Passons aux ordres supérieurs : soit et faisons

multipliant successivement les n— i^ premières de ces équations ^

par «. ^ «. ^ tf) ^ etc «e ^^, ^ et ajoutant les résultats avec la

dernière y nous obtiendrons l'équation

comparant celle*d avec la proposée , nous en déduirons les suivantes >

'^x=fx4.li-« +''»-i^i+»-ft + *»-»^»+»-î ••.... +*i^x i

dont le nombre est évidemment égal à /i+ x. On tire successivement des iz*-i premières.

— I — PmJ^n^i

et à cause que ^7,=*,/^,, il vîendft

équation qui n'est que de Pordre /»— i , par rapport à la fonction

198 G H. I. Du Calcul

inconnue p^^ puisqu'elle ne comprend que les valeurs PmiP^xy • •PxA^^x 9 fixais qui n*est plus du premier degré. Il n'est pas nécessaire de l'intégrer complètement , il suffît de trouver une seule valeur qui y satisfasse; on substituera cette valeur, ainsi que celles de tf,^, ^ tf,^.. »• • • • »«i # <ians Téquation

qui ne renfermera plus alors de fonction inconnue que q, et qui ne sera que de Tordre /z-»i et du premier degré par rapport à cette fonction. Cette dernière ét^nt intégrée » donqerfi une ex« pression de^, , avec/i — 1 constantes arbitraires, et Tintégrale df l'équation du premier ordre çt du premier degré y, ^^^sp^^+i^ji deviendra celle de la proposée ; on aura ainsi par le n"". 971 ^

980. En poursuivant les conséquences de cette méthode ^ Laplacf étoit parvenu àe son côté au théorème que nous avons démontré dans le 4t« 973 t nous renvoyons , pour cet pbjet , le lecteur à son Mémoire , mais nous intégrerons avec lui Téquation tr^s-étendue

dans laquelle les coefficiens A, B ^ C^...L, sçnt constans; mais où X désigne une fonction quelconque de ^. L'équation qui donne /^^ devient alors

et si l'on prend /»,=« JSr,+«»^, , a étant une quantité constante , il viendra

l>x+»-.]=«"[-y«4J f l>«+»3=«'"'[^*+.m'n etc.

La substitution de ces valeurs fait disparoître X» et il ne reste que réquation algébrique

Si , pour simplifier , on prend m:=n — i, et que Ton représente pv a\ a\ a"', etc. les valeurs de a , celles de p^ seront

^'X,^ a"X^^ u'^'-Y,, etc,

DES DlfFÉRENCES. l^^

Il est visible que l'on doit supprimer dans ce cas la quantité q^ .

et que Vùn a seulement ^x=[/>r., ] pour Tintégrale première de réquation proposée , mais à cause des diverses valeurs de p^ ^ on en déduira , par la théorie des équations du premier degré ,

^,t=cV'[X] + Ca"'ix,-\ + cu'"'ix;\ + etc. ... ;

intégrale complète de la proposée ^ et qui revient à

y,^ C-yj { CV*+ C'a"^ C''a'''+ etc. :...}; 9$ t. Les résultats précédéns peuvent être changésen d'autres d\ine ibrmeplus simple à quelques égards, en mettant ky Tindice ^ à I9 place de x+n: l'équation proposée deviendra par là

On la traitera encore suivant le procédé du n% 979, en observant d'écrire p^^, et ^,^, , au lieu de p^ et de q^ , dans les premières équations de la page 197 , avant d*y changer :r+;z en x- ^ et de les prendte ensuite dans un ordre inverse.

L'équation du n% précédent se changera ^ de cette manière , en

y,=JlX,]y.^, + SIX^.^, . . . . + LIX^] y^^ f si Ton fait m = nj et dépendra alors de l'équation

qu'on transformera encore eii

en prenant p^r=aXs , et la valeur complète de y» sera

981. Passons à l'application de- ces derniers résultats ^ et prenons pour cela les équations comprises dans la fornfule

Il n

y»-=AAy-v + K^^lyt-é + ^ W;^.>» ,

qui s*obtieat en faisant X^-^x dans l'équation proposée ; nous trou* verons qu'elle dépend de

et qu'elle a pour intégrale

y,=\x\iC'a''^ C'a'"^ C"a'"'+ etc. } .

100 C H. LDi/ Calcul

Supposons , pour particulariser les résultats , que Tequation proposée ne monte qa'au second ordre ; nous aurons seulement

d*oîi nous tirerons

Si Ton veut déterminer C et C par le moyen des termes y^ et y, ,

on aura, à cause de [o]=i , les équations lesquelles donneront

c = 3 -7— , *- — , If *

et il viendra pour résultat final

Quand les deux racines a et a* seront ^alcs, on feri a^^J^^k^ il viendra

en développant <t réduisant , on trouvera

= t*î{:Ky'-(«>.-^.X**»'*"'+ -^^^'ï'.-* + etc.) I ; posant ensuite X:=o, on aura seulement

$1 les deux racines «' et a' «toient imaginaires , en les ramenant

DES DiFFéRENCES. 201

ft la forme «+^k —i , «-^;3V— i , on changeroit l'expression . de ^, en

ÔJ(J^=:2^

mais on a par le n\ i6$

(tf + i8V/— •0'=>'(cOS/^Ar+ V^wi sin JW)

en posant

K«*+;8=5:^; =cosA -7==. = sm /^;

et la substitution de ces râleurs dans celle de y^ donner» Prenons enfin un exemple en nombres ; soit Téquation

y,—i\x']y^^, + 3 Wy*-. ; ou j^,=i * j^^^t+ }*(*— î)y,.. ;

qui, lorsqu'on fait j^^=i, ^^,=41 engendre la série

i^ 4 5 2^^ 204, 1426 » etc, nous aurons I pour déterminer a^ Téquation

tf • — 2 tf *— 3 = o , de laquelle nous tirerons ^=3 » a'=:— i ; puis nous obtiendrons avec ces valeurs

:)^p=wa-3— i(-ir}.

Si Ton prend, par exemple, jc=?:3 ; on déduira de ce résultat ^,=5=204, de même que ci*dess\t$,

4pfm4ic%. C c

Z02 Ch* !• Du C A L c u t

L'éqaation générale

5 e tralteroit absolument comme la précédente , et son intégrale seroit de la forme

y.=lx]{CW+C''a"+C''a'''+ etc.}, a\ a\ a"[^ etc. étant les racines de l'équation

Si Ton vouloit déterminer les constantes CV C\ C", etc. par le moyen des n premiers termes de la série engendrée par Téquation proposée , on auroit ces équations

y^^C +C' +C'' +etc.

il r= CV + CV ^C'a'' + etc.

etc.

qui rentrent dans celles du n*. 97 5 , et dont on tireroit les valeurs de C'y C'y C", etc. par le procédé ^de ce numéro.

Si lequation en a contenoit des racines égales 0|i des racines imaginaires 9 l'emploi des méthodes indiquées n*. 976, conduiroit aux résultats relatifs à chacun de ces cas ; et l'exemple du second ordre auquel nous nous sommes arrêtés 5 joint à ceux que nous avons donnés pour les équations différentielles , doit lever toutes les dîfEcultés à cet égard.