etc
résultat dans lequel on pourra , si Ton veut y convertir en série les
quantités 1 , 1— — , etc.
Si
- n E s Différences. i6i
Si Ton fait x=^6, ce qui donnera 5'=[o]=i , et qu'on change ensuite » en x 9 oa aura
lS,= \liicî—+ AT {Il +ll.+l±+l-i+etc. }
{ I + — + — H 4- etc. }
^" r III
JC' III
+ etc.
Les deux séries qui multiplient la première puissance de a: , n*ont chacune pour limite que Pinfîni. mais leur différence aune valeur finie. La première, poussée jusqu'au n""* terme , se réduit à \(n+ 1) . et quant à la seconde , on a par le n"". 939
I + -+-+--H- +- = C+ln+ 4 + etc.
soustrayant le dernier membre de cette équation de l(/z+ 1) ,on aura pour la diiSéçence des séries proposées ^
!(/«+ i)— 1«— ^— •— +— ^ + etc.
quantité dont la limite eSt C, en supposant n infini; or C= 0,57721 5664901 5325:^3 viendra donc
■ at t
',+ etc.
[Appendice. X
i6% Cm. l. Du Calcul
d'oîi on tirera
+ xdx(i +-^+— +— . + etc.)
*. ^x'dxit + ^ + ±. + ~+etc,)
+ x'^Ar(l +^+^ — -^+et.c.) — etc.
Toutes les sçrles de cette équation peuvent se réunir en une seule y si Ton observe que
X — x^+ x^ '^ x^ + etc. 5:=
I^ ~ i^ ^ïï' ^ ^^ ^^^* "^lÔH^) ' etc. o -
et il viendra ensuite "^
dix]
-. = —ij;. 0,577115664901 53 15
ll(i+:r) i(i+x) 3(3+:^) .4(4t'*) >
959. Pouvant ainsi trouver ce que devient la fonction S ^ lorsque x se change en x+a, on obtiendra sans peine la vraie valeur des expressions composées de ces forfctions , et qui se présentent sous la forme de^: telle est la suivante
lorsqu'on y fait x=i.
l>EsDlPFÈREItCES»
Si on fait
iH — [--••••+ -=^S ^ on aura ( n% 955 ) 2 3 a:
J= x(i+i-+±.+i 4.etc.)
— etc.
ce qu'il est facile de convertir en ^=1+ — + — +
+ etc.
■etc.
X — t ap— I X — r
==^ I T — 7— ^H — î T'\ — . + etc.
^ + x 3+jc 4+0?
2(1 + ^) 3(2+x) 4(3 + ^) La substitution de i+o» , à la place de x ^ d^ns ce damier résultat donnera
^2(2 + «)^3(3 + «)%(4+«) + ''^ou *y»= I + Z>j» + /?X+ />î«*+ etc. en développant par rapport aux piissances de » ; par ces opérations la fonction proposée deviendra *
i+jO^Z7X+A«^+etc. I
«(n-«) «(i + Zm)
(i + 2«»)(i +!).• + !>.»•+ A-H etc.)— Ct +«^
A« + ^^A^^'+etc. + <» + 2» ( Z);fli + i?,«*-»- etc. )
divisant enfin les deux ternies de cette fraction par » , et supposant ensuite <»=:=o, on aura 2?. 4-1 pour la vraie valeur de la fonction proposée dans le cas où x=o ; or il esr facile de voir que
-^1=— H — r-l — 7 + etc. et que par conséquent 3 4
164 C H* t. D If Calcul
960. Venons maintenant à quelques exemples d'interpolation r soit la suite
III ï i I J
tf* a a+b^ a a+ b a + ^h ^
• a a-^ b a+ib a + ^x-^i^b'
En désignant par S le terme général de cette suite, on aura
a a+b a+ib tf-f-(a? — i)b^
et comme les parties qui le composent tendent à s'évanouir; on trouvera par le n**, 957 ,
a+bx ^ •*■* ,M+ bx+ bu
a+b-^bx' '^ a + b+bx + b»
etc.
a + bx a -^^ b + bx , a + xb+bx
* —etc.
a + bx + bû^ a-^'^+bX'JrbM a + xb + bx+b»
ou bien
So>:=S + b cù \ 1 hr— " + CtC. >
^ \{a+bxy^{a+b + bxy^(a + ib+bxy ^ J
\{a + bxy^{a + b + bxy^(a^xb + bxy^ • I
j-AVi î =- + ^ 1 ^^ + etc. >
— etc. *
en employant la valeur de 5"» , exprimée par les coeffici^ns diflférentiels/ Appliquons ces formules à 4a série
I, i+î, ï+î+T,. i+r+T+î. etc.
Différences. 165
nous aurons tf=i, r=^i, »y = i-{ — f.-,, .,«{.-*.
