CV
dérivée de l'équation complète du Second ordre
est dans un de ces cas ; mais au lieu de nous y arrêter , nous allons exposer la méthode qui convient à tous les cas en général.
Cette méthode est fondée sur ce que l'expression de y ne contient que jS'^ et que t étant >n^ il est toujours possible , au moyen de l'équation ( i ) » d'exprimer P par a et par les puissances de /S inférieures à i8\ En effet , puisque Ton aura /=fKr/t+/?,n désignant un nombre entier quelconque » et /? un nombre entier moindre que lï, on pourra donc écrire j8'=(l8")".jB''; on prendra la valeur de j8* dans l'équation (i) y pour l'élever à la puissance de /n et la multiplier ensuite par P>^y puis ^ toujours avec le secours de l'équation ( I ) , on éliminera successivement du résultat toutes les puissances de /s , égales ou supérieures à (S". On conçoit facilement
t').6 Ch. h Du Calcul
que le résultat de cette opération doit être de la forme
^•=T +T'ct. 4.!rv+T«'*^,.. + r(v
les coefficiens T, T*. . • . T^ , T', , etc. étant des fonctions ration-* fielles de i, et des coêfEciens A^B ^ etc. de Téquation (i).
Qn obtiendra d'abord une valeur particulière de y,^ t , en multipliant cette expression de iS' par a«t' ytt changeant les constantes arbitraires ^ et et, aiqsi qu'on Ta fait dans len\ loia, on forcnera une. suite de valeurs particulières de y^^tj dont la somme satisfera encore à l'équation proposée , parce qu'elle est du premier ' degré ; enfin ^ les considérations du n% cité ^ étant applicables au cas actuel ^ permettront de changer en \
rf(^), rf(:c+i), rf(A;+x), etc, .
IfS termes de la première li|;,ne , .
ça T.f,W, r.f.(:c4-i), r'.f.(;.+i),etç,
le« termes de la seconde ligne ^
fn désignant par f (a:) , f.(^), fX^)f etc. des fonction^ arbitraire* de X ^ indépendantes les unes des autres. Le nombre de <;es fonçtiçan sera évidemment é^al à /z, car la dernière ligne
fournira les termçç .
DES DlFFÈRESCES, l^J
et Pon aura
j'„i=rf(*)+rf(*+i)+r£(*+i)+r'f(*+j)
+ T.f.(*)+r.f.(«+o+r.f.(Ar+z) :.
La détermination de ces fonctions arbitraires s'opère au moyen des n premiers rangs horizontaux de la table du n^ loii , c'est* à^ dire , en supposant que Ton connoisse les valeurs de
yxy o* y*^ if y»f%** •y» > i»-i $
quelle que soit celle de x ; car il est visible que l'expression de fi* devant se réduire successivement h i , fi , fi^, fi^, etc. il en résulte que dans ces hypothèses, lorsqu'on y fait / = o, =i , =i,etc.
T =1 , r =0 , T' =0, T'' =:oi etc.
r.=i , r.=o , r-, =o , r^=o , etc.
r.=i , r,=o , T\ f=o , T\ =0 , etc. etc.
€t que Texpréssion générale de^^, g donne par conséquent
y»3.= H^)9 y^fi^fX^)f J^,M=^»(*)> etc. d'oïl Ton conclura,
I o 1 6. On peut aussi parvenir à déterminera^, , i par la connoissance des m premiers rangs horizontaux et des n— -m premières colonnes verticales de la table du n*. loi i ; c'est-à-dire , lorsque les valeurs de
ym9 9 9 y»9t9 J''*ji»» • • • ••J'^JJW— I
Appendice. K k
aç8 C H. l. D tr C A L C V L
seront données aussi bisn que celles de
En faisant toujours j^,,,=tfflt'i3', ce qui co/iduit à Téquation (i), OH peut tirer de cette dernière la valeur du produit «"""iS'", au lieu de celle de /g* , pour la substituer dans Texpression a*6^\ décomposée en ( «■""/S")''*')»', afin d^en éliminer tous les termes affectés du produit de «■""iô"', ou des puissances de ce produit , et qu'il n*y reste plus par conséquent que des termes dans lesquels les exposans de a soient mpindres que n — m , lorsque celui de fi est égal à n , ou sur-* passe n , et des termes oh l'exposant de « étant n-^m y ou surpassant n'^m^ celui de /S soit toujours moindre que n. Il est facile de voir quecetté équation doit donner un résultat de la forme
a'fi'=y +y A +y'A\ + yi*^')ur^
+ f^Ji' + ^.«iô* + r.**ia* + ^]^"'^ «•^•iJ»
dans laquelle les lettres V^ V^ etc. y^^ V^, etc. désignent des fonctions rationnelles de / et des coefiiciens de Téquation (i).
Il suit de la théorie djes fonctions symétriques des racines des équations , que les diflPérens termes de Texpression précédente sont absolument irréduaibles^ parce que le terme «""^iô"* ne s'y trourant plus y toutes les autres puissances et produits des lettres « et iS ren« ferment nécessairement des quantités irrationnelles distinctes et irréductibles entr'elles. Si donc on subtitue , dans Téquation proposée aux difféj;ences y la valeur de j^«,t, déduite de cette expression ^ il iaudra que to^.s }e$ term^.afectés des ipêmes puissai)ces de ce et de /3
nés Différences. 259
se détruisent séparément , ce qui arriveroit encore si l^>n remplaçoit chaque produit de la forme <t'(^' par une fonction quelconque de r et de s. Au moyen de cette remarque , nous obtiendrons , pour la valeur complète de y,,#, l'expression suivante:
+ ^J(o,2)+rj(i,i)+rvf(2,i)+f^V(3,2) . ,
+ ^ f(jc+/— i,z)
+ ^m+.f(0,/W+l)+^W.^fl.'*+2)+^'«+.f(l,/W+2) . . . •
+^ {(n—m — i,Aw+2)
• ....•.:. . + ^ r(/z — OT — i,jc+/).
Il nous reste à déterminer la fonction f > ce que nous effectuerons en faisant successivement
/=o, =1, =^f =3, etc.. ..(/72 — i), puis jt= o, =1, =i> =3> etc.»* . (/2 — /w — I ) ,
indices qui répondent aux valeurs données de ^, , 0 nous connoîtrons pour chacune de ces hypothèses les coeffidcns F^ V^ etc. en examinant ce 'que devient alors le produit a'^\ Lorsque /=o, ce produit se réduisant à et*, il ne doit rester dans son développement que le seul terme V^'^a* ; Ton doit dont avoir f^'>= i , et tous les autres coefEciens deviennent nécessairement nuls dans cette hypothèse,
Kk 2
i6o C Hs h D ir Calcul
Q land x=i , il vient f^^0\ ce qui donne F'g=i , et les autres coefHcîens nuls.
En général lorsque jr=« — m — i , on a
et tous les autres coefEciens nuls.
En établissant les mêmes hypothèses , et leurs conséquentes , dans l'expression générale de j^,^^ ^ on reconnoît que
quel que soit jt , et ensuite que
quel que soit /.
On aura par ce moyen
+f,y„x+f^,y.*,+f"xy»ix'^^"ty\*' >
+^.j'.i.+ ^.^.».+^.y.;.+ ^Vi,
+ ^i» y ^9 m +^J» J'i»»» +^» y^ym»
.T^m+i^»* »4.i + ^ iii+iyti»+i + ^ ffkf,! J^â 9 014.1
(if-m-i)
inn
•••••••• T'^ ^j Jn^jn^i 9 »+#•
DES Différences^. t6i
1017. Le moyen que nous avons indiqué dans le n**. ici 5 , pour obtenir l'expression de 18', peut suffire pour chaque cas particulier; mais cependant il ne sera pas inutile d'en exposer un autre d'après lequel on puisse construire des formules générales ; pour cela prenons
Irf , -^i , • • • -^»-, 9 désignant des polynômes en «t , le premier du degré r, le second du degré t — i , ainsi de suite, jusqu'à J^^ ^ dans lequel «t ne doit monter qu'au premier degré. Représentons par le', (l\ fi"\ etc. les diverses racines de l'équation ( i ) , nous aurons ces équations
fi"'=A+A,fi''+A,^'''+A^&"\ . . +^^^,i3''«etc.
dont le nombre sera suffisant pour déterminer les polynômes A^ A, , A^y etc. il ne restera plus qu'à mettre pour jS', j8", etc. leurs expressions en a ; mais l'équation (1) devant être identique , indépendamment d'aucune valeur particulière de «^ il suffira d'y substituer pour /S une expression en série ascendante suivant les puissances de a ; et par conséquent on n'aura qu'à chercher par de pareilles iséries les valeurs des racines ^', i8% etc. pour les substituer dans les valeurs de A , A,, A^, etc. en observant de les pousser jusqu'à la puissance / de « dans le premier polynôme A^kh puissance t — 1 dans A^ , et ainsi de suite , jusqu'à -^^, , oii Ton pourra s'arrêter à la première puissance de «•
Il n'est besoin de déterminer par cette méthode que le premier terme de chacun des polynômes A y A^^ A^^ etc. parce qu'on peut trouver la relation que les autres ont entr'eux à l'aide de la différent tiation relative à <t , comme dans le n"". 98. L'équation (x) donne successivement
tà^ t/^+jB^fy^.-f ^V./^,4-etc.-K^, + x^,j8 + 3^^^'+ etc.) ijg ^ i9 "" ^+^,^+^.i8''+etc. "*
161 Ch* L 2?z7 Calcul
on éliminera de cette dernière ^/S ^ à l'aide de la difFérentielle immédiate de l'équation (i) ; on fera disparoître les dénominateurs du résultat que Ton ordonnera par rapport aux puissances de jB et de « ^ et dont on chassera ^ au moyen de Téquation (i) , les puissances de /0 , dont Texposant est égal à n ^ ou surpasse ce nombre : égalant ensuite à zéro les coefHciens de chaque puissance de /8, on aura n — i, équations différentielles du premier ordre entre « et les polynômes A^ A^y A^j etc. Ces polynômes étant mis sous la forme
^.=T.+T'.et + r V—
etc.
on en prendra les difierentielles par rapport à « ^ et substituant dans les équations différentielles dont on vient de parler ^ la comparaison des termes affectés des mêmes puissances de « ^ fera connoître les relations qu'ont entr^eux les coefficiens T, T', :f ',. . . T, , T\ , etc.
Il ne sera pas difficile de trouver , d'après ces indications ^ des méthodes applicables à la détermination des coefficiens V, V\ V\...V^yV^y etc. du n*. ioi6. Si Ton prend la différentielle du logarithme de chaque membre de l'équation flfc*iô'=f^-f-etc. de ' ce n"". y que l'on chasse df^ du résultât , au moyen de l'équa* tion (ï) differentiée, enfin qu'on élimine le produit «"""•jB" et ses multiples y on obtiendra une dernière équation ^ dont chaque terme , égalé séparément à zéro , fera connoîcre les relations des coefficiens
y, v\ v\.^.v,, r.,etc.
' loi 8. Nous allons parcourir les diverses remarques que Lagrange a faites sur les méthodes que nous venons d'exposer et dont il a enrichi l'analyse. Il est d'abord évident que Ton peut obtenir pour j^,, , autant d'expressions différentes qu'il y a de termes , dans la dernière colonne de l'équation proposée aux différences , en éliminant successivement du développement de <t*i8' » chacun des produits en « et (^, qui affectent la dernière colonne de l'équation (i).
Lorsque l'équation (i) peut se décomposer en facteurs rationnels ^
DES Différences. z6}
on considère séparément ces divers facteurs ^ pour arriver à l'expression de y, , « qu'ils donnent chacun en particulier , expressions qui sont autant de valeurs particulières de j,^ « et dont la somme fournit s la valeur complète cherchée*
Pour éclaircir ce fait analytique , supposons que l'équation (i) soit le produit de deux facteurs rationnels , Tun du degré p ^ 1 autre du degré q ; nous allons montrer qu'en désignant par
ces facteurs , l'équation proposée aux diâërences sera satisfaite séparément par les deux équations
Tune de Tordre p et l'autre de l'ordre f ; et que par conséquent si l'on représente par y, , # , la valeur complète tirée de la première et par j^', , , celle que donne la seconde , on aura y^ , #=y, , « +y'', , ^ Cette dernière expression sera complète, car elle renfermera p^q fonctions arbitraires : savoir , p provenant de la valeur de y'^^tj et q de la valeur dey,,,.
Pour purvçnir à la proposition précédente , nous allons chercher quelle doit être l'équation de l'ordre p qui satisfait à l'équation pro* posée. En représentant la première par
'T"ysyt^.i-r^yx+itt+ "T^ys+p—itt+i
rM^^b'.,
i64 C H. I. Du C À t CUL
et faisant successivement varier x tt t, pour obtenir les consécu^' tives t nous en déduirons
i*....a^^,;,+b^^o« +£^^,+3,. +etc
+bjK^,,t+^ i
aj'.,»!* +by.+,,fcH. + etc. |p
etc.
inùntenant si nous multiplions respectivement chacune de ces équations par les coefficiens indéterminés P , Q , ^', R,B!, l^, etc. que nous ajoutions les résultats , nous aurons
liPj^,M+(bi'+a<2)^.+.M+ (cP+b<2+a«K4-». +etc.J
comparant ce résultat avec la proposée , nous aurons aPs^ bP+aO=Fi?, c P +bQ +ai? =C, etc.
''^''^' b'PfaQ'-^^' c'P+b'Q+bQ'+a^'=c;
équations qui sont précisément celles que l'on obticndroit en multipliant l'un par l'autre les facteurs
?+bct + €*• + etc.
P+Q «+/{*• + etc.
Kt fn comparant le produit avec l'équation (f).
DES Différences. 265
Il est facile de poursuivre le calcul que nous venons d'indiquer et même de le débarrasser de toutç induction y et de voir en même tems qu'on ^1 peut faire un semblable sur les équations aux diâFérencei contenant deux variables et aussi sur les équations différentielles. Il en résfilte bien évidemment que Téquation aux différences > correspondante à chacun des facteurs de réquation (i)^ satisfait à la proposée.
Lors donc qu'on aura décomposé Téquation (i) en deux facteurs j l'un du degré /^ 9 l'autre du degré q^ et qu'on sera parvenu aux ex* pressions complètes dey^, « et de^,, # y on en déterminera les fonc* lions arbitraires en supposant données les valeurs
y sy.^ /»>t> etc. y\yty ytM> ctc, y\^oy y*»if etc. y,,,, y,,i, etc.
Pour passer ensuite de ces valeurs à celles de
\r*>o «y*»!» etc.«.*j^^,,, J^ijoCtc.
il ne s'agira plus que de combiner les équations aux différences
^^y'x^tyfxy i9 avec l'équation ^,,,=y,,,4-y„,, afin d'en tirer par l'élimination , les expressions des fonctions y^ , , et y", , « , 'au
moyen de la fonction ysfi^t, de ses différences ou de ses valeurs
consécutives.
10 19* Si l'équation (i) se décomposoit en facteurs qui fussent des puissances parfaites d'autres facteurs » l'expression y^^t* obtenue d'après les remarques précédentes ^ ne seroit plus complète. Si Ton avoit y par exemple y n"=o , ce qui donneroit m facteurs égaux ;à n=o y on ne déduiroit de chacun d'eux que la même équation aux différences y et par conséquent que la même intégrale ; mais il faut observer que l'équation aux différences , correspondante à n"=o jv^admet , outre la solution j^,,,-=*'i8', les suivantes ,
jr^^^ct^-y, j^,,,= ^(47— ï)«*-"V,**.etc. ou celles-ci
ou enfin celles-ci
y,, *= i^'»'^', jr,,,= /( r— I ) «*i8^S etc. jipptndict, ' L I
±66 Ch, I. J>ir Calcul
qui se tirent de la première en prenant ^ jusqu'à l'ordre m— i incUisivetnent , ses dtâërentielles , soit par rapport à et , soit par rapport -à /8 , et en faisant même succéder ces difiFérentiations les unes aux autres dans tel ordre qu'on voudra. Ceci est fondé sur des raisonneméns analogues à ceux du n**. 648 ^ d'après lesquels on substitue , au lieu des valeurs de « ou de jS qui sont égales , d'autres valeurs très-peu différentes entr'elles.
Connoissant uii nombre m de valeurs particulières de jr^ , ^ , on en aura une plus générale en prenant la somme des produits de ces valeurs par des constantes arbitraires differentesret.il viendra
mais pour arriver à l'expression complète , il faudra substituer
aux produits
a^'iè', tfV-'iS', aV-"»i8', etc. des fonctions
y*»o ^"x-M*» /'*-»• 5 etc.
on aura ainsi
en observant que les fonctions y, ,# , ^.i*» y'sfty etc. doivent satisfaire à l'équation aux différences, correspondante à n=o. Les fonctions arbitraires qui entreront dans la composition de celles-ci seront les mêmes j niais en passant dans les valeurs ^^yxiif elles prendront chacune un indice particulier. Pour les déterminer on se conduira comme dans le n*". 10 16 ; on les exprimera d'abord au moyen des premières valeurs
y^r^o, y*M>etc. y„#, y.,o etc.
y'x,*, y*f I » etc. y.,,, y,,«, etc.
et l'on introduira ensuite les valeurs
7*»«* ^,»i> etc. yoo J^.M>etc.
en éliminant les premières , à l'aide de la relation qui existe entre les fonctions j^^^i, y^^S y«M> etc. et des équations en y,, # , y\ , i ^ etc. déduites de n=s:o.
DES Différences. 167
Nous n'entrerons pas dans de plus grands détails sur cette matière qui devient très-compliquée; ce que nous ayons dit suffit pouf mettre sur la voie les lecteurs întelligens qui auront présentes à l'esprit les diverses remarques semées dans cet ouvrage. Nou5 passerons aussi sous silence , par cette raison , la théorie des équations entre plusieurs fonctions , que Ton peut traiter à peu près comme les équations difFétentielles du n''. 656 ^ ou comme les équations aux différences du n*. 996.
loao. On parvient à des résultats analogues pour les équations aux différences , contenant quatre ou un plus grand nombre de variables , qui répondent aux séries récurrentes mpUs , quadruples , etc. Pour se former l'idée d'une série récurrente triple , . par exemple , il suffit de concevoir une fonction qui varie de trois manières diffé« rentes ^ ou qui renferme trois variables indépendantes ; une semblable série se disposeroit naturellement dans les cases d'un parallélépipède ^ formeroit alors une eatU à tripU tntrU ^ et si on en désignoit le terme général par^^^ «, „ , l'une des arrêtes contigues à un même angle du parallélépipède ^ seroit la bande des Xy l'autre celle des r^ et la troisième celle des u.
Nous nous bornerons à traiter l'équation
contenant une fonction dépendante de trois variables , et que Ton doit regarder comme étant du troisième ordre, à cause du terme T>y^^ 5 n-i f «+!• Eo y battant y^.^.u =»*'^ V. tt divisant p^r a^tfy% après la substitution y il viendra
+ B'0 + Ctty C±=0...(l),
iToii on tirera y-=^-s'+C,+C^ll+Dati' «t l'on aura par conséquent dans l'expression
Ll »
i6% Cv.. l. Du Calcul
pour la fontion cherchée ^ une valeur contenant trois arbitraires a y « et fi ; mais cette valeur n'est encore que particulière ^ et si on donne
à celle de y la forme
fi àtfi
A fi Afi
en divisant par afi^ son numérateur amsi que son dénominateur; et qu'ensuite on en développe la puissance u , en série ordonnée par
rapport aux puissances des quantités - ^ -, on obtiendra un rér
, A fi
sultat de la forme
rj/i
+etc-
A et a
+ etc.
II n'entrera dans les coefficiens ^^ /^« • • ^1 1 etc.'que ks constantes A^ B y etc. et l'exposant variable u. Par la substitution de cette série le produit «t'i^V ne contiendra plus que des termes de la
forme V^ -7^,%^ par un raisonnement semblable^ celui dati*. iot6}
' A fi
on se convaincra que ces termes |>euvent être remplacés par d'autres
de la forme F {(r^s), { désignant une fonction arbitraire , ce c[uî donnera
^..#,.=^f(*,f) +rf(Ar-i,r) +f"f(*-i,0 +^f(*-3iO+etc; ,+ r,f (*, *-i) + f^.f (*— 1 , *-i) + F'.f (*— » , f— 0 + etc. + f;f(*,*—i)+r.f(*— !,«—»)+ etc.
+ r,f(jp,«-i)+ctc.
+ etc.
DES Différences. 269
Cette expression peut se traduire en une autre qui ne dépende que des valeurs de
J^s9 «-Mo» J^x-i 9 <-i 9 • 9 J'r-sJ «— I > o > ^^^^
etc.
contenues dans une table à double entrée , qui résulte des seules va« riations de :r et de / , et qui formeroit une des faces de la table parallélépipède ou à triple entrée. En e£Fet , lorsque i/z=o , on a y=^i » d*où on conclut ^= i ^ et tous les autres coefficiens sont nuls » il vient donc y^jtj 0= ^(-^9^) t P^î^ suivant à cet égard la marche tracée dans les n"**. loii^ 15 et 16) on obtient
^;r,#l, »=rj^,90o +^>,«c,M« +^''^x-«W^« +'">,-?>«>• + «c.
+ ^.:K»»«-.,«+^^x,it-»».+etc.
+ ^}y„M».+etc.
+ etc.
résultat parfaitement analogue à celui du n\ loii, et ayant aussi l'inconvénient d'être indéfini , à moins que trois des quatre quan« tités B', C, C% Z) , ne s'évanouissent ^ ou que les valeurs de^„ ,, ., relatives aux^ indices négatifs ne soient toute» nuÙes. On pare à cet inconvénient par le moyen d'une méthode absolument semblable à celle du n\ 1015 , et sur laquelle nous ne saurions nous arrêter.
loii. La méthode que nous venons d'exposer suppose que les. coefficiens A^ B^ C^ etc. de l'équation aux différences soient constans ; Laplace , qui le premier s'est occupé de ce genre d'équa-tions y a donné un procédé un peu moins simple ', mais aussi à l'aide duquel on peut intégrer une classe assez étendue d'équations à coefficiens variables. Il a fait remarquer en premier lieu. que Téquation
dans laquelle les deux variables indépendantes décroissent delà même inanière , peut se changer en une autre , oii l'on n'a plus à considérer que la seule vàriabl'^x. En effet, si l'on prend /=a; — K, A^^tantyne
170 Ch» h Du Calcul
constante , et que Ton mette cette valeur dans les coefEcîens ^xjt, ^x9i9 ^"x>o ^^c* ^orjo que Ton représentera ensuite par X^ , X'^ , X\ , et ^, , et que Ton change j^^, * en «, , on aura
rîntégrale de cette nouvelle équation donnera Tcxpression de ^,, ,, lorsqu'on y substituera x — t au lieu de iC , et il faudra regarder les arbitraires comme des fonctions de x-^t.
toiz. Lorsque les deux variables ne décroissent pas de la même manière , les fonctions arbitraires paroissent devoir être affectées du signe d'intégration x. Si Ton a ^ pat exemple ,
et que l'on fasse d'abordj^^,,=f(r),ilen résulte j^,,,j=f(:c — t); prenant ensuite t=% 3 l'équation proposée devient
yx » .= J^x-« , . + J^x-, , t > donne y^ , .— y,., , .=~rx-. > , , d'où l'on conclut A,^,^,,.= f(A:— i), par conséquent A,^,;a=f(jf) et j^,,.= sf(A:): passant à r=3 , on aura
augmentant Tindice Jt de l'unité , il viendra
^xVxy î=2 f W et j^, , ,= %^î{x).
Si Ton continue ainsi , on obtiendra y^ , ,=s'f (:»:) , formule peu commode » quoiqu'il soit possible d'exprimer le second membre par une suite de termes a&ctés d'un seul signe d'intégration ( n"*. 918 ). 1023. Considérons à présent l'équation
yx9 i=^.yx^x , i+^'xyx^u +^'x^x-î , #+ ^^^^ + ^xyx, #-. + ^'xyx^r , *-. + 5'x^x-.,t., + etc.
qui n'est que du premier ordre par rapport à la variable r ^ et cominençons par nous occuper du cas particulier
Cette équation suppose que jkt et / surpassent l'unité* Si nous faisons fuccessivement x-z^x , x^=^i , tious en tirerons
$t de ces dernières nous déduirons une résultante dans laquelle l'indice
DES Différences. 271
relatif à Jtr ne sera que i ou 3 , en éliminant les termes j», ^, et y^ , <. Pour nous procurer un nombre suffisant d'équations , nous changerons r en / — i dans {h) , qui deviendra
chassons maintenant des trois équations {a) ^ {b) , {b') , les quantités y%My y%y i^x 9 <iomme des inconnues distinctes ; pour cela , multi-. plions respectivement par. et et /S les équations {a) et {b') , que nous djouternos avec (b) et nous aurons ,
égalant à zéro les coefficiens de y^i « et dey^, ,, , nous obtiendrons
A^ — a=0 ou a=^, , rt5^ + iS^5=0 OU i8= — 5,,
d'oïl il résultera
ysu-{B. + B^)y^, ,., + i?,5, j^j , ^ — ^,C,— ( t -50C, I ^ ^(^ j^
Si on désigne par ^(r) la fonfctionj, ,,, évidemment arbitraire, cette équation pourra être traitée comme ne renfermant plus que la seule variable r, puisque les indices relatifs à ji; sont les mêmes dans tous les termes , ou que tous ces termes seroient placés sur une même ligne horizontale , dans la table à double entrée ^ qui représenteroit la série proposée.
Prenant :r=4 , Téquation proposée donne
en diminuant l'indice f de i et t successivement , on aura
les équations c , c', <:", combinées avec l'équation (3 ) , fourniront le \ • moyen d'iliminer ^, , , , j'^ , «-• » ^î » «-« » et d'arriver à une équation
' qui ne contienne plus que J^4 , i , J'a w-, , J'a » «-. » ^4 > *-? , et la fonc-
tion arbitraire^,,!. Cette équation sera
l'y! C H.. I. Du Calcul
en faisant pour abréger
Passons encore à x^^ , nous trouverons successivement
J'5,«-,=-^Sr4,«. + -ff5y5»«-.+ fî . • . . (''')
équations qui serviront à éliminer 74 , i , ^4 , «-, , ^4 , «. , ^4 , «-j de l'équation (4) , et conduiront à
en faisant
La composition de ces équations est facile à saisir ; et si l'on représente le dernier résultat par
les coefficiens iW,, iV,, P^...D^^ y seront formés d'après la loi déjà bien évidente de ceux que nous avons calculés précédemment. On peut aussi les dé^uirç succçssjvçment les uns des autres ; en éliminant
^x-0«> y^^ipt^xf J'jf-Of-.af ^Xar-Ot-î >• • -^^C»
entre Téquation
f t Içs suivantes ^ dont le nombre doit être égal à jc«— i ~
et
DES Différences, 173
et en comparant la résultante avec l'équation (x) ; car on trouvera
D,= —A,D,,— Cl i — 3f. + JV,,— P..'+ etc. ) ,
équations qui ne sont que du premier ordre » et qui ne renferment que la seule variable x.
La valeur de j^^ , , , tirée de l'équation (x), contiendra un nçmbre x de constantes arbitraires , qui seront surabondantes, puisque la proposée n'étant que du premier ordre, ne doit avoir daps son intégrale
que la fonction arbitraire f (r) > introduite pour j^^ ygi *^ faudra donc
If
déterminer ces arbitraires par la substitution de l'expression de j^^, ^^ dans la proposée et par la comparaison des termes semblables en x^ 1024. L'équation générale du n*. précécl. donne d'abord
jr^,,-x==Ayvt-*+^\yvt-i+^'iyi*t-4
+B^y,,t^t + B'^y^,t^+B%y,yt-î .... +A^, ......
, J'j,i^.=/^î:y}.«-î;<-^î^î.«-4+^Vî.«-5 . «. .
+ B^y^^^+B\y,^,^+£%y^yt^ . . . . +^, ."
etc. ■ -
Si on multiplie respectivement la troisième , la quatrième , etc. de ces équations , par J,, A\^ etc. et qu'on les retranche de la seconde , en écrivant le résultat ainsi : ' .
+ etc.
=Bi[.y».r—A j'».*-.— ^'»y.,«-. . . . . ]
+ B\lya.t.y—y4,yi.*-^ . . ... ]
Apptndiit. Mm
%74 C H. I. D tr C A t c u t
on recoirnoîttâ sur le champr la possibilité d^éliminer les quantités
au moyen de Téquation (i), qui les donnera successivement en J'oo VxM^i 9 yi% «-»> «^^* et de parvenir à un résultat de la forme
dans lequel on n*a plus à considérer que la seule variable ^> et qui s'intègre par les méthodes des n" 973 , 979,
La même marche conduira à des équations semblables par rapport i y^,t 9 y^^ty^y^yt* Le^ coeificiens a, y a\y etc. seront aisés à former par indîrction; il n'en sera pas ainsi dé la«fonction u^^t\ mais OH y^ parvient en déduisant de l'équation
y^y t=^^xyx9 *-i + ^'.J^»» #-»• • • • +«*>#• • • • W > les suivames
etc» •■ •
doot'la somme fklte memtere à membre est'
■o.JK.x., , «+ ^'.J'^, , «-, + etc.
^tf»-. [ ^,y,-x » ». + iï'r^.-r »;.+ etc. ] «'r-iE/^iyx-..f-«-l-etc.l
+ 5.«.-. , «+ ^'«.-. » ^. + etc.
Si l'on y substitué pour les quantités
B.y^^yi +5Vi-.»*-.+ etc.
■B.J'^. , »-t + 5>.-, , *!. -K etc. . . •ff»y,,,*-j+ etc*
leurs valeurs tirées de Véquatioii proposée \ on la changera ea
+ a'.-. Cy. » «-.— ^. j'x , #î • • • • — ^* ]
+i'.«., «+iï'.«.-. , t- + etc.
DES Différences. 175
«t ea ordonnant les dlfférens termes de cette dernière ^ par rapport aux valeurs successives de y^^o on aura
+ 5x«x-t , *+ ^>x^. » *-f + etc.
+ (i— tf,-t— ^',-.1— etc. )N, :
comparant avec Téquation {x) ^ on en conclura
«,. .='SX-i» «+^'*«^i » «-I+ etc.
Les coefEciens «« , a'. , d'., ne dépendent que de la seule variable X : il n'en est pa; de môme de la fonction »,,« ; mais cependant réquation qui la renferme , se traite avec assez de facilité , en observant que quand on prend pour ^, , , une fonction arbitraire de;, on a aussi u,,f=z((^t), d'où Ton conclut «.,. =(i-tt -a'.— etc.)A7.+5. f(0 +B\ f(r-.i)+etc.
a,w = C^. + K f(') +*'. f(r— i)+et(k
«^.„ = C,.+ *,.f(/) +*'.f(;-,)+ etc.
etc.
Lorsqu'on met les valeurs de «,, , « , ««, , «., , . etc. dans l'équation «n »,,„ obtenue précédemment, elle devient
«.» «=(i— *.-•—'»'— •— etc. ) JV, ^ +(5.+ir,+ etc. )C.,
+5A^.fW+(5A-. + .^'x*,-,)f('-i)+etc.
d'oïl , par la comparaison avec la valeur hypothétique de a^ „ on tire
Mm 1
lyS' "C H. h ' D u Calcul
L'intégration de ces équations ^ et l'addition des constantes don-^ neront les valeurs complètes de ^,*, h' ^ , etc. C,. Les constantes se détermineront en observant que lorsque jc= i , on doit avoir », , #=f(^) ^ d'où il suit C,=o , i,=i , y,=o , ^",=0 , etc. ' L'intégration dç l'équation {x) introduira un nombre x de constantes arbitraires .qui poxirront être des fonctions de x\ mais ces fonctions doivent , pour satisfaire k la proposée ^ cesser d'être arbitraires, puisque l'intégrale de cette dernière ne doit renfermer d'autre arbitraire que f(r). On les déterminera par la substitution de l'expression générale àty^^ ^ dans l'équation proposée.
1015. Pour appliquer cette méthode à un exemple particulier , oc* cupons-nous de l'équation
qui y lorsqu'on y fait
^o>«=o, j^i,,=ï, y^.x—Oy ^3,,=o, etc.
fournit cette série à double entrée
0 etc.
nous aurons dans cet exemple
^.=1, ^=0, etc. -ff,=o, -8'.=!, .5'. et les équations du n*. précédent nous donneront
=0, etc
A tf ' = — la:
d'où notts conclurons
iï,=c + wi =c + i;c=c +i.[*^l ^
DEciDlFF^ÈRENCES. IJJ
et seiilement tf,-,,= i(^ — i)» en ne faisant commencer Téquation proposée que lorsque x=^i. Nous aurons ensuite
et il faudra encore supprimer la constante c'y pour que N^^^^=:o ^
lorsque jr=T ; passant à
et suppriiriant c% nous aurons cette suite de valeurs
tf,= 1 . a x=— 2 « u x^^^^ f eic#
dont la loi est évidente. Jl ne nous reste plus que l'équation i/,,,=2i<,.i,i, dans laquelle on doit regarder / comme constant. Nous en tirerons u,yg=^yx'y et comme i^^i^ doit s'évanouir quand jt=T , il faut que >=o.
Ces divers résultats nous conduisent à l'équation
+ a*[o] Wy.,«4— etc.
à laquelle on satisfait en prenant y^^f=K^ ^ la fonction k étant donnée par l'équation
*-SW7+[ôÎM^--MM4-+etc. = o,
qui n'est autre chose que ii \ =o,et ne donnant par conséquent
pour K que la seule valeur a=2 , ne mène qu'à une expression particulière de y^^t9 c'est pourquoi nous ferons ^„|=:n,,, 2', La substitution de cette valeur changera l'équation ci-dessus en
n„r-[o] Mn„ ^, + [0] Wn„ ^,. [o] M n,„.
+ [o][r]n„^^ + etc.
qui revient à A n,,i=o ( n% 860 )j mais on satisfait à cette
178 Ch. I. Du Calcul
équation en prenant pour n^,<une fonction qui, par rappott à <; soit rationnelle et entière et du degré x — i. On pourra donc ( n^ 861 ) , donner à la fonction n^^ la forme
n,,,=C;[o] [r-r] + C^[ô] [r-2] + C^[o] [/-3] + etc.
substituant ensuite dans l'expression dey,^ «, puis cette derrière dans Inéquation proposée ^ en observant que
[o] [/-i] = [o] [r-2]+ [o] [r-i] etc.
et faisant varier , par rapport à ;r , les arbitraires Ç, , C", , ctc; it viendra
=C,[o][/-x]+(C',+C;.)[o][r-i]+(C".+C',.)Eo][^i]+etc.
La comparaison des termes semblables donnera C=C,, C;+C'.=sC'.+C,., C'.+C".=C^+C'.., etc. ce qui se réduit à C^ =C~i 9 C'x=C'*-i 9 ^^c»
d*oii Ton doit conclure C,=^c , C ^•=c' ^ etc.
c et c désignant ici des constantes ; pour déterminer ces dernières » on prendra dans la première ligne de la table de la page 176 , les valeurs de j^, „ , j^. , , , etc.
Quand^x^^i, on a , *
[o] [^,]=i, [o] [r-.i]=o, [o] [/— i]=o, etc. d'où il résulte y,,, ^= Cl', j^,„=ic, et par conséquent cz^\%
quand jc:=i, il vient J'a,#=i'([o] [/ — t]H-<^') 9 expression d'où Ton tire j/,,,=ic' et i:'=o, puisque dans la table y,,,= o. En poursuivant de cette manière , on trouvera successivement ^',?=o,c'"=K), et on obtiendra
pour le terme général de la série comprise dans la table de la page 176.
DES Différences. 179
La complication de la méthode que nous venons d'exposer , ne paroît être due qu'à celle dû sujet ; cette méthode a d'ailleurs , sur celle du n*. 973 , qui paroît beaucoup plus simple, l'avantage d'oflfrir un véritable procédé d'intégration^ fondé sur la nature* même des équations aux différences partielles , tandis que le succès de l'autre ne tient qu'à l'effet d'une substitution particulière aux équations du premier degré à coefficiens constans ; je regrette , pour cette raison, de ne pouvoir m'étendre davantage sur les diverses ap* plications' que L^aplace a faites de sa méthode^ et d'être obligé de renvoyer à son Mémoire; mais pour terminer cette matière^ jetais rapporter une méthode proposée par M. Paoli , dans laquelle se trouve comprise celle de Lagrange et qui s'applique à un genre d'équations dont Tordre est indéterminé.
10x6. Soit , proposé d'intégrer l'équation
^,»#=^,y*M-i +^*y«j«^. +^xyxu-^ i
dont l'ordre , relativement à la variable t , change à chaque valeur de'x. Supposons que l'intégrale cherchée ait cette forme
y„ «= /B«i'[* J +» *'t/8,] +p c'b J + etc.
dans laquelle [<tj =«;.*,,.«,, «, , et ainsi des autres ;
et les quantités a, b,c. . . , my/iyp. . , , désignent des. cons-^ tantes. Tirant de cette expression les valeurs de >*,,,, j',,*., etc. pour les substituer dans la proposée , nous aiirons •
««'[«,] + fi !>' M+ P c'b.l-i- etc.
A-njfJb' [|8,'i;]+»5',3'-[/3.!;î ■¥nX',b"'i&Zh
+ /»^.c-[^J +^5,c— [>j -^pX^c'-' [>,5
^pA'.c' b-.ri+Z'^V-'tr^î ^pX',e-'iy'rd
. ayant introduit un nombre suffisant de fonctions indéterminées
^*j ^* > 7x1 etc. dans Téquation proposée , nous y pourrons satisfaire en posant
etc.
Les quantités m^ ^yP y etc. disparoissent de ces équations , par la
seule division et demeurent par conséquent arbitraires ; on peut aussi
chasser les fonctions [*,,] , [i8,-J ,• [7^*-i] 5 etc. puisque Les équations simplifiées par ces réductions donneront respectivement
J ^^,+^^,c-' .... +XV"'
etjc,
d'oii- on déduira les valeurs de [*,] , [j8j , [>J , etc. mais pour faire usage de celles-ci , il faudra les réduire en séries.descendantes , luivant les puissances de «, bf c , etc. et si Ton a
£«J=^+>rf'«-'+^'rt— +^'"tf-»+ etc.
[^j=^+^'r' + ^'r'+^'"^-'+ etc.
\y^]=4+ 4'<r' + A'r^ + A''r^ + etc. ;
etc.
en
on en conclura
y^'^^=iA{mc! ^nV +/'c' +CtC. ) + Â (ma''' 4- n*'""* +pc*'- + etc. ) +A%ma''^+nb'^+pc"^f etc. ) :
en raisonnant ici comme dans le n^'10I^, on transformera cette expression dans la suivante
^., ,=^^(f)+^>(f—i) +^''f ('—*)+ etc.
qui sera Tintégrale complète de l'équation proposée aux différences,
La méthode ci-dessus se réduit ^visiblement à faire y, ^ i=ia*[<t>J] i à tirer de la substitution dans Téquation proposée la valeur de Ag\
et à 'convertir ensuite [et J en une série de la forme
^+^tf— +^V.+^'a-H etc.
d^oii Ton déduit sur le champ
j^„.= ^KO+-^> (r— i)+^>(r— i)+^^X^— 3) + etc. 1027. Prenons pour premier exemple Péquatîon
qui engendre la série
X 345 é...».ar
rÇO
lorsqu'on fait y„ ,=i , j.,„=o, j^,,^,=o, etc. Chaque terme de cette ^érie est égal à celui qui le précède dans la colonne verticale oh il est placé , mukipUé par x et augmenté de celui qui , dans la colonne précédente, s'en trouve éloigné de x^x rangs [horizontaux : Appmdiu. N n
ifrl C ^. î. B 1/ C A t e V L
pour le troisième terme de la septième ligne , par exemple ^ on a ^=3, ^=7, et r — Ar+i=54 et par là on trouve j^j, 7=3x15 + 15=90.
Faisant y comiAe le prescrit la r^le ci-dessui^ y*»#=^'[*J> réquation proposée se cbange en «e,= :ç <!'"'*,+ a"**^* et donne
tf--*'
*,=: — , d'oïl Ton conclut
Soit
' ~ = ^ + ^tf-« +^a-* + ^"0-^+ etc*
on aura premièrement jé7=s i , puis il s'agira de mettre le dénominateur du premier membre sous la forme
i+Par'+,Qa^^+Rar^+ etc.
pour parvenir au développement de ce membre ; or il est visible que
Q=i.2+i.3. +1.3+ etc.
R= — 1. 2. 3 — etc.
et que ces quantités peuvent s'exprimer par la somme des puissances de la progression 1 9 1 > 3 9 4 » etc. au moyen des formules du n*. 1589 qui donnent
etc.
DBS D IF F Â R E V C E S, »8j
<t on aura ensuite y pour déterminer A,.jf ^ A'f A'"^ etc. les
équations
PA-^A=^o
QA+PA'+A*=o
RA+QA'+PA'+A"^=<y
etc.
reste à tirer les valeurs des coefficiens A^ A\ a4% A^\ etc. mais on y parviendra plus facilement , en comparant les équations qui se correspondent dans les deux suites ; car on aura ainsi :
etc.
d'où l'on conclura
A" S, ^ ^. . /jr, ^ S, xS,
^ ^*) Ces formules ne' sont qa*un cas particulier de celles que donne M. Papli, pour réduire en série, par le moyen des sommes des puissances, une fraction rationnelle, formules trop élégantes pour ne pas ttouyer place ici. Si Ton a la fraction
isi3i^^=^+ A+^Y+^v+ ».
Nn X
t94 C H. h D u Calcul
et par conséquent
et qu'on prenne les logaritbntes , il viendra"
Jî;i:'jîi'[;=S'^ji'(to[]::::::}=wA+^v+^-'t'+etc),
puis en difiSrentîant, on obtiendra
f __ A'-\-aA''x^-KA^[*^ etc.
les termes du premier membre éuist développés en série » il en résulte a'+a'*^+âV+ etc.
+c'+c'*c+c'3^*4- etc.
■ ^+2yf^^4-3^^V + efc.
a— a^^+aV — etc. ( ~ ^M'{+i^V+^'V+etc.
—b— b»^+bV — «te- c — c*{ -f"c'^* —etc.
et si Ton fait
u >=a "T"l^ "v C • - . k • . . ""i «-~Jb — <
etc.
on aura
5»+5,C+% + etc. - ^^^,^^^^^^^-—-^, d*où l'on tirera
«te.
DES Différences.
par le moyen de cette dernière expression , on aura
1 ) + etc.
Ces formales sont principalement applicables, lorsque les quantités
constituent dés séries dont on peut obtenir facilement la somme, lorsque leurs diâSrences premières , par exemple , sont constantes ; dans ce cas on peut aussi trourer immédiatement les coefficiens des puissances de ;^, dans le développement du produit
(I — at)(i— bç)(i— cO«c;
par un moyen que nous allons exposer, parce qu'il peut être utile dans plusieurs occasions , ainsi que l'a montré Lagrange.
Soittf,tf+^, tf + a^, ^+3*»^ tf + (/« — i)^ une suite de quantités croissant par une différence constante et égale à A; on fera (* + ^)(* + ^ + ^)(* + * + i^) (*+^ + («-i)/t)
les coefficiens A\ A'\ A'\^ . • • +^*^ donneront les sommes demandée»;
Si Ton substitue x-^^k à x, dans les deux membres de cette équation , elle deviendra
iB6 C H. L Du Calcul
Si Ton fait x=.o , les sommes S^, S^, S^.... s'évanouiront » et il ne restera que y»^ i^= 9 (^) ' ^" ^^^^^ ^^^ ^^ détermination de là fonction p dépendra de la colonne verticale qui précéderoit la première de la table de la page 281 ^ et qui n'est pas donnée.
cfî comparant son premier membc^ avec celuî 4% b précidefite, e» vott mm pei que le second
x+a développant cette nouvelle équation , on obtiendra successivement
{x+a) [{x+k)'^+AXx+k)'^-'+A'\x+k)^-^ +i<Cm)J
z=^{x+a+mk) [*'"+^'«"-*+-d'^Jc"-» +i<C'«) J ^
et
,»H-- 4.- k jc"+ ^- ■ ^ A*>A^"'''+ ^- ■ ^^' ■ ■ ■ A Â^x«"^f + etc.
+ 4*"+ -tffcc«-'+ -.^ i tfA»A"»-»+etc.
. Ai w— 1 .,, («— iV«— a")
+^'a'» + ^'X:x«r'+ ^ <^ — ^ ^'A*A«-*+ etc.
+ A' a jc«-»+ 2Zl ^'tfit A"»— + etc.
+ ^"a— •+ 1!— XAA"-»+etc.
+ A"a *"~*4" etc.
+ -^'"a— •+ etc.
=:««+>+ ^a"+ -r4''A«-'»+ if "*"»-»+ etc.
+ 4*"+ ^'.îx«-"'+ A''iiJc«-*+ etc.
+ mkx^+ A'mkx'^-»+ A'mkx'^-*+ etc.
Cette dernière équation devant être identique donne 1 = 1 .
!<1II11k*+1 a k + f!=ljfk + ^'4 + jf'=A"+A'a +A'm k 1.2.3 i.a i.a
■ïlli^'^ i 4. !!!lllA"k+A"a +Â''z=:W''+J"u+A''mh CtC«
DES Différences. iZy
Maintenant voyons comment nous passerons de Tune à l'autre; fai-> sons x:=>\ , réqùation proposée nous dannera >',,f=^i5*-r + J^o»«j d'o{i^^,,==y, ,r— >mm c^ fl^î 'ïous montre que la valeur de j^^ , | doit toujours être nulle tant que / est un nombre entier positif différent de l'unité , puisque la table de la page 18 1 donne dans tous ces cas y,, 1=1. Pour obtenir les valeurs de y,,<, lorsque /est nul ou négatif y il faut continuer en arrière la série résultante de l'équation proposée 9 ce qui s^efièctuera en formant ^ par le moyen de cette équation y'ie tableau suivant:
etc.
yiAi^^ yii9'ty»9t y^f I ^^ ^y%y o + j^i > o y^i i=3J^î»p+,yâ>-i
|etc«
J^.,*= ^.51+^01.^ etc.
y»9^^^^y%M'^yi9t yz^M=3yi^i+yi^i
|etc.
A la troisième ligne de la troisième colonne^ on trouve Téquation y^9^='iyijt + y^9o9 ^^9 par le moyen des valeurs de y^9%9 y\9i9 tirées de la table de la page 28 1 , donne y^ , ^ = o , %.€ette valeur, substituée dans la seconde ligne de la deuxième colonne , qui esty^,,=iy^,^+y,9o9 conduit à^,,^=o; en prolongeant plus foin le tableau , on trouveroit dans la quatrième colonne , à la quatrième ligne, j^^,, = 4:^4)* +J^î,o* équation de laquelle il
d'oh Tan déduit
3^"=^'^".+ fc?K:!=î2l^-*+ ±^^k!!=±A'ak ^ i ' I .a i.a
>b(/b— i)(fff— a)(w>--3) ^a
j.fl.3.4 etc.
La loi de ces expressions est déjà assez évidente pour nous dispenser d'aller plus loin. Nous observerons que, pour les ramener à celle de Lagrange, il faudroit faire a=î , A=i, et écrire iR«*i au lien dem. ( Mém. de VAcadémit dt BtrUa , aiinée 1771 , page 126. )
x88 C H. h D i/ Calcul
résulte y^ , «^=0 9 cette valeur mise dans la troisième ligne de h deuxième colonne^ montre qoe^,y.,=09 et par la seconde ligne de la première colonne on a alors ^, , ,=o ^ puis par la première ligne de la même colonne ^^^^^^ro. On s'assurera par la même voie que les valeurs de jK|,« sont toutes nulles lorsque / est nul ou négatif; on conclura donc de là que y ^9 i=j^i> i— •Ji>«=i : c'est la seule valeur Atyo^ê qui ne soit pas nulle.
Cela posé , puisque j^o • «= ^ (^ ) > <>n aura
^(^— 0=J^«»i-i» ^i^—^)=y.9t^$ etc.
et y»^i—^yoy i+^yc9 t^t+^'y^fi^ .+^^"^*îyoM--^.*
C^te série , d'après ce qui précède , se réduira pour chaque cas par* ticulier de la quesdon qui nous occupe ^ au seul terme dans lequel
/— xtt — 1=1, on y ^ • — m — 1=1,
il Vient alors m+i = r ^ — i ; mettant cette valeur dans
l'expression générale du coefficient j^'^'^ donnée plus haut ^ on obtiendra
+ (£i^.5.£^+(£i.4.^.fi)^) ^-yrO-4 etc.
\3 3 NI x/^/t — ÎJr(* — i) — I
Soit, povir appliquer cette formule «=3 , /=8 ; les quatre termes écrits ci-dessys suffiront pour ce cas particulier ,' puisqu'on a m + 1 =4 f et on trouvera
d'où l'on déduira
6 1^04 + (ii + a-i4+(7+ï8)z)- = = 301.
VMS D i F F é R E N C £ S. 289
xox%. Condorc€t , à qiû Ton doit la théorie généraU des équations jj^, équatîonf de condition relatives à Tintégrabiiité des fonctions différentielles , a de condition reUdonné ies équations de condition qui doivent avoir lieu pour qu'une bîlité des fonctions fonction aux différences soit intégrable ; nous avons remis jusqu'à »»* différences. présent à traiter cet objet parce qu*il,est plus curieux qu'utile.
Soit V une fonction quelconque des variables x y y , { et de leurs différences jusqu'à Tordre n inclusivement ; si on la regarde comme la différence complète d'une fonction P^ , on aura
id'oîi l'on déduira successivement
dr dAy^ dv A^v, , dv ^di^y, dv __dAy^ .
dZ IT * dli d^ * ll\ê^7^ * l^~d^ * ^^* dv dtv^ dV duv, dv dh.v; (tr dt^v,
dy~ dy * dÂ}~~ dà.y *, dùTy ~~dA.y * db?y ~~dt?y * «^'
etc.
dF dAF" dV dhV, dV d^V. dV dLV
di d^ * dx d^i' dA'i dl^\ * dh\ dA\ *
mais en transposant la caractéristique a , dans — -~- , on obtient
dx
dV à-j-^, puis en observant que
dx dàx dA*X dù?x
dV
dP dV "dj^ dP"
dP'=--~i-dx+-j~i-dj^x+ -j--^/A**+ -—^J^'x+ttC ' dx dAx dA*x. dA?x
dy
prenant ensuite les différences de chaque terme de cette dernière expression y qui donnent
dV àp^ dV dV
U—;-^dX'=t^—r^.dx^—^dùkXJ^Ù.—^.dtkX
dx a^ç dx dx
dV dV dV^ dV
A--— ^rfAA:=A-7— ^•^Ajr + -r — ' dù^x^L^—^Uà^^X dLX dtkX dùkX JAX
etc.
appendice. Qo
1^0 C H. 1. Du Calcul
pour former le développement de J^dV^^ et comparant enfin ce développement terme à terme ^ avec celui de dV ^ on aura les équations suivantes ,
dJ^ dT^.
dx dx
dV" dP-^ dT^^ âT^,
d^x dù^ dx dx
df^ dy, djr jy^
d^^x dL^x dùx dAx
djr ,.dv^ dv, dv,
dii?x dt?x dL^x dù.^x
pareillement , par rapport aux variables j^ et ^ ,
dy dy
dT^ dP^^ , dP^^ dV^
d^y dù^y dy dy
dV" dT^^ dV^ dJ^,
dL^y dA^y dù^y dby
du^y dùTy dù.'y dt.*y
UV dK
dL[ dAi d^ d[
dV dP" dT^ dK.
=A-- — Lj^~-LJ^ a
dù.\ dL\ d£i[ d^l
dj^ dP^, dK, df^^
^A^î Ja^Î * dL\ dA\ .
Il 'reste maintenant à éliminer les coefEciens différentiels de F^ on y parvient de proche en proche par un procédé semblable à celui qu'on a mis en usage dans le n"*. 86. En prenant d'abord la diffé-
DES D J F F É R E S C E f. ICI
rence de la seconde des équations relatives à la variable at ^ on a ce résultat :
dLx dùkx dx dx
qui devient
^ dr ^djr dT^ ^ dfr
dùkX dLx dx dx
dj^ dV'
en vertu de la première équation — r— = a -— -^,
dx ' dx
Prenant ensuite la différence seconde de la troisième équation \
. dT^ , dV'^ dy, , dy A' = a' ^+ A' ^ + a' ^;
dtk^x dL^x dAx dAx '
dy dy
équation de laquelle on éliminera les termes a* ^ , a^ ^ ,par
le moyen de celle que nous venons d'obtenir et de sa différence p ce qui donnera
dy ,dy dy dy dy
A* =A* — lA —A»
dA*X dU^x dx^ dx dx
\dy^ ^,dy
dàkX dè,x
Si Ton prend encore la différence troisième de la quatrième équation ,
dy dy
qu*on en chasse les termes a'-j — - , a* —~ , à l'aide de la précé»
dù^X dùk 3Ç
dente et de sa différence, on obtiendra
^dy dy dy^^ dy ,dy ^ ^dy
dy dy ^dy
— A- — lA —a'
dàX dàX dAx
^ dy .dy
^ dà*x d^'x
En suivant la marche que nous venons de tracer , et en observant que puisque Test de l'ordre n, F^ doit être de l'ordre n — i , d'où
