OO

^9* Ch. I. D V Calcul

il suit que ----i.=o, on arrivera enfin à

db!'x \dx I dx i.x dx **** dx i

^djr (a-^i) ,^ ^ 4.A-— 1

. d^ . dy\

dù,*x dù.*x }

se: etc.

Il est visible que ks équations relatives aux autres variables y^if doivent être absolument de la même forme , mais que s'il y avoit une variable dont la différence première fût constante , elle ne fourniroit point d'équation de condition.

On déduiroit aisément de ce qui précède les équations qui doivent avoir lieu pour que la fonction V soit la différence seconde d'une fonction V^ ^ en formant d'abord celles qui doivent avoir lieu pour que y, soit la différence première de F^ et qui sont semblables aux précédentes ^ mais seulement de Tordre /z— i ; puis chassant ensuite les coefEciens différentiels de F^ , par le moyen des expressions de leurs différences y que Ton obtiendroit à peu près comme ci-dessus. Nous laissons au lecteur , que cette matière pourroit intéresser , le s(^n de 'développer ces calculs qui n'exigent que de la patience et de l'attention; nous ne nous arrêterons pas non plus à montrer comment on peut trouver les équations de condition relatives à Pintégrabilité des équations aux différences ; car il est évident que si ^=o désigne l'équation proposée , il faut chercher les équations de conditions relatives à la fonction MV^ qui doivent être em- • ployées à la détermination du facteur M , après avoir été réduites autant qu'il est possible par la suppression des termes dont l'équation y=iO et ses différences , indiquent la nullité.

1029, N^^* avons déjà fait remarquer , dans le dernier Chapitre du second volume de cet ouvrage , l'analogie que les équations de condition relatives aux différentielles, ont avec les équations qui donnent les maxima et Içs minima des formules intégrales indéterminées ; il existe

n £ â Différences.^ 29}

une semblable liaison entre les équations de condition relattres aux différences et celles qui donnent les maxima et les minima des fonctions indéterminées , exprimée par des intégrales aux différences.

En prenant la variation de ces fonctions , on a «rs^ci=3:<r^, et lorsqu'on cherche leurs maxima ou leurs minima^ il faut que s<rf^=:o ; mais il convient de séparer l'expression de z<r^ en deux parties , en intégrant autant qu'il est possible les divers termes de i^V y ce qui fournit deux espèces de résultats les uns dégagés du signe 2 ^ et les autres qui ne peuvent admettre d'intégration tant C|u'on n'assî« gne aucune relation particulière entre les variables qui entrent dans la fonction F. Qn doit égaler séparément à zéro chacune de ces parties ^ pour obtenir les équations qui doivent déterminer la forme de la fonction cherchée et celles qui sont relatives aux limites de rintégrale.

S'il s'agissoit de chercher les conditions d'après lesquelles la fonction V doit être une différence complète , on verroit facî-* lement que dans cette hypothèse fV doit être pareillement une différence complète , sans qu'il soit besoin ^ pour la rendre întégrable, de supposer aucune relation entre les variables de la fonction y. Il suit de là qu'après avoir intégré autant qu'il est possible chaque terme de i^V , la partie qui reste sous le signe z doit s'évanouir d'elle-même ^ ce qui fournit évidemment des équations de condition absolument semblables àcelles qui résultent de la même partie de la formule pour les maxima et les minima; quant à la partie dégagée du signe s ^ ce n'est autre chose que la fonction pri* mitive de x JT, et si on l'intègre par rapport à la caractéristique l le résultat sçra l'expression de Sf'.

En prenant ^ comme ci-dessus ^

djf^ dj^ dv iy^

dV^ -—'dx + dAx + -r-— ^ à*X.+ etc. + -— dy + etc.

dx dtkX db^x dy '

on en conclura

^^=77^-+7^A/*+5;^AV*+etc.+ — /^+ etc.

Si l'on intègre, par rapport au signe x, d'après les formules du

tp4 Ch. I. Du Calcul

n*. 910, chaque terme de cette dernière expression » on aura successivement