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que Bu soit mil lorsque «= i ; on trouvera ainsi C'= — , et

Les valeurs de Cn 9 Dn et des coefficten^i ultérieurs . s'obtiendront de la même manière , on anra

'•' M%]=[«B][o][/0[oj

" I 1 < ^ — o it 3 — ^ 6 — ^

etc.

en changeant /t en n — i , on en concHira

rf'arc(sîn = :t) tf^^u

^^--^(*"-'+CTi[3[«---iiw*"-'+[n[oic«-iî[o>"-'

.+ c^k?i[''~i3[^*'-'+'cn[ô][«r-iKÔ]**-»+etc.}!

988. Jusqu^ci nous avons toujours supposé que l'accroissement de la variable indépendante x étoit constant ; il existe cependant des questions analytiques dans lesquelles cet accroissement est variable, telle seroit la suivante: trouver une fonction de :r^ désignée par ç(r) , dans laquelle en mettant successivement {(x) et fÇx)^

au lieu de^AT , on dt ^iF(xy)^PXf(^))+Q.i H^), F(*), P» c^ Q» > ^^^^t des fonctions données de x. Laplace 3 par un procédé très-simple , ramène cette question à l'intégration d\ine équa- ,tion aux différences, dans laquelle l'accroissement de la variable indé^ pendante est constant ; il fait f(:r)=a, , F(x)z::^u^^^ u^ représentant une fonction inconnue de la variable^;;, et puisque f(jt) est connue ^ on peut y en supposant, l'équation algébrique f( jr)^:2i^ , résoluble par rapport à a: , tirer de là x'=ï^iu^ , valeur qui transforme l'équation F(V)='<.4., 9 en cette autre «^,=F(f (»»)).

Lorsqu'on pourra intégrer cette équation , on aura l'expression de u^ en fonction de ^, au moyen de laquelle on obtiendra aussi x^

DES Différences. in^

en fonction de {: les fonctions ^(F(^) ) et 0(f(:r)), deviendront respectivement ?(«^,) , p[u^) ; on pourra les représenter par j^^^,, , y,, , d'où il résultera une équation de la forme

dans, laquelle la variable indépendante [ ne croîtra que de Tunité. Après la détermination àty^ , on y substituera la valeur de {; en x- » pour passer à Texpression de (p{^{x)) , que Ton ramènera à celle de ^x) i en y changeant f(x) ^n ^r.

Pour donner un exemple de la recherche précédente , faisons f{x)z=imx y E(a?)=«% et supposons que Ton doive trouver

f{x^)z=zp{mx)+(l^

Q étant un coefficient Constant. En prenant u^-=zmx^ «^,=x% on •

formera Téquation »^j=— ^, qu'on transformera par le moyen des

logarithmes en l«;un= j'I'f.^-f 1^2 l'intégrale de cette dernière^ par rapport à lir. est.

- Pour déterminer la const^inte , soit »i=tf ; il viendra

g'(c' ; r) =«— 1/t+^î =;j*-'U—-iI ïilffl,*'

et enfin 9 en pastont aux nombres^ Uji=

Posant ensuite f(mx)=y^ et ç(:r')=ry^, , on aura y^^==y.+ Q , équation dont Tii^tégrale donne y»=iC'+xQ==C+Qi^ d'où Ton conclut 9[mx)=:C^+(li, et il ne reste plus qu'à exprimer ^en x.