AX J^X

exigées au commencement de cet article et toutes les ordonnées^^ PM , ^A^ , etc. élevées sur la même abscisse , seront nécessairement

des fonctions de PL^ ou de sin — et décos — ..résultat qui s*àc-

•aa; " ax ^

corde avec celui que nous avons tiré des con^dératïoni anâîytîques*.

La condition Ay^ù , n'entraînant point la continuité dans les ï€^

sultats , les courbes AS , AT, AU y etc. ne seront point assujetties^

è cette loi. Le polygone EFE'F'E\ . . V, composé de parties sembla»-

blés £F£', £'¥"£% etc. donne également Ay=s=io ; îleti seroit detnêmfe

4*une suite d'arcs égaux* et semblables d'une courbe quelconque

assemblés d'une manière discontigue ^ comme le sont les zxcs

1003. La constrniction deis équations aux difikences s'accorde par» faitement avec la détermination analytique d« fotfctions arbitraires.. En efFet y soit Ay = F^x , y) , une équation quelconque de ce genre et du premier ordre ; ayant choisi arbitrairement , ou déterminé ;, suivant les conditions -de la question , le premier point B , de I& riG 3, courbe cherchée^ /g. 3,. tomme l'équation n'apprend rien sur tous les points correspondans à la portion d'abscisse AA':=z£^ , et qu'elle donne seulement l'ordonnée \^'5'=y,, on pourra faire passer par les points B et B* une portion d'une courbe quelconque ; tela fait „ pour obtenir la portion correspondante à l'abscisse A'A^^ on prendra en arrière d'un point quelconque P' de cctte^ abscisse , une distance Pi^=-rf-4's=A;r,. et élevant l'ordonnée PM, on mènera Miy parallèle à ARy tirant ensuite de l'équation Ay=.F{x, j) la valeur de Ay pour l'abscisse AT\ cette valeur donnera la droite Z?'JM', qui jointe à P^D"=^PMy fera connoître le point M\ On trouvera dé même tous les points de ftrc VB* : cet arc employé à son tour comme l'aie BB^y donnera «eux dn troisième arrc 5 "5", ^ ^insi de suite.

jy E s D I f T é R E N C ^ f. ftj7

Il est évideRt que l'oii poiirroit^ par le 4nême procédé, continuer la courbe en aprière du point A y et que dans tous les cas elle ' satisfera à Téquation proposée, puisque les différences àyz=iD'M' auront des valeurs conclues 4e cette équation r nous laissons au lecteur à Êi^ire r^ppUiaffion 4e de .procédé aux équations du second ordre et des ordres supérieurs*

1004. Nous avons ^iq)posé j>kts haut que la4ifférence de l'abscisse x étoit constante ; si le contraire àvoit Ueù , on m'en construiroit pa& moins les équations aux (Ëâëretices» Dams ce cas, les équations proposées peuvent être mises spus la forme

^x = {(^x}y ^y — F(^x^y)i fc première se conscmira d'après le n\ précédent , en regardant x comme fonction d'une nouvelle variable u dont ta différence soit constante. Ayarft obtenu par son moyen la grandeur de Xx , correspondante à ufve valeur quelconque 4e «r, on se servira de ce résultat pour construire par la seconde équation^ le Ay correyl pondâfnt» .

£n reiganrdant les trois variables. «^ ^, >^,<K>mme les coordonnées ides points de f^ptce y les équations .proposées représenteront une courbe à double courbure. La première donnera la projection sur le plan des x( et a:^ et la seconde la pfOJe<Ai<fn sur le plan des ^ et y : si l'on élinnnoit x^ oa .parviendroit â réquauott4e la pro)e€tîoa «ur ie f Itai 4es 0 et jr^

1005- La correspondance qu^on a dû remarquer entre les équa- De k multiplîtîons difïerentielles et les équations aux différences^ a lieu par rapport ^»^* des intégrales à la liaison de ces dernières avec leurs intégrales , et repose sur des llT 'ifférS* considérations analogues à celles que nous avons exposées dans le sont susceptibles» "**• 577 ï ^ l'égard des équations différentielles. Ces considérations ont été mises dans tout leur jour par Biot ^ Professeur 4e Mathématiques à l'Ecole centrale du Département de rOi$e,dans un Mémoire qu'il a présenté à l'Institut ,*et duquel nous avons tiré ce qui suit.

Si Ton a une équation quelconque F{a,Xy j^)=o y entre les deux variables «, jr et la quantité a supposée constante , que l'on passée réquation consécutive F(tf , :ir, , j., ) = o , et que l'on élimine a entre cette dernière et la précédente , le résultat sera une équation aux difl^-

158 Ch. L Du Calcul

renceSy ayant pour intégrale complète F(tf, a?,^)=o; mais Tëquatioii aux di£Férences ^ que nous^ désignerons par Z=df ^ resteroit encore la même quand la quantité a serok variable , pourvu que le changement de cette quantité n*influât pas sur TéquationF/^^ x^^ y^y=zo. Pour eKâminer ^ette circonstance^ dans laquelle il faut regarder y comme tune fonction de. ^ et de il ^ nous écrirons Téquation pimitive proposée ainsi: r{^>tffj^*,a} =o...(f').

et lorsqu'on fera varier x ti ata même temps , on aura

Cela posé , il est visible que l'équation Z=o seroit encore satisfaite par réquation F {x^a^y^^^} =0, dans l'hypothèse de a variable , si l'on avoit y^.^ , ai=y,i . « > <î^ <ïui arriveront nécessairement si les équations

Douvoient s'accorder lorsqu'on changera dans la seconde y^ , «i ^W yMi,a- ^di^ ce cas, les équations

F{*,,tf>y«,a}=o, F{x,,tf,,3^^^ J=z=o.*..(F); auront lieu en même temps ; et en éliminant yxv.ay elles conduiront' à une équation entre x^ ^n ^ 9 ^1 » qui exprimera la loi suivant laquelle doit varier a.

Ce résultat n'est pas entièrement semblable à celui que nous avons indiqué dans le n*. 577. Dans ce numéro y la relation entre attx est exprimée par une équation primitive , en sorte que la valeur de a qu'on en tire n'est que particulière ^ et l'équation F{ar,tf,y,^^}=o, pcr-: droit sa généralité paria substitution de cette valeur ; dans le cas actuel au contraire , la relation entre x et a étant exprimée par une nourelie équation aux différences , conduit à une valeur dea^ complétée par une quantité arbitraire , à l'aide de laquelle l'équation T { :t,tf,>^,,a} =0, conserve toute son étendue , et ofte par conséquent encore une intègrde complète de l'équation aux diffiSrences Z=o , au lieu d'une solution particulière qu'auroit eue dans les mêmes circonstances une équation différentielle.

I oo6. Pour approfondir davantage la liaison qui existe entre les averses intégrales dont nous venons de montrer l'existence , il faut se i*appe1er que^ considérée analytiquement , une équation aux diflférçnciss doAQe le terme général d'une série , et que ^ sous le point de vue

i> s s Différences. ij^

géométrique elle est le lieu d'une ^uite de points correspondans à des abscisses déterminées suivant une certaine loi. Quand la constante a reçoit une valeur particulière ^ Téquation V{x^a ^y^ , ^} =o. • . CO devient une imigraU partuuBre de Z=o , d'aprèsf le sens que nous avons^ attaché à cette expression dans le n"". 576 ; les équations f {*>^.»J^*,.i }=o...(r,), F{^,-«.,^«,«}=o...(f'.),etc appartiennent donc à des lignes représentant les diverses intégrales particulières qui nabsent des valeurs a^,^ a^ f etc. attrii>uées à la constante a^tt il est évident que Téquation F { jt, , tf, ^y^n , «i) =0 ^ répond dans la première au point consécutif à celui que désignent les coordonnées x ety^^ «,. En établissant donc l'identité de j^^^ ^ ^g et ^yM9.,09 ^^ considérant les équations-

F { *T y^^^Miu a}—o^ F {x,^a,,y^r. a} =0. . .(S^) , comme ayant lieu simultanément^ on exprime que les lignes données par les équations (^) et (T,) se coupent au point dont Tabscisse est jif, et l'ordonnée y^^^ »=yMi .«1 f •« que la série dont le terme général est déterminé par la première équation , coïncide dans son deuxième terme , avec celle dont le terme général dépend de la seiconde équation..

Maintenant si, dans les équations (IT) ^ là quantité^ reçoft des valeurs succesâves conformément à la relation qu'elles assignent entre cette quantité et les autres variables , on aura ces nouvelles équations

F{jf.^tf,,y,,,.^J=o, F{;x.,if^,j^^,^i}=o...(7r,), d^bh il résultera.encore jr«,^a.=y„, «» , et qpi par conséquent éta^bliront l'intersection de la courbe désignée par (F^) avec celle que représente (^,) , au point dont les coordonnées sont x; , y tn.mir=^y En continuant ainsi de proche en. proche^ on obtiendra une suite de résulats compris dans tes équations

F{^», tf(»-.) jj^*(»),fl(i.-i)}— o,. F{4r^, ^wf J'«(ii),«(ii-i)}=Oé . .(iirj^ qui supposent que^;;,), a(»)=r*(«)wi(i.-«) $ et établissent par conséquent au point dont lés coordonnées sont x^,y^^^^ a[n)—y^n). i^-^o , une intersection entre les courbes désignées par (^»^,) et (A'J;

t.es coordonnées dès divers points d'intersection que nous venons de faire remarquer , étant comprises dans la suite

vérifient l'équation 2f=o, cary,i, «i se trouve dans la seconde ligne consécutif à j'jj, a et antécédent à y^^^^ «, , et ainsi des autres. Il suit de- là que le système des équations (W) exprime la loi suivant laquelle il JAut faire varier z^ pour que Us diverses intégrales pareiculiircs résultantes de cette variation se coupent successivement dans des points qui vérifient t équation aux différences Z = o.

Si donc l'oa détermine au moyen de ces équations , la valeur de it en X , et qu'on la substitue dans Y{x , a ,jk*,^)=o<, on aura Téquation commune à tous ces points , d'bh dépend le terme général des valeurs àty^,a^ formées d*après la série précédente.

Il faut remarquer que cette série n'emporte pas nécessairement l'équation y^a, « =y«a, a. , €t celles qui en dérivent , et que parconséquent elle vérifie bien l'équation aux différences, premières. Z=o , mais non pas la différence de celle-ci , ou féquation aox différences

secondes.

Si réquation F(Ar,tf,>^,;) = o, que pour abréger^ nous représenterons par /^=o, contient des radicaux, ou si, lorsqu'elle en est dégagée ^ la constante a y monte au-delà du premier degré y les équations ( W) conduiront à une nouvelle intégrale que notks nommerons intégrale indirecte y mais elles n'en donneront pas d'autres qvte Vz=iOy si a ne passe pas la première puissance. Edaircissons ceci par quelques exemples*

1007. Soit réquation y^, a^= ax—'te...{V^.S\ Ton en prend la différence dans l'hypothèse de ax:=zx , on aura Ay:=:ax , d'où on

tirera a =^-^ et par conséquent

les équations ( ^) deviendront alors

et donneront par conséquent la suivante

ax,^a^r:=^a,x,^a,\ OU (a, — a)x,^(a,^^a,) =0 {U) , qui se décompose dans Iqs. deux facteurs

^4—4 = 0, x^—{a^+a)=:0, Le premier , d'oîi. U résulte a = const. nous ramène à l'équation

primitive

li E s D I F F é R E N C E si 241

primhîve ( f') , et le second étant înt^ré par le procédé du n% 988, après avoir mis %x au lieu de x^ ^ conduit à

\x - substituant «ette valeur de a dans l'équation {F\ on la changera en

Ix aljc

Pour construire cette nouvelle intégrale , il faut d'abord déterminer tes arbitraires açib^ de manière qu'au prelnier point , que l'on suppose donné ^ on ait y,^ 5 ==X«, a* ^^ désignant donc par .a et /l les coordonnées de ce point ^ on aura «

d'oh l'on tirera deux valeurs pour a et autant pour b ^ qui fourniront en tout quatre séries satisfaisant à l'équation (Z),

Il est visible que les deux valeurs de i seront de la forme

Ia Ia

€t ^ue par conséquent l'on aura" ces deux équations

IX'

yx,ht—

IX'

Soit m^^ntenant AX^fig. 4 , Taxe des abscisses sur lequel on ait FIG. 4; pris AP=ùL : les valeurs AP„^ , AP,, , ^P^ j^tAP"^ AP' , ^P''',, , . les unes antécédentes à AP et les autres suivantes ^ seront déterminées par l'intégrale de l'équation :ir'=iAf, qui donne 3;= i'«; d'oà l'on

voit qu'à chacune de ces abscisses , la quantité — ^j^^ — ^ est ^ale

â un nombre entier , que { — i). '* =+ 1 ou — i , selon que n est

un nombre pair ou impur , et qu'enfin (*— i) ^^ =1 • Cela posé. Appendice. ^ H h

on construira la parabole CQ donnée par l'ëquation

y== — *'% et la droite ^iî, représentant Téquation y zs+^'x;;

on obtiendra les ordonnées de rang impair , savoir :

en ajoutant l'ordonnée de la ligne droite ARyk celle de la para«^ bole , et les ordonnées de rang pair ^ savoir :

•♦• • • * 0^ii> >• * *^ • • • • en retranchant l'ordonnée de la ligne droite. Cela fait^ toutes les^ droites M^^M^^y ^u^j9 etc. qui joignent deux points consécutifs» de la nouvelle intégrale , seront comprises dans Téquation j^=tfAr — a\ ce qui vérifie la conclusion du n^ précédent..

Une semblable construction appliquée à Téquation formée par la^ seconde valeur de ^y donne une troisième intégrale dont les points» successifs sont désignés par les lettres

Ces points., ainsi que ceux de Tintégrale précédente ^ sont joints par des droites afin d'en rendre l'ensemble plus évident.

Il convient de remarquer que les deux intégrales indirectes se ré^^ duiroient à une seule ^ si l'on avoit ^8 = ^ «*.

ioo8. La méthode précédente suppose que l'équation aux diffé^ rences passe le premier degré et qu'elle ne puisse se décomposer em fecteurs rationnels. Si l'on avoit ,, par exemple , Ay*=c* , dans l'hypothèse de ùxz=zr, cette équation donnant Ay=4-c, Ay= — ^^ai deux intégrales distinctes

En faisant i^arier les constantes de ces équations on n'obtiendroii' point de nouvelles intégrales ^ quoiqu'il soit évident que les inté-^ grales particulières que fournit la première , puissent coïncider avec celles qui résultent de la seconde , de manière à satisfaire à^ féquatton aux différences comme le montrent ks séries

•ys*,Êi9 y*i-s àr^^ysi^ax', 9 y*9, iur^^ysik,ù*f 9 etc».

formées d'après celles du n"". ioo6.

II. est hàle d'apperc^vûir {lourquoi ce cas diffère de celui que

i> is s D I F F i n E V e T si \J^

nouS^ avons considéré en premier Heu. Les deux intég^alesi de ré<|ua* tion Ay*=c%. considérées séparément, ne fournissent que des droites parallèles qui ne sauroient se rencontrer ; de plus ces intégrales n'étant point liées entr'elles par une irrationalité commune ^ et se trouvant exprimées par deux équations distinctes , on ne sauroit , par une même opération ^ faire varier à la fois , les arbitrmres a tt^ a!

^e manière que les'droites données par l'qnexoupent celles qui résultent de l'autre^ maïs cette difficulté disparoit lorsqu'on a recours à réquation aux différences.

En effet , les diverses intégrales complètes tjue peut avoir une «quation aux différences y ne sauroient s'accorder indéfiniment dans les différences, de tous les Qidres.^ sans quoi elles seroitot identiques ; lorsqu'on fait y,,,«=y^,,«, il ^n résulte bien j^„,^,=^^^.^,, nais non pas j^«,,«=Xm>^> ainsi qu'il le faudroit pour que les^ différences secondes fussent communes aux deux équations. Nous conclurons de là que les diverses intégrales d'une même équation du premier ordre , doivent , en général , répondre à diverses équations du second ordre ; et Monge a montré le premier que l'on obtenoit ces dernières en différentiant l'équation du premier ordre ^ parce qiie .le résultat se décompose en plusieurs facteurs rationnels. C'est l'ap» plication du procédé exposé dans le n"*. 673 , qui Ta conduit à cette remarque.

Si Toa prend la différence de l'équation a^ssc*, on auraréquatioii

Kpii se décompose dans les facteursi

AV^ = o, 2» A^ + à.y = o^ le premier donne ày =^ 9 ^ étant une constante , et par une noi^ velle intégration mène à y^Ax-^^a. La consÉante^ n'est pas arbi*. traire , puisque l'équation ^y=^A doit nécessairement s'accorder avec la proposée Aj^*=c* ; on a donc ^==tc et y=z :±icx'i'a : telle est l'intégrale qui se présente la prennère. Le second facteur iAy+ A*^y=;o s'intègre facilement et conduit d'abord- à xy + Ayzsi 3J, ce dernier résultat donne y par le n"". 972 ^

Hh 1

244 C H. L Du Calcul

en réduisant et changeant l'arbitraire b en i^. Tirant ensuite de cette expression la valeur de-Ay pour la comparer à l'équation ày^=Lc'^

afin de déterminer Tune des arbitraires , on trouvera Ay= — %B{ — 1)%

d'où on déduira B=.:iz — ; on aura donc pour l'équation propo-

sée £^y^=:c^ les quatre intégrales suivantes ^

Voilà ce que M onge avoit trouvé , et Biot a fait voir ensuite que f si y au lieu de prendre simplement 5= =lr — , on supposoit

if = =i=: — ( — I y, en désignant par a l'abscisse qui répond à l'ori-

gine, q"^ ï'on fît varier jt de manière que x — «fat toujours un nombre entier, c'est-à-dire,, que (- — i)*^'"*>=+i> les deux intégrales indirectes devenant

donneroient pour les absdsses

«> <t+i, «+2* a+3, etc.

des ordonnées communes aux droites qui résultent dts intégrales directes, lorsqu'on détermine les arbitraires ^ et ^ par la condition que la valeur àty^^^ de l'équation (i) soit égale à celle de ji^^^ ^ de l'équation (4) , quand Jr=ct^ ou que dans la même hypothèse y», a 9 pfi$dans l'équation (2) , soit égal à^«, 5 , pris dahsTéquation (3). 1009. Pour appliquer commodément le procédé de Monge à réquationdu n% 1007^

^ = Aj. —

dans laqudle A x = x , Biot la change en

y = Px^P%

en faisant P ==: — ; et prenant la différence , il obtient

Ay = PAx + xùLP'i^ù.PAx — xPaP — aP%

DES, D I F F E Jt S N C E S^ 245

ce qui se réduit à

en mettant pour Ay sa valeur Px^ et en observant que àxi=ix.

Le premier facteur a P :?= o , étant intégré donne P = — = ^ ou '

Ay=:^ax, valeur qui substituée dans Téqqation proposée aux différences, conduit immédiatement à l'intégrale directe y=ax — a\

Le seccînd facteur zP + aP=i x^ peut être écrit ainsi P, + P=ix. En y appliquant le procédé du n"*. 988 , on a d abord à intégrer l'équation x^^=:ix^j puisque x^zzzxx^ et on parvient à ^.=i* j puis en opérant sur l'équation

on trouve

maîs-de /».=^ = % , il résulte

A^.=-(- i)-{c.r«-f(-4r}=-q-ir+f (4)% .

d'oh l'oa déduit

Ix ^

remettant pour i sa valeur r- tirée de l'équation ^^=z^, on aura

Cette équation contenant deux arbitraires ^ il s'en trouve une de surabondante qu'il faut déterminer 9 en substituant cette valeur de y^

dans l'équation aux diflEërences ~ j^ = A^ •— — ^, qui se réduit alors

alx C — '

à C=- (— i)^^^ et Ton a par conséquent

±4^ C H. L D cr Calcul

résultat qui devient identique^ à celui du n% 1007, en prenant

loio. I^'analogîe des nouvelles intégrales que nous venons de trouver pour les équations aux différences , avec les solutions particulières des équations différentielles est frappante: les unes et les autres s'obtiennent , soit en faisant varier la constante arbitraire Jans l'intégrale complète y soit en différentiant de nouveau l'équation aux différences dans un cas et l'équation différentielle dans l'autre ; mais malgré ces diverses conformités ^ les solutions particulières des équations différentielles ont^ dans l'absence de la constante arbitraire , un caractère distinctif , auquel il faut bien faire attention pour éviter Terreur dans laquelle Charles, Céomètre mort il y a quelque^ années , est tombé , et qui Fa conduit aux plus étranges paradoxes relativement au Calcul intégral 4 II remarqua le premier , dans le tome IL ^ des Savans étrangers , la pluralité d'intégrales dont pouvoit être susceptible une équation aux diflKrences; mais il crut dans la suite { Mcm. de tAcaà. année 1788 ) en pouvoir conclure les solutions particulières des équations différentielles correspondantes , «n faisant seulement aa:=:o , pour répondre à la supposition de dx infiniment petit ; 4< par ce moyen ^ dit*il , on obtiendra des so« v^ lutions particulières plus générales que celles qui sont connues H jusqu'à présent , et l'on en pourra déduire , comme un cas par- »> ticulier , la solution particulière ordinaire, dans tout ceci on sup- '^ pose AjkT constante ^. Charles appuie cette assertion sur le raisonnement suivant Tiéquation aux différences : « Téquation aux diffé- #» rences infiniment petites ( c'est-à-dire , l'équation différentielle ) I» est la limite de l'équation aux différences finies correspondantes ; 0 donc la solution particulière de Téquation aux différences infii> niment petites est ce que devient l'intégrale nouvelle de l'équation v^ aux différences finies , quand oh fait dans cette intégrale Lx=iO v^.

Il est biea vrai qu'en faisant Aa:=:o , Ay=o, dans une équation aux différences , on en tire l'équation différentielle qui en est la limite ; parce que dans cette hypothèse on supprime tous les termes qui ne sont pas homogènes en lx^ Ly {^ n% 65 ) ; mais on ne f auroit en conclure que les équations primitives correspondantes à

Z3f i; s Différences. z^j

f une et à Tautre de ces équations soient liées entr*elles de la même manière ; car si on tire les équations {W) du n*. 1006 ^yxx, «^fC^i 9 ^y «t r*«*v=^(^o^")> ^^ ^^^^ f(:r,,tf,)— f (a:., tf) = o, résultat qui prendra la forme Atff/^,,tf,Aâ)=o4orsqu'on le développera après y avoir changé a^en à+àa; il donnera d'abord a^ = 0, ou a=conse. valeur qui ne conduit qu'à Tintégrale directe. Il reste à traiter réquation f/ jc -h A a: ^ a , a a ) = o , laquelle demeure encore susceptible d'une véritable intégration 9 mais si on y fait a jc et a ^ infiniment petits , elle se transforme en une équation primitive , et ne donne plus qu'une valeur particulière pour a. Lors donc que Von veut passer de la nouvelle intégrale de l'équation aux difiérences à h, solution particulière de Téquation- différentielle > il faut faire disparoitre la constante ^ sans néanmoins lut assigner aucune valeur particulière , ce qui ne se pent qu'en revenant aux différences et en effectuait éasuhe sur le résultat le passage des différences mx difféfoaâelles».

En prenant une marche contraire , Charles obtenoit une équatioiv primitive qui ne pouvoit pas satbfaire à l'équation différentielle , et .pour parer à cet inconvénient , il introduisoit dans l'intégrale de inéquation aux différences un terme affecté des difierences » qui ^ev-enoit une diflérentielfe du premier ordre et détruisoit ainsi Phomogénéité qui fait ta base du Calcul dtfiérentiel ; cette conséquence auroit suffi seule peur montrer Terreur dans laquelle il étoh tombé f mais il y en ajoutoit une autre qui n'étoit pas moins paradoxale. C'est que tous les polygones inscrits à une tmâme courbe ne se confondent pas avec elle 4px9^nà on ^suppose le nombre de leurs câtes infinies et qu'il y a un choix à faire entre ces polygones pour tomber sur celui dont la limite conduise à l'expression de nnclinaisoa de la tangente».

ion. Nous avons fait voir (^nV 894 J, que les fonctions de Dcrintégratîoa deux variables engendroient des séries formant des tables à double diffir^ToT^rois entrée; un terme quelconque de ces séries peut être exprimé par «« ^ j»» plu« g«nd

•1 X \j ^ ^ j i\ • a / . ..^ nombre de varia- ,

ceux qut4e précèdent , et de là naissent ks équations aux différences blés.

partielles»

I Soit y,,i ime fonction quelconque des deux variables x et / ;.

248 C Vi. \. D U C A L c u z .

on en déduira par les variations de x et de / la table suivante à 4ouble entrée ;

y^^.^ ^tfof" r»foi ^î» J^xip» ^'r+ijo» etc.

yo>o» y^^xy .y.jif ^î>i ^''jo J^«4<'>«> ^^*

^.o>»> yi>«> >'•>*» ^î > .•••••>'* >^> yx^x^%> etc.

jKo>3f y«53> ^'^MJ y^^l ^''M» y*+«>î» ^^^*

^o>«» j'iw* :)^o«> ^'îJ' yxMy V*+o«v ^^^*

^'iji+i» yi»«+t» JK«><+i> >"?» «4-i*''*^*vM-t> y»+iï<+oetc etc. etc. etc. etc etc. ttc. etc.

Supposons que la loi dç cette série soit exprimée par féquatioa du premier degré

AyJ^t'\'By^^,y^'¥Cy,^\^. . . . .- . . +iV,y,+„., ,

idans laquelle les coefficiens A^B^ff^C^Cy C\, . . JV, JV', etc; sont constans , elle sera formée sur le modèle de celles que nous avons nommées récurrentes ( n». 983 ) , ejt nous l'en distingueron» ien l'appelant , avec Lagrange , sl^nts ricumnus doubles.

loii. Ocpuppns-nous d'abord du cas où Téquatioa proposée p'avant que quatre termes , est de la form»

f3MO0sy,;i=^a»'H% » tt $ étai^t d^ constantes indéterminées, aous aurons

«n suljstituant les valeurs dans l'équation proposée y ùOus obtiendrons

J + Bet+B'& + C'afi^o, Cette équation donne la valeur de l'une djes deux indéterminées » et li,

par le moyen de l'autre ; on en tire ^ = -^ ^, ^^ , d'oi> l'on

expression

^esDlFFéRENCES. I49

expression dans laquelle la quantîté « demeure entièrement arbi. traire , aussi bien que a , mais qui n'est pa» la plus générale de celles qui satisfont à l'équation proposée.

Si l'on réduit en série descendante , ordonnée suivant les puissances de «, la quantité (- ^J^)', en sorte qu'on ait '

("" 4t^) = ^*'"+ ^'*'"'' + 7"*'"-+ r"«/"-3+ etc.

Us coefficiens r T T^ etc. contenant arec les lettres ^ , i?, ' la vanable/, l'expression dej.,,, prendra alors la forme

changeant successivement les constantes « et «, en* et fl In . et 5', etc. on auroit aussi «' ^ , en «

^.„=T*^-»>"+ r'*ja-+/«-.+ 7'^^»^-.+ 7»-^-,+,.,-, , ^. ,

ces diverses vateurs satisfaisant en particulier à l'équation proposée qmnestque du premier degré, leur somme y satisfera pareaiel ment, et l'on pourra prendre «^era pareiller

y„f^T {ax'*''' +hfi'+i^' -i-cj,*»^' 4. etc N

Chacune des lignes de cette expression , quî contient un nombre indefin. de constantes arbitraires, peut être remplacée par une fon^, eaon arb.tn..re de l'exposant variable dont ses termes sont a4c"s et l'on obtient alors . ""^*''*^'>

en désignant par p cette fonction arbitraire.

Pour se convaincre de la possibilité de* substituer une fonction arbitraire à la place des séries «oncuon

^pptndùe, ,

150 C H. I. Du Calcul

n suffit d^observer que Texpression de^^, « ne satisfait à réquatlon proposée , indépendamment de toute valeur particulière des quan-^ tités <t , 18 , y^ etc. que parce que les termes oh ces quantités se trou^ ▼ent affectées des mêmes exposans , après la substitution des valeurs <îe y^ii^ J^,)«4^i> yxMM^ y*+i><+îf 5c détruisent mutuellement d'après la forme des coefficiens T, T\ T\ etc car il est visible que ces conditions seront également remplies par la fonction 9 ^ puisque les termes affectés des mêmes exposans dan^ te premier cas se trouveront multipliés par une même fonction dans le second , et se détruiront de même indépendamment de la forme de cette fonction. Quaiûl on a / = o , l'expression de j^,, ^ devient d^abord

y.. •=îXjt) + r^jc— i) + r^^Cx— 1) + r'K*— 3) + etc.

et se réduit à y,, o=K*) » parce que dans ce cas

T=i, r=o, r'=o, r^'z^o, etc.

d'oîi Ton voit que ^{x) n'est autre que la valeur de j^, , ^ lorsqu'on y fait /=o , que l'on doit avoir en général K*+fwf)==y,+^ > • > et que par coiiséqueiit

•y*ff=Ty*ww»if 0+ r^^+^^^^j „+ T^y^j^^i^ , e+ etc. Les quantités y,,j^^ o , yx^pa^x t • , y^^f^^^ » • > «e «ont autre chose que les termes pris à partir de Jlndice x+fu ^ et en revenant vers l'indice o , dans la première ligne horizontale de la série à double entrée , correspondante à l'équation proposée. Il suit de là que la détermination de la fonction arUtraire suppose que l'on connoisse tous les termes qui forment cette première ligne , et qu'il faut même pouvoir la continuer en arrière , c'est-à-dire , l'étendre aux indices négatifs —1 , — z ^ -^3 9 etc. La valeur de>'„t se trouvera formée ainsi d'un nombre infini de termes ; mais elle n'en contiendroit qu'un nombre fini ^ si tous ceux qui répondent aux indices négatifs devenoient nuls , comme cela arrive dans quelques séries ^ et l'on auroit seulement

La même expression se termineroit encore si l'on a voit B'^no^ ou C^=o; car dans l'un et Tautre cas, le développement de la

(Aa-Bak* ♦

-=7 — pTT* ) tt'aura qu'un nombre e+ 1 de termes , tant

que / sera un nombre entier positif.

DES D I F F i R E H C E S. IJI

ioi3« Preaons pour exemple la série récurrente double

O^ O^ Oy O9 Oj I

etc.

dont chaque terme se forme en prenant la somme de celui qui le précède dans la ligne horizontale oii il se trouve placé 9 et de celui qui précède ce dernier dans la colonne verticale: le terme 10 ^ par exemple , placé à la troisième ligne dans la sixième colonne ^ est égal à 6 qui le précède plu» à 4 qui se trouve au-dessus de 6, Cette propriété donne évidemment Téquation

en la rapportant à l'équation dont nous nous sommes occupés dans le n"", précédent ^ nous awons

C'=i, jB'ss — I, ir = o, -rf5=— i;

la quantité ^— p, ^, j devenant f ^t % «^ous donnera la série

et comparant cette série avec la série correspondante du n*. cité , il en résultera

/*=—!* *=^^i ^ =-> i =— = ^, etc.

à Paide de ces valeurs , la formule générale de ce n\ se change en

j^,>r=J^.-i>o+ 7J^.-*.i>tH — - — J^,-4L.t,* + etc.

Faisons à présent x:=zOf pour avoir

y. 5 t^ïs^'.*, 0+ -J^-i-, 9 oH 7-;: — J'-t-.i •+ etc.

et en observant que tous les termes de la première colonne verticale

li 1

15* C H. I. Du C A L C V l

de la série proposée sont nuls , à Texception du premier^ nous en conclurons que Texpresslon de yo>« doit être nulle pour toutes les râleurs entières et positives de /, condition de laquelle il résulte

s désignant un nombre entier positif. La série qui exprime y,^^ devient donc finie pour le cas qui^ nous occupe ^ et nous aurons seulement

mais comme tous les termes de la première ligne de la série proposée sont égaux à l'unité , nous pourrons écrire

et 9 en sommant le second membre,

(r+ i)(r+x)(f+3)..";.ap .

Nous ferons remarquer que la série proposée renferme le tnangU àruhménqui de Pascal , dans lequel chaque colonne verticale donne les coefficiens numériques des termes de la puissance du binôme ayant pour exposant le nombre qui marque le rang de la colonne ^ diminué de l'unité.

1014. Discutons en particulier les cas où l'on a C'=:o, ou bien J5'=:o , et dans lesquels l'expression de j^, , , s'arrête ( n®. i o x x ).

i*. Lorsque C'= o, l'équation proposée qui devient

n'est plus que du premier ordre ; et si pour abréger ^ on fait

^^—P^ ^=fy ^^ trouvera

développant et comparant à la série générale , oii obtiendra

^=», r=/, T'^^p'u r= -îi^=^/'r, etc.

D E a^ Différences. 253

d'oïl on déduira

y xi t—p (y,-MJo+7 «yx+*-i ,0+ — — ; — î!y*+i^o 0+ etc. ).

Cette expression^ évridemment finie lorsque t est un nombre entier positif^ ne contient que des termes de la forme ^,,.^ $ désignant un nombre entier positif!

2% Lorsque B'=^o , Téquation proposée réduite à

est encore du second ordre; faisant — y^r =/?, "^^=^> û^ws aurons

tirant de là les valeurs des lettres /^^ T^ T\ T\ etc. nous arriverons i

j'.» «=? (r.» «+7 iy>-x » 0+ — -- — l'y,-* y .+ etc. ) ,

expression qui demeure finie tant que r est unjnombre entier positif, mais qui renferme un nombre limité de termes de la forme y^,y^\ lorsque t^xi il ne suffit donc pas dans ce cas^ comme pour le précédent y de connoître tous les termes de la première ligne de la proposée , correspondans à des indices positifs ^ il faut encore pou« Toir prolonger cette ligne en arrière pour obtenir ceux qui répondent aux indices négatifs ; savoir , j^., , ^ , j^., , e • • • • J^^«-<r) j ••

Si pourtant on ne connoissoit pas immédiatement ces derniers termes ^ on pourroit les. déduire de <eux de la première colonne verticale ainsi qu'il suit : on prendroit ;i;=o ^ et donnant successivement à / les valeurs i > 2 , 3 , etc. on auroit

yctx—p(ycic+ ^j'-.».)»

y»» i^pXyoi ,+ 3 iy-tj .+ 3 î*y-.» «+îV-î » . ) »

etc.

y.>,—p'(yi,i .+ 7 qy-t,^+ ~r^ f>-.î i+ «te. ) it

JL54 Cn. h Du Calcul

d'où on tireroit .

L'analogie de ces expressions avec les formules des différences successives ( n"*. 86o ) est frappante; et si on représente par

lei termes de la série

et par

r, r, r% r", etc.

ceux de la série

•Xo^of r^»»«> 'irJ^ojïf "Tj'^iîf **c» ? Z' /^

on aura par ce qui précède

etc.

d'où l'on conclura

:K.,.=(/»îy{n+lr^.+lîi::ii2r.

,.±=U<tli)r..,+«c.}.

en observant de remplacer dans la série du second membre, les termes affectés d'indices négatifs ^ par des différences dont l'exposant soit égal à cet indice , c'est-à-dire % de substituer aT à t^.

DES Différences. 15 f

XÔ15. La méthode du n*, loiipeut s'appliquer aux équations^ de tous les ordres , comprises dans la formule générale du n"*. ici i« En y faisant y comme pour celles du second otàxt dont nous nous sommes occupés , jr^,^=s4*'i3% elle devient

+ CV. - • • + A^V-*/g» \ ^o. . . (i) ;

mais cette dernière ne pouvant donner en général la valeur de i3 en ce que par une série infinie» ne fournira non plus , pour exprimer ^,,1^ qu'une série idinie. II s'offre , à la vérité j un assez grand nombre de cas particuliers , dans lesquels on peut exprimer d'une manière rationnelle et sans dénominateur complexe les quantités « et j^ par le moyen d'une nouvelle indéterminée » : l'équation

+ ^'i3+C'«iS \ =0,