X-7 AJ^X = — <r* — SA /x

i'Ax S'H.x J'AX

fà^x Il^x J'a^x

»y ^ ^y ^ fv

etc.

Il en seroit de même à Tégard des autres variables y ^ i^ etc. et en ne considérant <{ue les termes qui demeurent soumis au signe :s ^ on formera Téquation

S^y i^y IV IV

^x Mr iTa^jk: ^^ i-L^'x

^, ^V iV tV fV

* jy /Ay "^^ /A*^ •^ <rA"j^ .•^"

etc.

dans laquelle il faudra réduire les variations ^x , Ix^ , J'x^ ,

^y f ^yi > ^^c. au plus petit nombre possible. Cette réduction s'opère sur le champ en substituant aux quantités

IV lV IV

les suivantes

Sx{n) ' J^^x(n—i) ' J'^^x{n—i)' ^

qui en désignent les valeurs ultérieures , lorsque x se change en ^» 9 JK",^-, 9 ^,^-1 , etc. parce qu'il est évident que s -r— J^at, ne dif -

fère de 2 — , ' , <rjr, que d'une constante , que x— — JW ne diilère

de 3î -r: — f^'^-'^ i'x^ que d'une constante , et ainsi des autres termes

relatifs à :r et de ceux que donnent les autres variables. D'après ces considérations ^ il ne restera que les seules variations indépea*

DES D 1 F F É R É N C f S. I95

dantcà S'Xn, i^y^ 9 etc. dont il faudra par conséquent égaler sépatément à zéro les coefficiens ; on aura donc j par rapport à la variable X j l'équation

maintenant on sait que

Îi22 — — 1 — A^ +-^ ^A» . . . . +

ilînL=s A— -+ A*-- :.... + A».

/Ax(;2 — 1) J'àx I ^TAx i'ù.x

crA*a?(/i— ^z) J'A";r J^A*x

CtC,

la substitution de ces valeurs / dans Péquatîon précédente; fait pré* cisément retomber sur Téquation de condition relative à x , obtenue dans le n*« précédent.

1030. La question la plus générale qu'on puisse se proposer sur les variations » par rapport aux différences , consiste à trouver la variation d'une fonction qui n'est donnée que par une équation aux difierences. Pour la résoudre ^ on multiplie la variation de l'équation proposée par un facteur ; on intègre ensuite le résultat par parties comme ci-dessus , et en égalant séparément à zéro les termes qui contiennent encore sous le signe z la variation de la fonction cherchée , on se procure une équation aux différences et du premier jdegré » qui sert à déterminer le facteur. Ce calcul est trop facile à effectuer d'après celui du ji% 841 y pour qu'il soit besoin de nous y arrêter.

103 1. Pour donner un exemple de l'application du Calcul des différences à la re'cherche des maxima et des minima ^ nous résoudrons ^ d'après Lagrange , cette question : trouver entre tous Us polygones qui ont un même nombre décotes donnés , celui dont taire est la plus grande, SoïiAMMM" , etc. Jig. 5 , ce polygone, rapporté à une ligne -^^, FIG. 5.

1^6 C H. h D ir C A L c u L

menée par Tua de ses angles ; la différence de son aire est le tra*

peze PMMP\ dont Taire , mesurée par f ■ j PP\ aura

pour, expression (^+|^Ay)AJci celle de Taire du polygone entier sera en conséquence Tintégrale S (y + 7 aj^) Aar , prise entre les limites marquées par les points extrêmes du polygone: on aura de plus

iMiM'= V p p'j^ MR r^ y^Ax» + Ay. Maintenant les conditions de la question propibsée donneront les équations

dont la première exprime que Taire du polygone cherché doit être un maximum ou un minimum , et la seconde que ses cô tés sont invariables. En développant ces équations y on obtient

VAx^+i^y

on conclut de la seconde de celles-ci ^ a /"jc :=: ■ ■ ■ } substi«

, ùx

tuant dans la première, on la change en et faisant pour abréger

I Ay I Ay*