X ^ AX X AX
il restera à intégrer par parties la fonction { a J'y. On en déduira
résultat qu'on transformera en i S'y — "S^ù^^^^Sy , si Ton'désigne par ^ la valeur que prend { lorsqu'on y met jc— -ax, au lieu de ;c; et la première équation du problême deviendra
Dans le cas oh le polygone coupe Taxe en deux points , c*est-à* dire ^ oii la ligne ÀB passe par deux angles opposés , la première et
la
DES D I F F i H £ N C S S. 197
la dernière ordonnées sont nulles , ainsi que leurs différences , et Ton a jy = o i il ne reste que Téquation
qui donne Ax— Aî^=o,mi x— :;; =C,ce qui revient à Ar+AJf—{=»C et fournit par conséquent Téquation
x + Ax AxH f- - 1 7=zC.
En la multipliant par lAx^ il viendra ^
(ix + ax)ax+ {ly + A)r)Ay = %Cùx;
dont l'intégrale est
équation appartenante à un cercle dont le centre ^\ placé sur Taxe
des X , et qui se réduit à ;c*+j^*=2Cjf , lorsqu'on veut que x t\y
soient nuls en même temps. Il résulte de là que le polygone de*
mandé doit être inscrit dans une demi-circonférence de cercle.
Si la partie de Taxe des abscisses ^ comprise entre les deux points^
extrêmes du polygone ^ c'est-à-dire , la l^àse de ce polygone étoit
donnée , le.demièr Ix seroit nécessairement nul; et comme Téquation
AvaJV . ^ AvaJV •- ^ , ,
L^x=^ — -y donne «rx = — "Z-^ — ^, il faudroit que la
AyAcTy
valeur totale de l'intégrale ^ — fût nulle aussi bien que celle de
Ax
or on peut appliquer évidemment ici ce qui a été dit^ n"*, 851^ sur la combinaison des conditions simultanées auxquelles les maxima et les minima des intégrales aux différentielles pouvoîent être assujettis , et Ton aura en conséquence
X { Aor <fj< + f i A;r+*— -:y — — — V ^J^ } = o; '^ "^ Vl AX ^.Ax %ù.x) -^ ^ ^
k désignant le coefficient indéterminé par lequel on a multiplié la
Av A S'Y
formule x ^ avant de l'ajouter à celle que -donne la condi*
Appendice^ Pp
29S Ce. h D V Calcul
floa primitive du moAçimum, Si Ton fait comme, ci- dessus
AX % Ajt % AX
(M) obtieadfa ebcare Téquatioo x + ^x-^i^^C, de U<|iieUf oa
tirera ensuite
2AA^4-(2jr+ ^x)Aaf + (i^+ Ay)Aj^ = iCAy, xky -{^x^ + y^^iCx-hC:
cette dernière équation est celle d*aa cçr^e dont le ctotxt e$t situa d'une manière ^quelconque par rapport, aux coordonitées ; ainsi parmi tous les polygones que ton peut construire sur des- cotes donnés ^ celui
. qui sera inscriptiile dans un cercle renfermer a le plus ^aire.
1031. Si les côtés du polygone ne sont pas donnés chacun en particulier 5 mais qu'on en ait seulement la somme , alors l'équatioa
J'/I?+Ay^:*=o doit être remplacée par J^s */ aat • + Ay*=s o , on
par s .^j ;;=z=:~0,
équation qui doit être combinée arec celle dtt wttxinmm ;
comme nous l'avons indiqué plus haut , et d'après laquelle on a
x{Axjy+( -AX4-— — )Afy
^» . VAx' + Ay»^
Pour abréger , faisons
nous aurons
$ ( A AT /y + { A^y 4-r» A /x ) = o }
en intégrant cette équation par parties^ de même que celle du n*. pré* cèdent ^ elle ' donnera
" i^y+uS'X+X {(A;r — A^J<ry — A/z/:c}=s;0,
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d*oh on déduira
