Si Ton prend tt=^sintf jt^ on obtiendra, par la formule

i^ « =s/tt ^ JT + 7 « + etc.

S sxt\ax::='^ --cosax + sinax-\ •costf :i: + cos ax

+ ' —cosax + etc. + C

Dans le cas où jr=îo, on a Ssmax=b^ d'où il suit

C— ' ' 7 etc.

tt paB-conséquent

Mais puisque ssintf:v= ^ > , ( n*. 908 J , il vient

. * ar sin -j d

fsin

41 AT =^— ^^— : ^— ^ + sin ^ x + const.

2Sin^â

costfjccos^tf— sîntfxsin^tf cosfir 2sin7a 2sin~<*

COS^tf (l— COStf Jt)

^sintf X + T-^ ,

* 2Smrtf

DES Différences. 147

en déterminant la constante pour que cette dernière expressioti de S sinax s'évanouisse , ainsi que la première , lorsque a; = o« La comparaison de Tune avec Tautre donne

cosftf , . I B.a B.a^ Bti^

' =:^cot^tf = • 5 î ^— eic.

isiujà * ^ a X i*3*4 1.3.4.5.6

On parviendroit au même résultat en partant de S cosax. 950. En général^ si dans les formules

xsin {p + jx) =— ^ . ,— 7 "' + const.

2 sin 7 f A

on change x tn x + h^ et qu'on détermine ensuite la constante arbitraire^ de manière que les résultats soient respectivement sin^ et cosp lorsque x=iOj on aura

La formule 5PQ= Q(P + 2P)— aQs»/>.+ etc,

conduit au même résultat que celui qu'on déduiroit des expressions du n"*. 909 , et donne la somme de toutes les séries dont le terme général est le produit de sin{p+ qx), ou de cos (p + qx) , par une fonction rationnelle et entière de jv- ; et pour étendre ce procédé aussi loin qu'il peut aller ^ il ne faut pas oublier que toute fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus se ramène à des sinus et à des cosinus d'arcs nnilciples.

951. Il paroit difficile au premier coup d'oeil de trouver ce que deviennent les expressions de Ssin(p -h qx) et de Scos(^p+qx) ^ lorsqu'on y suppose x infini; car on ne voit pas quelles peuvent être, dans cette hypothèse 9 les valeurs des fonctions cos(p +qx+jqk) et de sin(/7+?^ + if A) , qui pourtant ne sont pas susceptibles de devenir infinies, puisque le sinus et le cosinus ne sauroient surpasser le rayon. Cette difficulté, agitée d'abord entre Daniel BernouUi et Euler , paroit avoir été suffisamment éclaircie par Lexell

(^ Nori Comment. Acad. Pttrop. T. XVIII ).

148 Ch. L P V Calcul

Il faut observer premièrement que la série

s\np + sitï{p + î)+sîn(/? + i^).,, . + sin(/7+ qx}

est périodique , c'est-à-dire , que ses termes redeviennent successï» vement les mêmes , et qu'en conséquence les diverses sommes par-r tielles deviennent nulles , à la fin de chacune de ces périodes* En effet , l'expression de 5 (/> + y a; ) , qui se réduit à

^^ isinjf 2Sinjf

lorsqu'on prend A= i , s'évanouit pour toutes les valeurs de x données par Téquation

dans laquelle xm^ désigne un multiple quelconque de la circonférence du cercle dont le rayon =:^ i • Si 4e rapport de ^ à ^ est celui de deux nombres rationnels y on aura évidemment une infinité de valeurs de X , pour chacune desquelles l'expression de S (^sïn p + q x y s'évanouira.

Cette expression étant ainsi susceptible d'un nombre indéfini de périodes ne sauroit avoir de limites déterminées ; mais il est important de remarquer que si l'on prend le milipu entre les différens^ résultats que l'on en déduit pour toutes tes valeurs dt x , on tombera sur une expression dont le développement en série sera iden^ tique avec la proposée. Pour cela on fera successivement

dans S(p + qx)y et on obtiendra

Cqs{p + iq) ^ COSip—iq)

isin^q isin^^

COS(p + iq) ^COS(p—^q}

ISm^î ISlïïjq

COS(p + iq) ,COS(p—iq)

asinfy xsm-q

ZOî{pA qy ^

■ ■ ' " -^ ■ "» ' ' ■ * 2sin~^f xiva^q

DES DiFFÈRENOES. I49

la valeur moyenne résultante de ces valeurs particulières dont le nombre est /t+ i , sera exprimée par la série

La somme de la série , renfermée entre les accolades , s'obtient en écrivant /74--J- y, à la place de p^ dans l'expression deScos(p+qx) et en y faisant x=n et h= i , ce qui donne

sin {p+(n+ i)q) sinp cos(/?+ (~n+ 0?)5Înv(^+ Of

2sin-^7 isin-^^ sin-^q '

quantité nulle dans l'hypothèse actuelle, puisque -rin+x^q est un multiple de la demi- circonférence : le résultat précédent se réduit

donc à — '■ — : — j-^; — . Telle'est l'expression que Daniel Bernoulll

1 sm ~q '

regardoit comme la somme ou la limite de la série

sinp + s\n(^p + q) + sin (/> + 2 j ) + etc.

continuée indéfiniment , mais qui n*en est , à proprement parler , que le développement ( Int. n". 4 ) , ainsi que Ton peut s'en convaincre, en formant Téquation

-^ f~ =sin/>-f sin(p + q) + sin(/7 + 2^) + etc. 2 sm — ^

de laquelle on tire d'abord

cos(^ — '-q)=:isit\psin^q+isin(p+q)sin{^+ isîn(^+ 2f )sîn^^+ètc*

puis

cos(/^— ^î) = cos(/^— ^î) + cos(/^+^f) + cos(;^ + |^)+cos(/i + iy) + ctc

— cos(/; + ^î)— cos(/^ + ly)— etc.

en mettant pour les produits de sinus leurs expressions connues ; les deux membres de ce résultat deviennent identiques , abstraction faite du dernier terme, ainsi que cela arrive dans le développement des fonctions en séries divergentes ( Im. n**. 5 ).

Cette dernière transformation donne un moyen aussi élégant que facile de parvenir à Texpression de Ssm{p-hfx). En ef£et, si on multiplie par 2 sin ~- ^ les deux membres de Téquation

Ssin{p+qx)=sinp+sin(jf+q)'^sin(jf+iq)....+sin(p+qx),

1 50 C n. h D 1/ Calcul

elle devient xsiaiqSsin(/f+qx)=

isîn/jsinf ^+ asin(/»+y)$in i y+isin(;»+ 1 j) sin j^. . . . + isin(/!+îJf)sin|^,

et se transforme en xs\a-^qSsin{p+qx)=:

COsXF—T^)-hCOi(p'i--^q)....+COs(p+(x-—i-)g) V

d'oïl l'on conclut

^^ ^ ^ isin-f j

951. En appliquant à l'expression de 5*00$ (/^ + fjc) et à la série

cos/y + cos(/7 + j)4- cos(/?+ iy) + cos(/>+ 3 j)-h etc.

les raisonnemens et les opérations du n^ précédent, on parvient à des conclusions analogues. On trouve d'abord qne la valeur moyenne de toutes les sommes particulières déduites de

donne la quantité

. V . "^"7 rT-T-{sW/'+îî)+sin(/^+l^)...+sinf;^+ )^ }.

z(/2+i)^inî-f i(/z-Hi)sin^f ^ ^ \ 1 /

La somme de la série comprise entre les accolades se tirant de l'expression de Ss\ïi(^p'\'qx^ , en y changeant p en /^+ \q , et en y faisant A=i , ^=n, est

cos/y cos(/y + (n + i)y) sîn(/y + 1 (n-t- 1) g) sin x. (/24- t)q isin^f isinî^î sin^^

et s'évanouit nécessairement lorsque l'équation («+ i)f =iwt a lieu.

sin(p— «y)

On a donc encore dans cette circonstance r—, ^;et on

z sin ~ ^

prouve que le développement de cette fonction reproduit ©n effet la

série proposée, en multipliant par isin^f les deux membres 4e

Véquation

^ SI Ti{p— \ g) ^^^ + cos(^p + g) ^ QOs{p+ %q) + eto

qui devient alors — sin(/— ?î)=isin^ jco$/^+ % sin^ g co%{p+g)+%ûn rîCos(/^+ Xf)+ etc..

DES Différences. 151

se change en

— s\n{p + îî)— sin(;? -H \q) — etc.

lorsqu'ou y met pour les produits de sinus et de cosinus leurs va* leurs y et devient par conséquent identique si on la considère comme indéfinie.

On arrive aussi à Texpression de Scos^^p-^qx) , en multipliant ^ar 2 sin ^ 7 , les deux membres de Téquation

S co$(p + qx}=cosp + cos(/7 + j)+ cos(p+ zy)-4- . . . + cosÇp-^qxy ,

on forme de cette manière Téquation xsinlqSc6^(p+qx)=s

isinif COS/7+ isin'^qcQs(p + q) + isinlqcos(p + iq). . . + isin 7f cos (p+qx)^ équivalente à cette autre : 2 sin î- ^ »$* cos ( /; + ^ a: ) =

— SÎn(/?~^y)+sin(/^+^^)+sin(/^+|y)...+sin(/?+(:c— ^)y)+sin(/i+y:r + ^;)

— sin(/7+iî)— sin(/^+|y). . •— sin(/;+(x— i>),

de laquelle on tire

n^^./- . .X — sin(/> — ^^) + sîn(/>+y:c4-if)

oCOS(p+q)x^= : — • , i

^ 2 Sin ^ j '

résultat conforme à celui du n". 950.

953. La sommation des suites a conduit Euler à des interpo- Application c!e lations très-élégantes dont nous allons donner une idée. Il faut 'a sommation des d abord observer que certaines suites représentent des fonctions que polacion. Ton ne sauroit exprimer d'aucune autre manière , et dont on n'a pas même les différentielles; Euler les api^^eWe funcnones inexpUcabiUs. La première recherche à faire est celle de leurs différentielles dont on obtient des valeurs approchées par le moyen des formules

du n*. 932.

Supposons , par exemple , que Ton demande les diflfêrentielles de la fonction qui exprime la somme de la série

III I

fonction dont on ne sauroit avoir Tex^ression indéfinie » mais dont la valeur approchée est

7»X %X ^X^ QX

1 52 C H. I. Du Calcul

en désignant celte fonction par U^ on aura

dV 1 i B, Bx B

dx X ix* x^ '^^ *■'

série qui donnera avec d'autant plus d'exactitude la valeur du coefficient diflFérentîel que celle de x sera plus grande» En général, la formule

X 2 tf ;c 2.3.4 </a:^ 2.3.4.5.6 ^a:^ donnera

\dV \du B.d^u B. d^u B^ d^u — =w-| 1 — '- 1 ^ — etc.

dx xdx 1 djç^ %.l.J^dx^ 2.3.4.5.6 dx^

si Ton fait Su^=-V.

Or^ appliquera de même à cette recherche les autres formules du n"*. 932 f et par leur moyen , on obtiendra le développement de la valeur que prend U ^ lorsque x se change en :«:+», ordonné suivant les puissances de ^^

954. Euler est aussi parvenu au même développement sans le secours des formules citées ^ e*^ par des considérations qu'il est bon de connoître.

Soit S la somme de la série

correspondante aux indices

S» et X» , ce que deviennent cette somme et le terme général ,

lorsque x se change en 07+^9 et [désignons , comme à l'ordinaire, ^ par «y,, S^j.^..X^ , X^^ etc. les valeurs de S et de ^, correspondantes à x+ I , x+% y etc. Cela posé, nous aurons

s^=^s + X ^+ x^^ x^ y s»^^=:Scà+Xeê+^+Xe9^^+X(i»j^^

S^^=^S+X, +X^. .... +X^J S(»^^^=S0+X(»^^ +-^fi»+*« • • +XeÊ^^.

Maintenant

DES Différences. içj

Maintenant il faut examiner la forme que prend la série dans les termes très-éloignés du premier, afin de connoître la limite vers laquelle elle tend sans cesse. Si 9 par exemple , ses termes consécutifs approchoient de plus en plus de l'égalité , de manière qu'en supposant l'indice n trèS'grand^ on eût, avec ime exactitude toujours croissante, JT^rrr-ï^, , -ï^ ^,=JK'„^ , etc. on eû concluront

et par conséquent 5^«=5^ + »-X'a^i. En égalant cette expression

de Su^^ à celle qu'on trouve dans le tableau ci^-dessus , on obtiendra

mettant pour S^ son développement, et tirant la valeur de S» , or aura

^"' JTfl»^,— ^fl>^a-~ J^ay-^j— — -^fl»^ • • •— '^o^^j^.

Cette formule étant appliquée à la série i +-+-••.+-.

donne

Il I I «

III I

ou ,

en négligeant le terme correspondant à « X^^, ; ce résultât sera d'autant plus exact que x sera plus grand et u plus petit.

Pour le développer suivant les puissances de « , on observera que

* + ! + • *+3 (jr+x)*^(jC+2)^ (^+3)^ *

etc.

Appaidke. V

tÇ4

et on aura ensuite

C H. I. Dû Calcul

/ -^ etc.

comparant cette formule avec la série

+ etc.

dx 1 dx*i»a dx* i.a.jf

' qui résulte du théorème de Taylor , on en conclura

itS

dx d*S dx

etc.

Considérons encorevla série

- + etc

• • • "Tr^ t

nou$ obtiendrons y par les formules précédentes

jr.— X

ttc»

m()» + i)«»* w(ot+i)()W+i)m*

etc;

et l'équation

■"" I . X l (*+ 1 )«■+• "*"<^ + i)»+. + (T+Tj )^. + '^^' I

etc.

de laqueUe nous déduirons comme ci-dessus les. valeurs de

^ <^S tPS . '