Il convient donc de nous occuper de Féquanon
Lorsque les coefGciens de cefte équatxM ^ au neu d'être des fonctions à^ Xy sont des constantes ^ ou que Ton a seulement
on y satisfait^n âûsant Xt^=^^' t ^'^^ ^^ résulte
die devient
/»»+Pm»-» + (^«"'••+ iî m»-3 + 27= o (Z>) ,
et sera vérifiée si Pon prend pour l'indéterminée *m les racines de cette dernièreAi donc on désigne p^ m\ tn!*s ^*\ ct^« ^^ diverses racines , on aura ( Vi\ précéd. ) *
Cette expression présente^ par rapport aux quantités ni^ wl\ wl*\ etc. les mêmes circonstances que l'intégrale^ l'équation difiërentielb dr^^Fdxai'-^Ar (ldx'4r\^Rdx'd^''\.\ . , + U^âx^is^o ( a*. 648 ),
îx-^— ^ ^^jÊ[ •♦••'•• •Cr4*'
Il petft arriver ^e le» racines de Téquaiiap {i>) soieat coules réelks et inégales , oi^'il s'en trOuve d^ëgptes emr'elles ; dans le premier cas ta valeur de { est complète ^ mais eRe cesse de Pêtse dans le second* Il faut alors recourir à àm artffioesM'analyse , sembhbles à ceux qve nous avons employés pour Téqualion diiférwtielle ; mais nous pré* senteronsceffte reche^cl|p^sous\ln|^pint de vue un peu difFérent^ en la ramenant à une détermination particulière des constantes arbitraires,
975, L'équation {Ç)^ qui peut >être considérée comme exprimant la nature d'une série dont un terme quelconque représenté par ^^^ dépend des n termes qui le précédent ^ suppose né{6es$aireflÉent que les n premiers termes d|^ cette série désignés par
sont arbitraires ( n^ 970 ) : ce sont^g^es termes que nous allons introduire à ta place des constantes |^', C'\ CV\ etc<J^Oitr cela nous aurons les équations .^
î, =:CW» +CV* +C'"m"'*
^,=C V— + CV"- + C""/b'"-« + etc.
(dont le nombre est ^1 à celui des quantités C, C", C"'i t\c* qui n'y montent d'ailleurs qu'au premier if%xi ; et «n prenant suc*, cessivement n^smXy ns=z^ '>=3» ^ç> on obtieadfi ces r^akats particuliers
etc.
i^z C^. l. D tr C A i c u^ L^ •
La loi de CCS résullMs ert^déjà a«cz évidente pour qu'bfl puisse les pousser aussi loin qMl :*tçp nécessaire ; mais ça peut en découvrit la forme générale sMs %iWQpurir à> Tinduction ^ en fai^ffet , usage du procédé d^élimination vdonné è Jià fin du n"". 649. En effet , si Ton tepésente pa*
réquatiorf dont les racines sont m% m''\ etc. et que Ton multiplie ' Ta vant- dernière des équations (E) par P', la précédente par Q\ et ainsi de suite jusquà la première, qui sera multipliée par U\ on ^ura , en ajoutant les produits ,
+ etc .••.»
toutes les- lignes du second membre , excepté la première , sont nécessairement nulles , comme. ifi'oflfrant que les résultats de la substitution dks quantités m", ni*'^ etc. à la place de /: il viendra donc
On trouveroic de la même manière f ^ C^\ etc. en substituant
successivement les racines wl\ m'" ^ etc. à la place de m\ et en
formant Téquation t av«les racines wif^ m", /i?"*, etc. iw', /w", /»"% etc.
Nous avoils déjà fait voir dans le n^. cité , qut
. ^'«-» + p V-» + Q[m"^^ • . . + l/=i{m'^m''){m'-'m"') etc.
ce qui se déduit évidem^ieot de
pourvu qu'après la différentiation on change m en m\ Pour former les quamités F^ Qf^ iî\ • . . t^', il Aut multiplier l'équation
pgr /-rr/w', ce qui doit la rendre i^tiqùe avec
en
V E s Différences. 195
en changeant t ^n m^ et on aura ^ par la comparaison des termes semblâliles T
d*où on tirera
P*=PJ^t^
R'=^R+ Qm' + Pm'^+tn'*
S' = S ■{'Rm'+ Qm''+Pm'^ + m%
etc.*; ^
976. Supposons à présent que Téquation en m ah des racines imagînakes et des racines égales ; il faudra , comme on Ta indiqué dans le n"". 650 ^ réunir les premières par couple ^ et on convertira ensuite chacune en fonction de sinus et de cosinus , suivant les for«mules connues : la transformation s'opêreroit avec un peu plus de facilité en traitant immédiatement par le procédé du 'n"", 648 , la valeur obtenue dans le n^. 974,
En observant que
etc.
on peut écrite les deux premiers terma de la valeur de { , ainsi qu'il suity
et l'on voit quHs se réduisent i | lorsque »'=/»'. Les trois premiers tenues étant écrits ii cette manière :
(m — w ^ • • • • AppcndiçCp B b
194 Ch. I. Du Calcul
deviennent visiblement y lorsque Ton a en même tems ni::=im!':==zm"', et ainsi de suite , à me^re que le nombre des racines égales augmente. Il faut 9 pour trouver alor^ la vraie forme de Tintégrale ^ recourir à la méthode du n''. 1^99 quand il. n'y a que deux racines égales, et à celle du n*". 147 lorsque le nombriç de ces racines surpasse deux. L'usage que nous avons déjà fait de^es méthodes dans un cas absolument semblable à, celui qui nous occupé ( n°. 650 ), nous dispense d'entrer dans aucun détail, et nous nous bornerons en conséquence à donner la forme des résultats*. Il faudra substituer aux deux preiniers termes de la valeur de i la quantité
lorsque m'=.mfy aux trois premiers^ la quantité
an •f^c xat -r*^ m ^
lorsque nits^m^i^am^y et ainsi de suite: dans ces expressions c\ c\ c", etc. remplacent les constantes arbitraires C, Ç\ C\ etc.
977.nNous indiquerons succinctement ici la routé qu'il faut suivre pour déterminer les quantités C\ C\ C", etc^ par le moyen des équations (i) , (2). ..{n — i) , («) , du n*. 973 , afin de parvenir à l'intégrale de l'équation {J)^ dans le cas où les coefficiens P^Q^R...U sont consttns et f^, est une fonction quelconque de x. Les équations (i), (i)....(/2— î), (/z), deviennent alors /
m'^' AC+m"^' AC+m'"^' AC'^+etc.ssO m'*^ AC^m'^^^C'+m'^^ AC'+etc.^o
;^'*-^-»AC+m''^--'AC''+/w"^'^-'AC"+ etc. =a
eo y substituant pour {',, î',+, , î'*+» ^ ...{*, etc.
' iB", «'**■% ot"+»..../»", etc.
si l'on fait , \.
u,"^\\C'z=-A'V,., m"^'i^C\^d'V^, m*"^' c^C" —A V ,, etc.
DES Différences. 195
on arrivera aux é<luatIons
m'A + m'A' + m" A" + etc. = o
»'— ^ + m*"-'' A' + m""-' A" + etc. = o in"*-*^ +m'"'"''A'+m"'''^'J''+ etc. = p
traitée dans le n\ 649 ^ et Pon terminera Topération comme dans le n\ 975. Si parmi les valeurs de m^ il s'en trouve d'imaginaires ou d'égales entr'elles , on aura égard à chacune de ces circonstances par des procédés absolument «iSemblal^le^à ceux qui sont développés dans le n\ 650,
978, L'on n'a fait que peu de tentatives pour intégrer Téquation
G+» + ^«t*+ii-.i + Q*îr+»-. • • • • + ^,î,=o ,
dans le cas bh les coefSciens P^y Q, 5. ••£^,9 sont des fonctions de X ; c'est Laplace qui » dans ce genre , a porté le plu||^in ses recherches, et pour en présenter l^nsemble , nous commencerons par donner la méthode qu'il employé pour intégrer Téquation du premier degré et du premier ordre.
Soit .y^,=Pa;y.+ Q., on tire successivetaent de cette équation
y,=P.yr +Q, y,^P^,+Q,
yi^PiyifQ} . . ¥ .
substituant la valeur Aey,\ dans cdl^dej',, pui( cette dernière dans ceUe de ^, et ainsi de suite f il viendra
y.^P.P,y, +P,Qo +Q.
Bb t
19^ Ch. 1, D ir Calcul
et en général
expression que , d'apcès la convention faite dans le n^. 97X5 Ton peut encore écrire comme il suit:
on a dans cette formule la valeur de y^ , exprimée par le moyen de ^, ^ et par conséquent le terme général, de la série correspondante à* réquation
Si l'on représente y^ pa^ u<k quantité arbitraire C , tt que Von obterve^p même tems que la série
étant mise sous la forme
ra [P.] 6f.] [p,-.]
que Pon peut vérifier par le développement ^u par les analogies de la notation actuelle avec celle du n% 902 » revient à
[P^,]^ "^ ( ^'*- ^97 ) 9 on aura de même que daâs le n% 971
ra
Ce procédé doit être remarqué parce: qu'il conduit directement à Hntégrale tt qu'il montre le ^arti que l'on peut tirer de la formation des valeurs successifs de la fonction cherchée , pour en obtenir l'expression générale.
DES Différences. 197
