MM
par le moyen de réquation u^^mx^s .En reprenant
les logarithmes , nous obtiendrons Imx = q'-'lg^ f 1 m
Dd 2
XI 1 C B. l. D U C A Xi C U L.
résultat que cous mettrons $ous la forme
et (Toii nous tirerons alors-
/la \m \ . qlmr mx^
q*{ )5=liwj|f sacl ^
Sx nous faisons pour abréger — -- — ^ = * ,. nous aurons
1, mx I ^,, mx
»-=î'-z:' î=i7f"-ii-'*>.
et par conséquent
Si l'on écrit simplement x „ tix lieu àe mx y on obtiendra, pour dernier résultat
Occupons*nou^ encore <fc l'équation f(2ir)»=0(i3r)'4-aj nous ferons dans cet exemple 2f«=^, ^^,=2«, et nous aurons en conséquence tt^,= i«.^ d*oii nous déduirons a,= C.i'=Ji:; posant ensuite p(x)îs=zy^ et ^(i:c)~j^^^ , l'équation à intégrer sera
>'«4^=j'*,-rv Si l'on suppose d'abord j^^^iH ^ on trouvera
D^ E s D I F r É R E TT C € T0'\ 11}
La dernière de ce$ valeurs e&t rintégrate complète > puisqu'elle renferme une première valeur arbitraire a^ et réquation C»x'=Xy
redonnant 1**''= --^, on aurja
— ■ — iL
résultat qui revient à
à Ton prend * = j» C ( » j^
(*) IVLDAviet de Foncene^^ avoit a^ que l'équatian ^(x)*=9 (2*) + » ne poMvoît $tr« résolue qu'ea supposant 9{x) égale à^ une constante ( Mélanges de Turin ^ T. Il y -page 320 ); ce qui précède montre âir contraire* qu'elle a une infinité' de solutions indéterminées ..Natfs ranarqueronsid que l'on- serok' paryentt' à: h même conclusion* en faisant
d'où il serolt résulté l'équation
de kqjoeUe on. auroit tiré
À^tzz + a , a.^ = 4 A ; ' nA C + B'=z 1 6 C\ etc.
Les racines de la preniièré de ces équations sôntv^r::!» i| = -^i-; là seconde équation 11.^8^=48 , réduite à ^=3X^ s*àccçrde avec Tune de ces racines, et laisse B
Indétennini; on trouve ensuite
12 1.2.3.4 60 lr.l.3.4.5^
ce qui conduit à la série
<»(•«)=: a -[ **H x^'\ -rAc^'+etiSr
équivalente à
, B*A? . Bx^ , B*:v» , «•*♦ ^
q>(x)=K+ - — b f- F" etc.
-^ ^ • r i.^a i.sr-j 1.3^3.4 '
+ 1 — ,— r+^^ — :- ^ >T — etc.
114 C H. l. rD U t A L C U £
9^89. La même méthode s'applîqfue ëanS'dilRcuké aux i^quation^ des ordres supérieurs ;* ioit par extoiple- Téquation ^
dan$ laquelle les valeurs
i celles*ci
tf** , tf "■"** ,
En faisant xr=su^, on aura ^^ = «,4,1, <i'oîi on tirera «,4.,= ^!^^ et u^^^Ca"^ en intégrant. On peut en prendre C=ï , et il Rendra en conséquence jtî=a' ; avec éette expression de :r , on transfoN mera les fonctions P,, Q, ,,. . • .T^, l/^ et f^, , en fonctions de !{ ," on écrira ensuite j^,^, y,.^^,^,etç^^u lieu de y^-^^ J^»»- *./etc. et par ce moyen^ l'équation proposée sera ramenée à celle dun"". 973 • En supposant que les coefficieps P yQ^....m..T^ V ^ soient constans , la transformée sera seulement
son intégration ne dépendra que de celle de Téquatioli
à laquelle on. satisfait en prenant ^,=:/n% m étant l'une 'des racines de
}«"+ Pm'~'+ Q«»"*. . . . + T/B + £7=»o ( n'. 974 ) ,
et qui donne
y.= CV'+CV'+<:'V"+et«.. .
Pour revenir de cette expression dej^,, à celle de>, , il suffit de
mettre, au lieu de {, sa valeur en 4; ; or par l'équation x = a' j
\x on a i = — , et en observant que /»''=«*''"' ( Ine. n*. 32 ), il
en résulte m'^=rzc^'* =:a:**, d^oîiTon conclut
y^^C'x^a+C'x^" +C"'x **"+ et<f.
Telle est l'intégrale complète de l'équation
Z>yE s P If F é^ £7^ es S. 2h5
ionûée par M. Paoli , ^kw sits Ç|^tisctilesu U y est parvenu' en faisane y,:=zax^, $ub$titucÎQn (Toii il .^jéfuilte
et^qui change par conséquent la proposée en
le coefficient « demeure arbitraire , et si Ton pose af^ssm ^ on aura ^ pour déterminer myW même équation que ci-d^sus : quant à fc ,
li»
il viendra f£ = -» , ce qui rentre dans intégrale précédente^ Il y
la
auroit à faire sur cette équation des remarques analogue» à celles du n*. 976; elles ont été dévejoppées par M. Paoli, mais nous ne saurions nous y arrêter , non plus que sur l'intégration de l'équation
qui se réduit cPaitleurs à déterminer Cy C, etc. dans la valeur de y^ , suivaiit la méthode du n'^r^'j^.
990, C'est aux méthodes ique nbus^ venons d'exposer que se ramène en généï'àl la détermination /d'épr%s des conditions données , dés fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrale^ des équatioiis différentielles partielles , et dont ' nous lavons traité quelques cas paiiticuliers dans les h**. 796 et 797. Voici à peu près comme Monge a présenté cette recherche. ^
Sbit -Zh^ém^i^) + JNT^i r ) l'intégrale d'une équation différentielle partielle , Z désignant une fonction des trois variables X, y f [tt M, N ^ £/, f^, des fonctions de :r, y seulement. Supposons que les fonctions arbitraires indiquées par les caractéris-^ tiques ^ et 4 9 doivent se déterminer par ces conditions i I^ qu'en faisant j^ = f ( r ) on ait {=:F(;c), x\ qu'en faisant y=:zî,{x) on ait i=zFXx); si Ton représente par M\ A^, 27', F'^ Z\^ ce que deviennent les fonctions -M, A^,' V ^ ^, Z,dans la première hypothèse, et pw M', , iV, , 17', , f^ , , 2', , leurs valeurs dans la seconde , on aura ces deux équations
Z'=M'?(27')+JV'4(I^')
Z'.=Af'.^(i7'.)+JV'.4(^\);
xté Cn: Î..D ir Cal eut,
faisant dans la premièri V'sav^ oh déduira de celle-ci une valeut de d; en V , au moyen ât laquelte on changera les fonctions AT» iV, V et Z'j en fonctions de v , et <!o les désignant dans ce nouvel état par M',N', 17', Z-, oiv aura
posant ensuite V\'=^v ^ on obtiendra de la. même manière un ré^ sultat de la forme
féiimin^nt 4(^^)1 eatrè cette équatioç et U précédente ^ if viendra Téquaiioa , .
que l'on Convertira v^ nnf équation aux difôrences ^ en prenant U'^u, V\=zu,, piU') = iet piU\)=t,.^On déduira àt Jà une relation entre u^ ti u^ ou l'expression de lu tn u^ et on tirera aus^ de ré<iuation U''^=^ u une valeur de v en u, pour la substituer dans M\ N% Z% M\ , A^'. , i\ ; on formera par ce. moyeQ une équation aux différences entre la fonction e et la variable indépendante ». L'exemple suivant éçlaircira ce procédé.
Soit réquation i(^z:zp(ax — ^)+4(*;«? — >)f
^ns laquelle on se propose de déterminçr les fonçons arbitraires p • iet 4 par c^ çondiliops^;
I*. <j[rfeii faisait y^scAx, ^z=zBx^^
Par la substitution de ces valeurs l'équation proposée devient suo- (Cjssivement
Bx-=faa^J)x) + ^ai^'^^)^) /}jc*=^((ii— (7);ç)+4((*— O^i
posaot (lhmmA)xrszv , dans la première de celles-ci , et (* — Qx^szv , dans la seconde ^ on trouve
et
DES DiFFÈREIfCES. ^117
et on les change par ce moyen en
Bv^ /a— A \ , •
•(ï=:cf='(i=c'' ) + •*«'
on en déduit ensuite
Z?v" Sv" /a — C \ /et-'A \
et faisant
on obtient premièrement Téquation
puis on transforme récjuation contenant la fonction 9 ^ en cette autre
JO^b^AYif But ^
Cette dernière équation s'intégreroit facilement par le procédé du n*. 988 , mais on en peut encore tirer plus simplement la valeur de /y en substituant i^/ à /,-— ^^ d'où il résulte
D(b—AY S / = i: i X «*— — i sa*.
en observant que les intégrales £»* et ^t^, doivent être prises conformément à la relation qu'établit entre la variable indépendante u et sa différence , Téquation
(A-^-CX {h—A)u j
qui revient à
tf— C Ka—A a—C/
Monge remarque que si Ton a en général ùkU^=zKuy iC désignant un rapport constant, il vient
A .«"•=(«+ X»)"— «"•=«•{ (i + Kf— I } ; Appcnduc. £ e
2l8 Ch. hVErCALCi/L
et il en conclut par conséquent
jn
avec le secours de ces formules, op obtient
~ ( a—A)\ b—Cy (I + K)'— I {a—J )' (i + ii:)"— I ^ en faisant pour abréger
Il résulte de là r '\-K ^Y~^l?ril > «t
Du!" / a — C \
D(b—AYu' Blb-^Cfir
t(u\ = ^ — ^m^ : 4- constm
^'^"i (a^C)\b—A)'~-(a—A)\b^Cy («-^(7)'"(é-^^'"— (a— ^-(*— C)" ^
en remettant ?(«), au lieu de /j on a donc ainsi la composition
de la fonction arbitraire f.
Pour arriver à •^(^ù)fOa peut se secvir iadi&tinctement de l'une
des équations
Bu" / a— A \ ...
Dit / a—C
et on trouvera
'^^'''-(^a—C)\b^Ar—{a~r-AY{b-^ÇY (ar^Cy{b^Ay^a-^Ay( b~~ C)' •^**'"''
on aura donc enfin
B{b^Cyiax-.yy-B(a^Cr(ix^yr ^ {a—AY{b^Çy'^{b-'Ay{a-^CY
en écrivant au lieu de » dans la valeur de 9{u), la quantité ax-^-y^ et dans celle de 4(b) , la quantité ^j: — y.
Il est bon de rfiç^rquev que la valeur précédente de [ devient | quand b=a y parce qu'alors l'équation
n E i DlFFÂRENCEt, Ctf
qui répond à l'équatioa difierentielle partielle
cesse d*en être l'intégrate complète , et qu*on a
les deux fôActtOns arbitraires renfermant dans ce cas la même qttan* tité se déterminent suivant le procédé des n""*. 334 et suivans.
On voit facilement par ce qui précède que la détertnihatitfft det fonctions arbitraifes dans toute équation de ta fojme
dépendra d'une équfttion aux difiëfeRces de U totmt
dans laquelle W est line quantité dûùnée tti ii^U rapport de cette variable à ^a différence étant Msii domié. 991. Prenons pont sWond ei^ftrple Téquâtiott
[P=x'\{ax-^y) ^-y^'^ihx^y)^ et pour conditions , qu'en faisant ^
i\ y=^Ax^ on ait [=iBx'*
i\ y = Cx i=Dx^4
On tire xle ces supposkibns
B^xr—x'f{{a^A)x) +A^Jt^^{(^b ^A)x)
d'oùj etk posant (^l— >*)A:=y, (* — C)^=v, il suit
SPyF^-» . /a — A
et réiimination de 4 ( v ) , entre ces écpiations , conduit à Faisons maintenant
Ee 1
xio Ch. I. Du Calcul
nous aurons
ce qui revient à
la rdafîon entre u et j/. sera d'ailleurs exprimée par
:,tf,= ^u^ d'où Aa= ): il L-i^^
Si l'on prend /=^(i/) et t^=p{u^)^ on aura évidemment ~ pour déterminer /, une équation aux différences, de la' forme
dans laquelle tr 9 JE, Ff désignent des coefficiens constans; et le rapport de^la variable indépendante zc à sa différence sera donné par une équation de la forme ^u=Ku , eii sorte que si l'on regarde u comme une fonction indéterminée de la variable { dont la diffé*rcnce est égale à l'unité , on aura l'équation u^^=z(K+ i)ti^. Il est très-facile d'appliquer le procédé du n^. 988 à l'intégration de l'équation r.— G t ^Eu^'^'^Fur-^
que par ce procédé on transformera d'abord en
t^,^Gi,= ECXK+ !>'—>— FC'(iC+ i)Cr-- >
C^ étant une constante arbitraire; mais au lieu de poursuivre ce calcul 9 nous allons faire connoitre un artifice d'analyse fort élégant , employé par Monge.
Nous partirons avec lui des équations
Eu''^Fu^=G9{u)+A9(u} ^ . AUzsiKu^
en disant pour abréger
pn—x = fif /»» — 1 = «; et en observant que l'équation àuz=zKu conduit à
A.»»= (( I + X )-— I ) »* ( n\ précéd. ) ,
DES DlFFEREKCES. X%1
puis a «r:= -r -— , nous rccoijnoitrons la possibi-
Uté d'introduire de^ différences dans le premier membre de Téqua* tion à intégrer^ de manière à donner à ce membre une forme semblable à celle du second. Il suffira pour cela de partager les coefficiens £ et /* en deux parties c et /, / et /', ce qui donnera un résultat
qu'on pourra transformer en
et SI l'on ùàt
il Viendra
on aura pour déterminer les coefficiens e, ^tf^f\ ces équations : desquelles on tirera
G+Cn-A)-— i' * <;h-(i+a:)*— I
cela fait, on obtiendra
équation à laquelle il est aisé de voir qu'on s^itisfait , en prenant
111 C H. I. D V Calcul
En substituant pour £, JF", G tX K, leurs valeur», et laissant toujours « et iS , on obtiendra
C*B'{b—CYu* \
* ^"^ "~ C'{a^JY{b—CY—A\b—AY{a—CYl
__ AW\b^JYu'^ t + '""''' ^
C\a—A)\b—C)^^A\a—CY{b—AY)
avec cette expression on trouvera , pour celle de l'autre fonction arbitraire ,
B'{a-CY'^ ' + "'"'''•
et l'on aura enfin
Cette équation , en satisfaisant aux deux conditions imposées ^ conserve bien évidemmenC la forme :(^r=:>x^p{ax — y^^y^-Mhx-^y)^ déterminée par Téquacion diffi^rehtielle partielle qui lui correspond ; mais elle deviendroit illusoire si l'on avoit a^=h , pafee qu^elle cesse* roit alors Hkt^ une intégrale complète.
992. Monge parcourt successivement plusieurs formes d*équa* tions \ il s'occupe du> cas oit Tune des fonctions arbitraires entre dans la composition de l'autre ^ et prend pour exemple gênerai l'équation ;^ = ^ ( 27 + 4 ( ^)) ,
qui peut s'-écrire ainsi ,
f désignant une fonction inverse de 9 ^ et se traite alors d'une manière anaFogue à celle du n"". 990.
U en est de même de l'équation
DES Différences. 223
qui y lorsqu'on passe aux logarithmes, devient
ou sifBpleœent
en changeant de fonctions arbitraires.
99). Le calcul sé^ complique beaucoup à mesure que le nombre des fonctions arbitraires augmente , et présente de nouvelles difficultés» ainsi quon en jugera par ce que nous allons dire, d^iprès Monge , sur l'équation
Soient les conditions suivantes :
I^ quand j^ = f(^), j = F(i:)^
supposons qu'en faisant dans l'équation proposée les substitutions qu'elles indiquent , on ait
on fera successivement ^'=v, ^',= v, F\:=iv ^ on tirera de chacune de ces dernières équations des valeurs de a: > que Ton. subs^ tituera. successivement dans la première , la seconde et la. troisième des précédentes , et désignant les résultats par
ôo pourra éliminer la fonction ir(v) : il viendra •
P'Z\^P\Z'siP"M\9{T",)^P\M'f(r')+P'N'A(U',)—P'^N'4(U'), P'Z\..^^^Z'':^P''M\p(r\)^P\M''f(T'') +P'N\m;\)—F'X^{U') , équations que , pour abréger , nous représenterons par
Soit maintenant
a24 C H. I. D V Calcul
il faut bien observer qu'en général les quantités /( et U^ ne doivent pas être regardées comme des valeurs de t et de Uy consécutives à /^ et à u^^ parce qu'elles ne résultent pas nécessairement de la loi de variation établie par le passage de » à », et de r à r, , en sorte que si Ton prend ^, — r=A/, «j — «=A«, il faudra faire /, — /=A't, v!^ — u^=-à!u^ à! désignant une autre diflPérentiation que A« L'élimination de v entre les équations qui déterminent t^ t, yt\9 u^ u^^ u\y donnera les diverses relations que les variables /et « ont entr'elles et avec leurs difiérences ; posant ensuite
on obtiendra deux nouvelles équations de la forme qui revient à celle-ci
Nous voici donc amenés à un nouveau genre d'équations , dans lesquelles les di6Férences des variables sont relatives à diverses hypothèses > et par conséquent représentées par des caractéristiques différentes. Nous ne connoissons jusqu'à présent aucun travail étendu sur ces équations ^ qui paroissent devoir présenter encore plus de difficultés que les équations ordinaires aux différences.
Nous n'avons considéré que le cas oh les fonctions arbitraires ne sont qu'au premier degré dans l'équation proposée ; en variant les circonstances que cette dernière peut présenter , on tomberoit sur de nouvelles recherches de plus en plus épineuses; c'est ainsi que Condorcet a montré que quand les fonctions arbitraires entrent d'une manière transcendante dans l'équation proposée ^ leur détermination dépend d'une équation contenant à la fois des différences et des coefficiens différentiels. L'étendue qu'a déjà acquise l'ouvrage que nous présentons au public » l'importance des matières qui nous restent encore à traiter^ ne nous permettent pas d'entrer dans l'examen de ces diverses questions ^ qui n'ont offert jusqu'ici que des résultats très-peu satisfaisans , parce qu'ils sont très-particuliers ; nous croyons avoir rempli notre tâche en faisant seulement connoître
leur
DES Différences. 22.Ç
leur origine , leur but ^ et en les indiquant aux recherches des jeunes gens qui se proposent de cultiver l'Analyse pour en étendre le domaine et en applanir les difficultés.
994. Lorsqu'on à un nombre m d'équations entre /tz + 1 variables et leurs différences » on peut appliquer à ces équations les divers procédés dont on a fait usage dans les mêmes circonstances à l'égard des équations différentielles ( n". 651 et suiv. )• Pour donner d'abord un exemple de l'élimination , nous prendrons les équation»
. y.+P.y.^.^Q.i.+Ki.^^ ---(O
en chassant premièrement {,., , comme une inconnue algébrique , il vient
(/î',-^,):k,+(/i'.^~A,p',)^,.=(/î',q -iî,<2',)o ;
écrivant ensuite dans ce résultat x — i , au lieu de a: , on obtient cette nouvelle équation w
dont la combinaison avec les équations (1) et (2) servira à chasser en même temps î, et {^,. Si l'on multiplie l'équation (i) par *, l'équation (2) par «^ et qu'on ajoute les produits avec l'équation (3) , on aura , après avoir égalé à zéro les quantités qui multiplient ^ et ^, , ou posé les équations
^K+^'K, +^',..Q'.-..-iî,^.Q^-.*o,
réquatiott finale
qui sera encore du premier degrés mais qui montera au second ordre.
Il est facile de généraliser cette méthode , si l'on observe qu'elle ' se déduit de celle du n^ 78 , en remplaçant les différentiations indiquées dans ce n**. par les substitutions successives de a: — i , X — ? , etc. au lieu de ^c.
995. Laplace s'est occupé en particulier d'un genre d'équations qu'il nomme rtntrantts en elles-mêmes , et dont les plus simples Apptndïci. Ff
sont de la forme
y^'Ajx-i
yx9 yx9 >"*»• ••••'••y* désignant des fonctions de la variable x, telles que chacune étant exprimée par celle qui vient après , la dernière Test nécessairement par la première. On rend évidente la composition de ces équations en imaginant que les fonctions
JK* > 7, , y, » y»9 soient disposées autour de la circonférence
d'un cercle ^ de manière que la dernière y^ se trouve contlgue à la
première y^ ; d'après cet arrangement les équations rentrantes eii elles- tnâmes expriment les relations de chacune de ces fonctions avec un certain nombre de celles qui les précèdent. Si la loi doit être telle que chaque fonction soit , par exemple , égale au double de celle qui la suit, rapporté à l'indicé x^—i , plus au triple de celle qui suit cette dernière, rapporté à l'indice x — i, les équations rentrantes qui expriment cette condition seront
ni 2
Il est évident que l'on auroit toujours les mêmes équations en commençant par celle que l'on voudroit des fonctions cherchées.
Pour intégrer les équations rentrantes j il faut commencer par en déduire une équation finale entre la variable indépendante x et l'une des fonctions cherchées ; la forme des équations proposées donne
n E s Diffère NCJS s. iiy
lieu à des simplifications dans le procédé, pour lesquelles nous renvoyons au Mémoire de Laplace , cité dans la table et dont nous avons tiré ce qui précède.
996. La méthode du n*« 656, par laquelle nous avons intégré conjointement plusieurs équations différentielles, s'applique aussi aux équations contenant des différences ; c'est ce que nous allons montrer sur deux équations du premier ordre, auxquelles nous donnerons la forme
^'x^,+A^Ux.+/'W,+ Q',^x=^'x ( ti\ 970 ),
pour les rendre plus analogues aux équations différentielles. Nous multiplierons la seconde par un facteur 6 , et l'ajoutant à la première , il viendra
si l'on met cette équation sous la forme
elle se changera évidemment en une équation à deux variables , toutes les fois qu'on aura
car en faisant alors j^^ + j^ ,^j^ K^^Vxy il i^endra l'équation
qui rentre dans celle qu'on a traitée , n**. 971.
Les conditions à remplir dans cette circonstance sont exprimées par les équations
La première donne S , et l'autre est purement une équation de condition, qui sera satisfaite , en . faisant B constant, lorsque les
Ffi
iiS C u. î, D u Calcul
•coefficiens iW, A','. A/', N\. ..... seront constans ; dans ce
cas, 9 sera déterminé par l'équation du second degré
(Q+9<2')(M+flJW'):=(JV+«A7')(P+9P').
Lorsqu'on aura les deux valeurs de cette quantité , on en déduira deux valeurs de y, , qui conduiront à deux équations de la forme
à laide desquelles on déterminera séparément y^ et {^
» Nous observerons que dans le cas qui nous occupe ^ on peut aussi ,
' par une méthode analogue à celle du n% 653 , ramener les équations
à celles-ci
qui n'en diffèrent que par l'absence des termes V, et V'^ Ert effet , si y, et y\ , {', et^",, sont deè valeurs particulières qui satisfassent à ces équations, on aura, pour les valeurs complètes,
si maintenant on jïfend les différences , en faisant varier les quantités C'yC", et que l'on substitue dans les premières équations proposées , elles deviendront
DES Différences. 129
ks deux ; premières lignes du premier metnbre de chacime de ces équations sont nulles en vertu de
il ne reste donc que les équations
qui serviront à déterminer A C et A C".
Ces indications suffisent pour pousser aussi loin qu^'elles peuvent aller les méthodes que nous venons de rappeler, en s'aidant d*ailleurs de leur application aux équations différentielles dan» les n**. cités,
997. Pour ne laisser inconnue aucune des méthodes que l'on peut employer avec succès à l'intégration des équations du premier degré aux différences ; nous montrerons , d'après M. Paoli , l'usage que Ton peut faire à cet égard de la méthode du facteur.
Soit l'équation
yr4-»i+^^*+»-i'+ Q,sy^nr^* • • • + ^»yx=^K ;
en la multipliant par un facteur quelconque /x^ , et supposant qire ,son intégrale première soit alors
on prendra la différence de cette dernière équation ^ qui sera
f*x+i (**4-i J'^^-» +^ *+ij'*-i-»-i + Q. ;r+j'*+iî-** . • . + r ',4.1^,+, )
et on la comparera avec l'équation proposée multipliée par f^ , ce qui donnera
ijo C H. l.Du Calcul
Si Yon prend ces équations dans un ordre inverse , on en tirera
'^ M ^ ar+i Jm
d*oii Ton conclura T =— 27
C' !!:f±Lu T
/^ r •"= ^«+» ~ -* ar+l ^»
jr =— C/x+»-*""~ — — j ^ji-î • • • • — ^
déduisant de cette dernière la valeur de «t^^^ y pour la mettre dans réquation «^+if*r4.i=^** > O" a^^'a
Il est visible qne cette équation répond à celle du n"". 979^ car si Ton fait — ^*^ = — , il s'ensuivra
hx^ l^x-^ f^f±i ^ • (ff+J (W} (W* ^x4-î ^
M, ^x+/ /** P^Pa^t^ ^x f^x+*Vx+.* /*# PxPx^xPx^^
ce qui donnera -^^= ^ , et conduira par conséquent à
iPx4ti^i 1
1 il — I "^ 2 I • '
Mn^
D E $ DlFFÀREN. CES. 2.3 î.
OU à
Noij^s ne nous arrêterons point ici sur les propriétés de cette équation , nous nous bornerons à observer que lorsqu'on aura trouvé n valeurs particulières qui y satisfassent j on pouna former un pareil nombre dVquations semblables à
au moyen desquelles on obtiendra l'expression j^, , eh éliminant
les n—i quantités y^^, , y^,^ yx^-n^x*
Si on n a voit que n — m valeurs de yi^ , on ne pourroit chasser que n — m — I de ces quantités , et on rameneroit par conséquent Téquation proposée à une autre contenant yx^yx^i ^•••••yx^'my c'està-dire, de Tordre m.
998. Les quantités arbitraires, introduites par Tintégration des Ds la nature des équations aux différences à deux variables , ne sont pas nécessai- ^/^'traires intro-
, duites par 1 intc-
rcment constantes comme celles qui complètent les intégrales des ^ration des équaéquations différentielles; mais pour donner aux réisultats toute la ^'^n* *«« d f^ércn*
7 / f ^ j -1 -Li j • 1 ,. • ces , et de la cons-
généralité dont ils sont susceptibles , on doit regarder ces arbitraires truction de ces comme variables. En effet, Téquation Ay=o, n'exprime pas abso* <!"*'*'>**»• lument que la fonction y soit constante , mais seulement qu'elle ne change point de valeur lorsque la variable indépendante x devient x-^àx. Si, par exemple, ax est constant et égal à A, on pourra ^ prendre pour 5" toutes les fonctions de :ir, qui conservent la même valeur quand on y met x^hj au lieu de x. Or il est facile de voir que parmi les fonctions circulaires il s'en trouve un nombre infini qui jouissent de cette propriété : telles sont les fonctions
ijfX ItX
de sin -r- , cos — , lorsque w désigne la circonférence , car la substitution de x+A , au lieu de a: , dans ces quantités , donne
on peut donc , dans cette hypothèse , prendre
^=^rsîn — , cos— V pour l'intégrale de Ay = o, au lî^
23^ C H. , !• D V Calcul
de ^=C, en (Considérant d'ailleurs la fonction p comme entièrement arbitraire et susceptible par conséquent de toutes les formes possibles. Il est évident que la fonction qui complète l'intégrale de l'équation Ay=5=o , prise dans l'hypothèse de Ax=h , compléteroit aussi tpute autre équation aux différences du premier ordre prise dans la même hypothèse ; il faut donc substituer dans l'intégrale .de l'équation quelconque du premier ordre ( n*. 971), au lieu de C^ la • quantité ^(sin^jf, cos^r^), puisqu'on y suppose A a:, ou A=5i.
999* C'est Euler y qui le premier^ fit cette remarque importante , en cherchant le terme général des suites récurrentes ( n"". 9S3 ) , par l'intégration d^lne équation différentielle d'un ordre indéfini ; la inarche qu'il a suivie dans cette occasion est trop élégante pour n'en pas donner une idée. Il se propose d'abord de trouver le terme , général de la série dans laquelle chaque urme est égal à celui qui U pri-^ cède ^ ce qui lui donne l'équation j',+i=y, , et en observant qae
yx+i=yx+z
i dx 1.9 dx* il la change en cette autre
