Il est bon de remarquer que si Ton prend
\^=Ca''+C''a''+C"a'"+ etc.
la fonction {^ dépendra de l'équation
dont l'expression ci-dessus ofîrira par conséquent l'intégrale complète ( n*. 974 ) , et que y^ étant donné par l'équation
on aura y,^=[X,']{, , d'oà il suit que le terme général de la série
y s 9 j^jp+i > J^*-è-* • • • •
DES Différences. ^ loj.
sera donné par le moyen de celui de la série beaucoup plus simple
dont un ferme quelconque se forme d'un nombre n des précédens multipliés chacun par une quantité constante.
Nous observerons que cette dernière est le type général de celles que les Analystes ont nommées ricurrmus. Elles jouissent d'un très* grand nombre de belles propriétés ; on a déjà vu , dans les Elémens d'Algèbre 5 qu'elles tirent leur origine du développement en série des fractionsi rationnelles , et nous reviendrons encore sur cet objet dans la suite.
L'équation y,= [XJç, fait voir que Ton Satisferoit à
en prenant y^=[X^a' ; il peut être utile de se rappeler cette circonstance y facile à reconnoître d'ailleurs lorsqu'on est exercé dans l'Analyse , parce qu'elle conduit immédiatement l'int^rale par le moyen de la méthode du n^ 974.
Nous avons supprimé le dernier terme V^ dans l'équation proposée ; si 9n vouloir restituer cette fonction f otl arriveroit à Tinté*grale au moyen de la valeur de y^ , trouvée ci-dessus ^ quç l'on substitueroit à {^ dans les formules du n"*. 977.
984. On peut encore déduire de l'équation en p^ du n^. 979 ^ d'autres cas d'intégrabilité pour les équations du premier degré aux différences. En s'arrêtant y par exemple , au deuxième ordre , on a
équation de laquelle on tire
Ps
et qui change par conséquent la proposée en
ys^= (P.^i 7" V'+' + QaJ^*+ ^s f
équation intégrable , quelles que soient les fonctions P, et Q,, Si l'on fait p^^szm ^ m désignant une constante ^ il viendra
Ce X
104 C H. L D 1/ C A L c tr L
Il est visible que toute équation de la forme
rentre dans celle que nous avons considérée n"". précédent y en y faisant Y^y^=y'^.
Voici une équation qui semble indéfinie , ou dont Tordre dépend de la valeur de la variable x^ et qui pourtant se ramène à la forme du n"*. 973 } cette équation est
y^^ Ps^^ys^. + Qs^^y^^. + R^^^ys^t + ^*
un terme quelconque y, s'y trouve rapporté à tous ceux qui le précèdent ; mais avec cette condition que les fonctions P , Q, R, qui multiplient ces termes , reviennent les mêmes de trois en trois. On tire de là cette équation
y^i« Pé^AyT^i+ <2r-çy*^1+ ^x-V,-«+ ^^-f
+Ps^jys^i'^ Qx-sy:r-a+K.-.gy,«9
+Pi y^ +Qi y^ -»-^. yti
retranchant cette dernière de la proposée ^ on a
y^--ys^i=Pu^xyé^x + Q^^ày^^+K^^y^^^ + K—K^ 3
ou y, =P*.0'*-i + Qx-à^x-.+(^,-i -H Oyx-î + ^^— ''«-?•
Cet exemple sufEt pour faire connoître comment il faut traiter les
équations du genre de la précédente , que Ton pourroit nommer
équations périodiqucSé
Nous terminerons cet article en faisant observer que les équations de la forme
yx ^ ^y x^\y x^%y ^—î* • • • • •y «— »
se ramènent par le moyen des logarithmes à une équation du premier degré; on en tire en effet
\y,— \y^+<t\y,^^C\y^^^']ry\y^i^ ^r^hx^n^
et faisant li',=y,, il vient
ï> E s DiFFERENCESé ZOJ
En intégrant cette équation , on aura donc le terme général des séries dont chaque terme se forme du produit d'un certain nombre de ceux qui le précèdent
985. On intègre aussi les équations aux différences (inies par la méthode des coefficiens indéterminés y lorsqu'on peut découvrir au moins quelques parties de la loi que suivent les valeurs successives de la fonction cherchée. Soit l'équation différentielle
^ H-etc-
dans laquelle af^, j3„, **^y etc. *, représentent des fonctions)
de la variable indépendante n ; si l'on.en déduit successivement
on supposera en général
^.==^X+^.""" + c;a"'*+ etc.
et substituant cette expression dans l'équation proposée , oti aura
J„ u" +B, u'-^ + C, «"-•+etc.
— K-.«"" + 5.-,fe"~*+C«""'+etc.)(««« +i8,)
+ (■^.-.«"'*+5^«-'4-C,.««-*+ etc.)(«'.«'+ie> +>'J
+ (-^«-î»"'' + B,.^»'"* + CL,»-' + etc.)(*".«' + i8"-.«* + î'V + /",) + etc.
comparant entr'eux les termes aâectés des mêmes puissancet de u , on obtiendra
+ )8.^^. + 19',^^. + i3".^^, + etc.
^.= «.C-. + «'»^..+«'.C.^ + etC.
+ i8. V. + i8'rf^«-. + ^'« V} + etc.
+ etc.
îo6 Ch. l.Du Calcul
et lorsqu'on pourra intégrer chacune de ces équations , on aura Texpression générale de y^^. Voici deux exemples qui feront bien connoître le parti que Ton peut tirer de cette méthode. On a
$in/i{ = sin(« — i jçcosçH- cos(/2 — i){sin^ et cos {n — I )çsin ç = j$în« ;f — 7 sin ( «— 1){ ,
d*oii il résulte
sinn{;= 2C0S{$în(« — 1){— sin(/i — 1)(;;
faisant s\nni=y^ et cos{=«, on formera l'équation
de laquelle on tirera successivement
etc.
on donnera donc à la valeur de y^ cette forme
j. =y.( V^+ ^X^'+ ^X"'+ etc. ).
Substituant pour ^'j^., , et j'^^, , leurs valeurs , et comparant entr*eux dans l'équation résultante les termes affectés de la même puissance de If > on obtiendra les équations suivante^
«te.
qui ne sont que du premier ordre et qui conduisent très-simplement aux valeurs des coefficiens J^^ B^y C^, etc. mais pour en faire usage j il faut observer qu'elles n'ont pas toutes la même étendue , c'est-à-dire ^ qu'elles ne commencent à exister que successivement : la première n'a lieu que lorsque /zssi , parce que l'équation proposée laisse arbitraires les valeurs de y^ et y^. Avec cette attention on trouve que le plus petit indice de i? est 3 ^ parce que Téquation qui le détermine ne commence que quand n=c3 ; celle qui détermine C ne commence que quand /x='4 ^ et ainsi de Suite.
Cela posé, en intégrant la première il vient ^„=iri"C7^^ C étant la constante arbitraire; et comme on doit avoir ^,=1 , il en résulte C=7 , d'oîi -i^„=s2"^*, ce qui donne -^,j,= i""'. Par cette valeur l'équation en B devient ^,=i5^, — 2""% et son intégrale sera
i?.= x-(C^l2:i)=i-(C^^-ln) ( n". 972 et 981 ),
ou J9^-= — 2""'^( C^^+ «.) , en changeant la constante arbitraire C" en -^ j C. Pour déterminer ta constante C\ il faut faire ;2 = 2 et B^-=o, puisque Téquation en B ne commence que lorsque /2=3 , et on trouve ^{C+ x) = o^ ou C''= — 2, d'où il résulte J?«=-~2""^(/ï— 2), Cette détermination donne -8,^..= — 2*"'^(/ï — 4) , et si on substitue cette valeur dans celle de C , on aura l'équation
C*n=^C;^. + 2"-*(«— 4), dont l'intégrale sera
en changeant de constante arbitraire. La valeur de C ne commençant que lorsque n=4 9 on doit voir C^r=zp^ condition de laquelle on
tire -i-(C"— 6)=o, ou C"=6, et d*oii il résulte
On trouvera de même les autres coefficiens , et l'on parviendra ainsi au développement de sin n { j sans avoir recours à l'induction : on obtiendra
2»-'cos{-"*— ^^2-"^cost"''+v~^^^''""^)jt*-5cos î"-*
sm n 7 = sin 7 < , . , v , ,v
i - i 2ll 111 i2"-?cos f + etc.
986. L'équation j'^=:î«y„,-—j^^, ^ se rapporte à celle du n*. 974^ car » y est regardé comme constant 5 en y faisant donc ^„=/;i% on parvient à l'équation m^=s xum-^i ,
2o8 Ch. I. D V Calcul
de laquelle on tire /«=;wdt y u^^^ i * et par conséquent
remettant pouir u sa valeur cos { , et changeant y^ en sin /i^ il vienolra
sinn^ = C"(cosî+ V^— isînî)"+C''(cos{-^V/^sinî)\
Pour déterminer les constantes arbitraires , ii faut observer qu'on a sin/ï^=o, lorsque »=o, et sîn/i{:^sin{> lorsque i2;=i ; ce qui donne les deux équations
sîn ^ = C'(cos{ + VZ^l sin ^ ) + C\ cos ç — V^^ sin ç) ,' qui mènent à C'a; — r , C*=— •- — =: f
(cosr + V^— isinrV-«-(cos— {V^ — isinrV sin n { 7= ■ ■ p — ■ ■ i^ ,
résultat con?orme à celui du n"*. 40 de l'Introduction, Le dévelop*'* pement auquel il conduit ne diffère de celui du n"". précédent que parce qu'il contient les puissances impaires de sin ^ , qui sont ré^ duites à la première dans ce dernier.
987. Pour achever 4'éclaircir l'application du Calcul aux différ rences à la recherche des loix que suivent les formules , nous en donnerons encore un second exemple $ur Texpressioa
<^'"' ' -==<f.arc(nn?=j;).
En faisant pour abréger ■ == a , on trouve d'abord
du X d*u iAf*+i d^u <J*' + 9J»r
(t,.)» {i-.xy (,-*')'
d'oii Ton doit conclure qu'en général
dru J^x' + 5„*"-» + C»»"-* + !),«""• + etc. ^
différentiant
DES D ï F F A R E N X E S. lOJ
différendant cette dernière expression ^ on obtient le résultat
fl^J +(«— 1)5„| + («-4) C,
dont la comparaison avec
«lonoe les équtiiofls aùvantes
Tout^ ces équations ont la même origine » et Ton peut en consé* quence supposer dans toutes »=:±i. La première A^j^^'=:{n'\^\*)A^^
diaprés oetle remarque ^ » pour intégrale A^-s&{n\. La seconde de-
venant alors ^,=C«+3)i?i.+ »W » a pourintégraje ( n». 971 ) ,
r=:t« + l]{C+l.lïB[»]}
«t coffiae
OB aura
(n'.jio).
expression dans laquelle il faudra déterminer €^^ par la condttioa , Apftndici^ Dd
