I.2.3 dx
dx z dx* i^x.3 dx^
équation différentielle dq, premier degré , mais d'un ordre indéfini ^ et à laquelle on satisfait en prenant y,'=^c'^ ^ pourvu que fn soit déterminée par l'équation
ne
nr
+ etc, = o.
qui revient à e*— 1=0. Cette dernière donne d'abord ;»=o, etpar conséquent ^=C7; mais ce résultat n'est pas l'intégrale complète qui doit nécessairement renfern^çr un nombre de constantes arbitraires égal à l'exposant de Tordre de la proposée , et par conséquent infini ; pour y parvenir il faijt donner successivement à m toutes les valeurs qui peuvent satisfaire à réquation#''-^x=?Of or en passant aux logarithmes , on a
= ll=0=tiTV^— I (n\ 181),
expression
cxprfls^Ion dans laquelle i ro^présente tous les. nombres eittîers possibles , y (Tompris o. Si Ton jéunît ,^ comme dans le n*. 648. , chaque couple de valeurs semblables , on en déduira > pour l'intégrale complète demandée deux termes de la forme
c et c. désignant de nouvelles constantes arbitraires ; U suit de là que l'ôxpression de y^ sera de la forme^
^ f /cOS^:r + c''cOSlr^A: + C*'cOSj7r;r.»,
^*~ \ +c',sin TT jKT+c'^.sin %'Tx-^c'*\smiirx •
ce qui revient évidemment à une fonctbn arbitraifc, des^ quantités
sinwx^ QOSTx (Int ti?\4% ,.43 )• Eulef traite suoctssivement de la même manière les progressions par différences ( ou arithmitiquts ) , les progressions par qJUOtie{^ ( ou gcamétriquis )., les séries récurrentes , et parvient à des sésultats analogues au- précédent ^ mais nous ne saurions le suivre dans ces détails.
looo. Lorsque la différence de la yariable indépendante \r n'est pas constante > le procédé donné n*". 988 , appliqué à Téquation Ay^=o f conduit à la composition de la quantité qui doit entrer dans la fonction arbitraire ; car ayant changé cette équation en a^s==:o l son intégrale doit être %x::4(s^in^î^ cos^î), et iln'yaplus qu'^ substituer au lieu de ^ sa valeur en ».
Ayant trouvé pour le cas oîi ^x=ix^ — mx , dans le tC. 988^^
îl en résulte que la constante C doit être remplacée par
l \q 1 * If 1 •'
et que par conséquent Texpresâon complète de y^ y. ou de ^^tx), qui satisfait à l'équation ♦(*') = ♦('»*) + Q, «$t
f{mx)=A^'Çi^l\\-^ IM, coSi^{ll "^
l IfV f lî'-
+ ^{ll— ^-U}.
^Appendice. . ^g
1^4 C ». l. D V Caecum
Dans rëquation ç (:r*);=^(iJc) + 2 9 idu même numéro^ on » obtenu 2*= x^ et qui donne {;^= — ; la fonction arbitraire doit donc
être 4rsin'T — , cos-r— J» et Pon doit avoir par conséquenr V 1 2 1 2. /
Les mêmes considérations s'appliquent à un ordre quelconque ;. réquation du n"*. 989^ nous servira d'exemple. En y supposant les» coefEciens constans^ elle se réduit à
et se ramène à
la différence de la variable {^ étant égale à Tunité lorsqu'on prend<
\x î = r— : par ce moyen Fintégrare
qui 9 pour être complète , doit s'écrire ainsi
J^.=/»'V(5În»^Îj COS9r;{;J + ;iï"'f*'(sin*î{, COS^rç) "^î
+/»"V(sin9r{, cos9i-î)+' ,. J ^'^
4^'^ f ', ^'''^ •••••• désignant des fonctions arbitraires indépendante»*
les» unes des autres, devientv
^*==* K»°u' *^^Tf)+' *(^*"T7' ^^^It)
"7— „f- . wl:r îrlji\
+^*^ ^"(sm-r— , cos-r— )•••..
en y substituant 9 au tieude {^ sa valeur en x^
looi. La détermination des fonctions arbitraires qui complètent: les intégrales des équations aux différences , ne peut s'opérer en assu-^ îettissant ces intégrales à satisfaire à un nombre limité de valeurr données 9 car il est visible que toute fonction arbitraire comprend < implicitement un nombre infini de valeurs arbitraires. Soit pour exemple l'équation j',= -yf (sinv:r, cos9rjc)» de laquelle on\ doive tirer un certain nombre de valeurs ^^=tf, y, ï=tf',^,3Ba', etc* Si ces valeurs répondent à ji:=^0| x=i ^ jKr=:2^ etc. on ne pourrs^;
2> E s D 7 I^ T é R E if C 1£ S. IjÇ
satisfaire en général qu à la première des conditions imposées ; car ^
dès qu-on aura assigné pour ^(sîn9r:ir, costat), une première
valeur déterminée , de laquelle il résulte y^-=i a , cette valeur
devant se retrouver la même pour les indices xz=z i , jKrz=i , Ar=3 , etc.
il s'ensuit que les valeurs de y^ , relatives à ces indices \ sont aussi
déterminées. Il faut donc que lès quantités données a y ^\ etc. corr
respondent à des indices*intermédiaires.
Si au lieu d'un nombre limité ^e valeurs isolées , qui ne peuvent
^terminer qu'un pareil nombre de valeurs de la fonction arbitraire^
indépendantes les unes des autres ^ on suppose que dans l'intervalle
compris enirex=D et :r2:i^rexpre$sion dey, doivefournirles mêmes
valeurs qu'une équation donnée j^,=f(jc)^ la question sera déterminée»
En effet , s'il s'agissait de trouver la valeur dey' ^ qui correspond à un
indice égal à un nombre entier quelconque m , plus une fraction y soit
çommensurable , soit incommensurable , que nous dé»gnerons par /z^
on calculeroit la valeur dey,^td'aprèsréquationy^==:f(Ar);comparantl$
jrisultat avec celui que donne alors réquationy^=^?(sin'Tx^ co%ifx\
on auroit pour ce cas la valeur de ^(sin7r>z j cos:r/i) , qui doit être
la même que celle de ^(sin9r(/n + /z) ^ cosv- (/tz + /z)3 ,
€t l'équation y^t=, ^^{sin tt s , coscr jf ) , devenant par là
:ri»+n=-^i».+/.^t5inx/ï, cosT/î),
sorcHt entièrement déterminée.
La seule condition à laquelle soit assujettie l'équation donnée
y,= f(jt) 9 c'est qu'on en tire poury^ ety, les mêmes valeurs que de l'équation y,=Jrip(sin^;c, cos^jt}.
I002. Les considérations géométriques jettent un grand jour sur la théorie analytique que nous venons d'exposer. Cherchohsd'abord 4:omment on peut représenter , par le cours d'une ligne , les circonstances de réquation Ay=o: soit AR^ jfig.^^ une droite indéfinie ^^' ^* parallèle à l'axe des x^ menée à une distance quelconque de cet axe ^ «t divisée en parties AA'^ AA\ A^A*'^ etc. égales à Ax; toutes les courbes telles que
ABA'B'A'B'A"S, ACA^C'A^CA^'T, ADA'iyA'D''A"U,tic. passant par les points A, A', u^% A^\ et composées , entre ces points , de parties égales et semblables ^ satisferont à l'équation Ay = o. Cela est d'abord évident pour les points A^, A\ A""'^ etc. et l'on voit
Ggi
iî($ Ch.L Dû Calcul
ensuite que, prenant j4P=:x , AF^x+£LXy les arcs^^Z ttA^L JMetA'M\ AN^xA'N\ etc. étant égaux et semblables, les ordonnées LP et VP\ MP et MP\NP et N'P\ etc. seront aussi respectivement égales^ et l'on atira par conséquent dans chaque courbe Ay=oi \ Si lk>n suppose, par exemple, que la courbe ^5 ait pour équatioa
sm —, COS-— ), elle remplira évidemment les conditions
