CHAPITRE IL
Théorie des suites , tirée de la considération de leurs Fonctions
génératrices^
1033. -^^ Chapitre précédent a dû montrer que ce que le Calcul aux différences ofFroit de plus satisfaisant » consistoit principalement dans les formules dlnterpolation , dans quelques séries générales pour l'intégration des fonctions d'une seule variable et dans Tinté-* gration des équations du premier degré à coefficiens constans. Laplace , en 1779 ^ parvint à tirer ces diverses théories d'une même source ; savoir y de la considération de ce qu'il appela les Fonctions génératrices; sous ce nouveau point de vue elles présentent un ensemble aussi simple que lumineux , et constituent une nouvelle espèce de calcul qu'il est très-important de cultiver avec soin» Nous allons donc le faire connoître dans ce Chapitre, qui, pour être/ entendu , n'exigera , sur les différences et sur les intégrales , que les notions les plus simples, et pourra ainsi former un traité complet sur ces matières.
Une série quelconque étant représentée comme il suit : Dw>s fonctions
le second membre est le développement du premier , suivant les puissances de la variable /, u est la fonction génératrice de ce second membre; mais par ce qu'il t$t contenu implicitement dans son terme général yj'^ nous dirons que u est la fonction génératrice de y^ , qui sera le coefficient de t' datis*le dévelopj^ement de la fonction u.
Lorsque la série proposée procède comme ci-dessus , suivant les puissances entières àtt, le théorème de Taylor donne sur le champ
l•^.'i....x dt' * mais on peut varier d'une infinité de manières la forme du développement de la fonction Uy et de là naît un calcul direct quand on veut
3Ô2 Ch. il Txmomis des suites^
déterminer les coefficiens par le moyen des fonctions génératrices, et un cataU inrern , qmnd on v^ut reœonier des Goefficieos «ox fonctions génératrices.
1034. La presuèfe questioaqui Ta nous occuper aura pour but de déduire du coefficient jr, relatif à la fonction génératrice u celui de quelques autres fonctions liées à celle-là d'une manière fort simple,
I**. Il est visible que le coefficient de r* doit être égal à y^^ dans ar , ày,^ dans »r*, et en général à^,^ dans «r".
1*. Le même coefficient de t' doit être égal à y^^^ dans le dévelop-
pement de - , à ^,4^ dans celui de -;-, et en général ày^^j^ dans celui
de 4
D*aprèscela k coefficient de ^ dans « T - — i J , ou - — « , est
évidemment égal ày,^,— ^,, ou à a^, ; puis à cause que
i«r-^-~i^ =«/- — i^r^ — ij, on aura pour le coefficient
de r* dans le développement de cette dernière fonction , Ay^^,—^Ay^^ ou A*y,, etc.
En continuant ainsi , on reçonnoîtra sans peine que le coefficient
de /*, dans« (- — i^ est égal à Ay^.
Il suit de là aussi que ^ ( — r ^ J ^^^ ^ fonction génératrice de
à'y, » «t qu* w^r - -^ i j est celle de ^'y^^j». 3*. Passons à la fonction plus générale
dan$ liaquelle a^ a\ a%«.«.a^")3 représentent des constantes; le coefficient de t* dans le développement de cette fonction ^ que Vùn peut mettre sous la forme
au a'u ùS^^u
TULÈE DES FoNCTIOHS GÉNÉRATRICES, 303
sera , d'après ce qui précède ,
comsie cette dernière expression reviendra souvent , nous la désignerons par vy, , et nous dirons que la fonction génératrice de vy,
f a' a" flWv ,
tst aÇ^a+-4...,. + -.^:
composant avec ■^y, l'expression
«■ V^,+ aV^^, + «'VJ',+.. . . . + a"v'y,j^ ,
semblable à la précédente , et que nous désignerons par v^y, , elle aura pour fonction génératrice
/ a' a' aW\'-
U est aisé maintenant de poursuirre cette notation et d'en condure que les fonctions génératrices des expressions v^^^^^v^^^j sont respectivement
■ /iWv'
4*. En combinant les résultats que noiu venons d'obtenir, nous' en conclurons que la fonction génératrice de l'expression t!'v''y^n est
/ a' a" tfW\Vi \'
1035. ^ ^"^^ ^^ ^^ ^^^ "^'^ '^'^^^ P^^^ facile que d'obtenir le coefficient de /'dans le développement èétu^ \ si 5 désigne une fonc-
tion quelconque de - ; il suffit pour cela de développer s^ suivant ^
les puissances de - , et représentant un terme quelconque de ce
dernier développement par —, le terme a&cté dje f dans le produit
Hiu -,
-;^ aura pour coefficient celui de r"^-* dans », multiplié ptr IC ,
304 C H. IL T H È 0 m E d es s v i te s^
ou Ky,,^ , ce qui revient à changer la puissance m de - en ^,4;.;
On voit par là qu*en écrivant dans 5% y, au lieu de - , et développant ensuite suivant les puissances de y^^ il ny aura qu'^^
changer {y^y eny, , (y, )" eny^^, , (y^)"^ en y^^ , pour avoir
le développement de us^ ; c'est ainsi qu'on formera celui de v'y, / en prenant
j= tf H 1 — -+-r. • . . H — —-.
On introduira les différences dey, au lieu des valeurs successives de cette fonction , si on développe s^ suivant les puissances de 1,"
en sorte qu'un terme quelconque iC T- — i j de ce développement
donne Ku f 1 j ; KA'^y, sera le coefficient de t' dans ce
dernier , et puisqu'il faut substituer A'y, ^ C "" *~ ' y * ^ ^^^ visible qu'il suffit de changer d'abord 1 en Ay, , ou —
en i+AXx9 puis de développer le résultat suivant les puissances de Ay, , et d'écrire ensiiitè ày^^ ou y^ , au lieu de (AXar)'' » -AX* ^^ lieu de (ày,y , et en général A*y^ au lieu de (aj'J"*.
1036. Le développement de :sfy. S'obtient avec la même facilité , en observant que s'il a { pour fonction génératrice , le coefficient j^, y
qui revient à a''. i.y^ , aura pour fonction génératrice i f— — » J ( n**. prégéd. ) , et que par conséquent il viendra
en faisant abstraction des constantes arbitraires introduites par l'intégration ; et il ne s'agira plus que de passer de la fonction génératrice au coefficient , d'apràs les préceptes donnés dans lé n"*. précédent.
Ce
TIRÉE DES Fonctions GÉNÉRATRICES. 305
Ce résultat rend évidente Tanalogie des intégrales avec les puissances négatives, déjà remarquée dans le n°. 914; car il montre qu*on peut , en changeant seulement le signe de l'exposant p , passer
de la fonction génératrice de à.y^ ^ égale à u( ij, à celle
de J.y^ , égale àttf-— ij ,et réciproquement.
Lorsqu'on veut tenir compte des constantes arbitraires | il faut ajouter à u les termes
dont le nombre est égal à l'exposant p , qui désigne Tordre de l'intégrale.
1037. L'interpolation des suites n'est au fond que la manière de passer du terme y^ et de ceux qui le précèdent ou qui le suivent , à un terme y^^^n > ^^^^ lequel n représente un nombre quelconque ;
of y^^jy est évidemment le coefficient de t' dans — : toutes les manières de dé velppper — doivent donc fournir des formules propres à l'interpolation. La plus simple consiste à mettre - sous la forme f I + ') 5 ^ développer | » + ( ^ i)\ , suivant les puissances
de ^ ^— 1 9 et à remplacer ces puissances par les différences corres** pondantes de y,. On aura de cette manière
. et le coefficient de t' dans le second membre de cette équation donnera
résultat conforme à celui du n% 873.
Appendice. Qq
3o6 C H. 1 1. Th èorie des suites^
Si Ton fait -= i + « — , et qu'on développe — suivant les
puissances de «, par le moyen du théorème du n^* 1 1 1 ^ on trouvera
u . « ;2(rt+ir— i) i2(/2+3r— i)(ii+3r— i)
— ï=»{ I +-«-! *-*— flt'-H (t
1.2.3.4 Maïs de -=i+a— , on tire « = ?''r-— •« V et puisque le
coefficient de «* est' ày^r dans « «, A^,.,r dans ««*, et ainsi de suite ( n*. 1034 ) , on aura
1.1.3.4 1038. Si Ton prend t( iy=;j, et qu'on cherche la valeur
de -7 en {9 on aura des formules analogues à celles-des n"". 879 et 88o«
Pour développer — suivant les puissances de { , il faut observer
que — est le coefficient de «' daas le développement de la fraction
, puis chercher à introduire [ au lieu de/, sans faire entrer dans le
et
résultat les radicaux que donnerait l'équation proposée , entre e et {• Or en multipliant par i— *«r les deux termes de la fraction -^ ,
on aum
— — — -; et comme "équation t f 1 ) ={
