 'w= 5 , etc. dans la série dont le terme

général est —,

Sx

140 C H. ï. Du Calcul

Les mêmes valeurs conduisent aussi à insérer un moyen entre chacun des terines de la suite

B., B^, B^, B^y B^, etc. • c'est-à-dire > à trouver les expressions des quantités qui seroitnt représentées par

B^y Bj^y Bç, S^^ etc.

En efFet, B^ et B^ répondant aux séries 1 H — ;-+ etc» et i -^ — j-+etc^

B^ doit répondre à la série intermédiaire i + — + etc. et d'après

la loi , suivant laquelle sont formées les limites des deux premières ,

on doit avoir y pour la troisième , — t^ ; on conclura de là

=- ^= 9r% ou -ff »= y =s 0,0< 8 %K XVJ

on arriveroit de même à ^4 , B^y etc.