Soit encore ta série dérivée de » = — -- — ;-, on aura
/l^=larc(tang = ^) ( n% 366 ), et si Ton prend j^ = arc T cot == - V il viendra
<f y 1 i^j^ sîn j^ cosy dy sin i j^
dx'=-^^Ti- • àm-^ — r = : =^ ^ ' 'S
. ^ . ^«^ sinv'siniy - . ,
d'où on conclura — — =^-5 — — \ on obtiendra ensuite
àx IV
d^u ^^yi sin^cos j^ sin 1 3^ -t- sinj^*Cos xy y
dx fl.
d^u x(sinj^*cosjrsini^-t- sin j^^cosiy ) g sin j^^sin 3 y ^
on trouvera de même
d^u 2.3sinysin4j/ d^u 3 . 3 . 4SÎny sin 5 y
DES DiFFéRRNCBS. I4I,
et Toû aura par conséquent
B^ siny'Snngy 6 • /i'
Pour appliquer cette série à des cas particuliers ^ il faut aupa* ravant en déterminer la constante C. Il semble d'abord qu'on peut effectuer cette opération ^ en partant de la supposition de ji?=o ^ de laquelle il résulte yrts^T^ sinj^=i , sinajczro, $in4^=o, etc.
et par conséquent |-C=»o, ou C=— — j-; mais cette va-
leur de la constante n'est pas complète , car si on faisoit x infini , ce .qui donneront j^r:i:o , on trouveroit pour la limite de la série proposée
— + C, ou -> tandis que nous montrerons dans la suite
272 an in
que la vraie valeur de cette limite est ^ +
%n xn ^nT
Nous expliquerons alors à quoi tient le paradoxe que nous
faisons remarquer ici, et dès à présent nous prendrons en
conséquence C=— •— H — ; parce changement Tex-
pressioa de S -^ -^ deviendra applicable à tous les cas.
945. Occupofis-nous maintenant des séries dont le terme général est une fonction transcendante ; soit n^=:\x^ nous auroirs
Slx^x\x'^x+-lx+ i-^H 2^-r etc,.+ C,
2 i,2ar i^^ ^.6jir '
en observant que /dx\x=^x\x — x ( n% 425 ).^-
On ne sauroit encore ici déterminer la constante en faisant ^=1 ,
parce que le second membre n'offre alors qu'une série divergente ;
mais en faisant ji:=io, calculant la somme, des dix premiers termes
de ce membre ,. et l'égalant à celle que donnent les logarithmes
népériens des dix premiers nombres , on trouvera
141 C V, l. p ir C A L C V L
à moins d'une unité décimale du troisième ordre , valeur ^ui sera par conséquent la limite de la série divergente
L'expression 1= i.3.3.î-5.7.A9.9-"-y-^*=- ^
que Ton doit à Vallis, et que nous déduirons dans la suite d'une
. , conduit à la vraie
Kl X*
valeur de la constante C. Pour cela il faut observer qu'en passant aux logarithmes ,et s'arrêtant à un nombre x de facteurs , on obtient
f ili+zl4+il6+xl8 + xlio....+ if(i*— 0+^** 1 ff— Il = |i 1— il 3— il 5— 1I7— il 9. . . .— il(i «— 3)+ (**— 0
et qu'en prenant les Umites dans la supposition de x infini, on trouvera par le moyen de l'expression précédente de 5 1 *
li+lx+l3+l4+l5..-+^'=^+^ "'^^^l''"" *
llétranchant la troisième série de la seconde , il vient
h +I3 +I5 +I7. , . . +Ki*'^0=*l*^+ (*+ «)^^-^^ » d'oîi l'on conclut
ah+ xl4+ 1I6. . . +xl(xaf— x)+ix* .\—\ Z-.^1*--ir^^-LMx4- 1*
xli— »l3— 1I5»..— iK**— 3)+*Ki*— OJ .1 -^*'* x(x+jix+i*
et comaw le premier membre de cette équation est égal à iT—l» , on obtient , d'après la réduction du second , U -. 1 x = * C— x 1 * ,
d'oîi C=i(W+li)=llx^ = l/^, ^ résultat bien remarquable et d'après lequel on a
On rendra cette équation propre à un système quelconque de lo-r garithmes,enmultipliantparlemodulele$termes-^, --^, Çtc. dans lesquels il n'entre point de logarithmes.
I? £ s D I F F È R. E NC E S. Î4J
946. Proposon$->nouç pour exemple de trouver la somme des logarithmes des 1000 premiers nooibres des tables , c'est-à-dire , la valeur (}e li+l i+13....+1tooo. La caractéristique 1 désignant ici des logarithmes ordinaires , dont le module sera pour abréger représenté par Af ^ on aura «= 1 000 ^ d'où on conclura
x\x s=z 3000,0000000000000 + ^1ji:= i,ç 000000000000
+ jllîr = 0,3990899341790
— Mx =— 434,2944819032518 MB,
MB.
résultat ^ «2567,6046442221328 :
tooo /
mais I1 + I2 + I3 + 1 1000= 1 • I • 2 . 3 • • . 1000= 1 [ xooo ] ;
il s'ensuit que 1 [ 1000] = 2567,6046442221 328.
lOCO
L'on apprend par là que le nombre [looo], dont le calcul est presque impraticable , doit avoir 2568 chiffres , et que les dix premiers chifires sur la gauche sont 4023872600 ^ en sorte qu'il est compris entre les nombres qui résultent de 4023872600 et de 4023872601 j suivis chacun de 2558 zéros. Cette connoissance suffit dans beaucoup de recherches , où l'on ne demande que les rapports des produits de grands nombres ; et dans ce cas la valeur approchée de ces rapports devient précieuse par l'impossibilité où l'on est d'effectuer les calculs nécessaires pour arriver à la valeur exacte. La longueur de ces calculs devient alors un obstacle aussi insurmontable que la difficulté d'exprimer rigoureusement une fonction transcendante. Laplace a beaucoup] étendu cette recherche , dont ks applications sont très-fréquentes dans le calcul As probabilités , mais comme il s'appuie sur des considérations différentes de celles qui nous occupent maintenant , c'est plus bas que nous rendrons compte de ses travaux sur ce sujet.
947« En suivant Euler , nous allons montrer comment on parvient à
144 C H. I. Du Calcul
trouver le coefficient quelconque d'une très- haute puissance du ])inome et le rapport que Tun quelconque des termes de cette puissance a avec la somme de toys ceux qui la composent.
Le terme général du développement de (4+ *)"* étant [/wJCoJd"""^*, son coefficient [/»][o] peut être ^changé en
et passant aux logarithmes il vient
n — n m n m^tt
IM[o] = l[m]-l£«]--l[«-«]; or on a par le n". 945 ,
1 [ m ]=ih,r+( m + i )l/n^iB+-lî ^H—- + -L, etc.
1 [ n î=ili^+( n + i)l„^^+-^ A— + --% etc.
jfi— » ^ jj
l[/n— «]s=ilaff+(m— rt+i)l(/«— «)^OT+»+--^-;— -— J '3 + etc.
çe qui donne
+ etc»
Lorsque l'on fait ii== — , quand n «st pair, on tombe sur le terme <j[ui occupe le milieu du développement de la puissance de ^ + ^ »
Fini
tA qui est affecté de a"**} son coefficient est exprimé par i— J ,
le
jy E s Différences. 145
la formule ci-dessus donne pour son logarithme
irt
(Tniy i.i.in 3.4.1V 5. 0.1 72
*^- + ±V - -^V+ etc.
expression que Ton peut changer en
in
SI Ton passe des logarithmes aux nombres , on aura
Il est facile maintenant de développer cejte série suivant les puissances de /r , en substituant à chaque quantité exponentielle la série qui lui est égale ; mais nous n'effectuerons point ce calcul , parce que la forme logarithmique est la plus commode pour les applications.
Si Ton se proposoît par exemple d'obtenir le rapport du coefficient mo)ren de la puissance m du binôme à la somme de tous les autres , on feroit ^ et *=i , d'oîi {a+ty^=x'^i le logarithme du rapport cherché auroit pour expression
V/^ i.2»2/2 ^ 3.4.2V 5.6.aV
En prenant , par exemple , ân=ioo y on trouvera par cette formule le rapport de i à 0^0795891.
948. Soit u = 0>'i la formule S u ^=^fu ^at + ^ « + etc. donnera
Wa Si % 3»3*4 2.3.4.5.6^ ' J
En faisant 5<i';=io, lorsque jc=o, on trouvera
Cl<« a a 3.3.4'' '^ 3.3.4.5.6^ ^ J'
^ppgndlup T
M^ C -a, l. D u C A L c tr L
et on aura par conséquent
U^ 2 2 fl-3'4 12. 3.4. 5^6 ' j
maïs on sait d'ailleurs que. S a'^^sz i i- ( n% 935 V: on con-
dura donc de ce qui précède que
42 1 Itf 2 3 2,r3,.4^ âF.3»4.5.6 ^ '
d'où on tirera
ViZ— 'I 3/ 2 3.3.4 2.3.4.5.6^ '
équation dont le premier membre se réduit à — ^— , et donne y
comme on voit , la somme d'une série très*remarquable,
