En général, on a
^ dx i dx* i.^ </«' 1.2.3
ttc»
d*où Ton tire
«• d'{X,^X,^X,+X^+ etc' "}
etc.
Sîle terme -Sr„+, ne s'évanouît pas, comme dans les exemples clu n". précédent , lorsqu'on fait n infini , on observera que
; X^,=X, + (X,^X,)+iX,-X:) + {X,-X,) + etc.
et Ton substituera, au Heu deJP^^, , le second membre de cette ét[uation qui forme une série convergente, puisque les termes JT, , -y. , X^, etc. 5ont supposés tendre vers 1 égalité.
Eh prenant \r = o , il vient
X^zisj/i ^ X^z^B^ XyssiC^ etc#
iç<5 Ch. !• Du Calcul
si Ton représente par P^ Z>% etc. ce que deviennent dans la mêiire hypothèse les séries ^
^{jy,+jr,+;ir,+ etc.}' ^-(^,+jr,+3r^+etc.}
9 etc.
que Ton écrive S^ , au lieu de 5 , et S ^9 , au lieu de Sm y on aura 5',= o, et par conséquent
5a,= {^+(i?— ^)+(C— i?) + (Z> — (7) + etc.}«
— etc.
Il est visible que Ton peut changer «. en x dans cette dernière expression 9 qui devenant par là
5,= {^ + (5— ^)+(C— i5) + (Z7— C) + etC-}^
lyx D V
donnera
dS
iy"x^ 1.2.3
— etc.
dx
dx* d'S^
A + (5— ^) + {C^B)^ {D^C) + etc.
D'x /y 'jç*
etc.
etc.
etc.
etc.
956. La fl^éthode que nous venons d^exposer s'étend au cas oii les différences d'un ordre quelconque des termes de la série J yB y C^Z?,....Jir, tendent sans cesse vers l'égalité ; et l'application que nous allons en faire , au cas où les différences premières de X deviennent constantes , suf&ra pour montrer comment on doit se conduire dans tous les autres.
Désignons trois sommes successives par leurs différences preipières seront leur différence seconde sera donc
D M s Différence Sj^ 157
et on aura par les formules du n""* 860 9
mettant dans cette équation , au lieu de 5„j« et de S^ , leurs dévcloppemens respisctifs , on obtiendra la suivante
d'oïl Ton tirera
+«jr^,+ — — - — (-y»+, — ^^n+i)»
Les quantités X^^t et •X'»+. — -2r„4., étant équivalentes aux série»
X,-^(X,-X, ) + (X,^X:) + etc.
{X,^X,) + (X,^iX,+ X,)Ji-(X^^iX,+ X,)-^ttc.
on pourra donner à l'expression is S» , cette forme : 5«= 5 + ( X.- ^•+. ) + ( X,^X<»^) + ( X,— ^,+3 ) + etc»
+ ^{x. +(jir.-jr.)+ (x,-2r.y+ etc. } :+^î^^^{(^-x.)+C-sr-ix.+x,)+(jir^~ijir,+^.)+etc.|
et en l'ordonnant par rapport aux puissances de a ^ on en déduira ^ de même que ci-4essus , les coefficiens différentiels de la fonction S^ Le théorème de Taylor fournit encore ici le moyen de chasser -Sr«4.i , Xa^^y etc. en substituât à ces quantités les séries
^.+-7-^ "^-rr — +T^ r— + etc.
dx I dx i,x dx"^ 1.1.3
