TIREE DES FONCTIONS GENERATRICES
donne -4-/ = i + r* il viendra 7 — ; mais il est facile
t ^ (i — et)' «t{
de voir que
il reste à développer chacune des fractions du second membre de cette équation et à rassepibler les quantités qui multiplient et* dans le résultat finaU Le coeffcient de «t' dans le développement de
7 r; est ^^^ , r 9 en disant *=o • après les dîfférentia-
tions , ce qui donne
Par cette formule le coefficient de «* est
•dans
etc.
en nommant donc Z le coefficient de «'^ dans le développement de r r— , nous aurons
(n—i)in^i)nin+i){n+x){n+i)(n+4) + ^ C + Wi
expression quUl est facile de changer en
^^ -*— -f* ■ z + ■ '^ tr
. (n+ i)[(ni. i)--i][(i»+ i/~4][(/»+i)'-9] ^
«|. - ■ -p^ — > — . z + etc.
Qq i
308 Ch* II. Théorie des suites]
Si Ton y met n — i , au lieu de n , elle donnera le coefficient de *• dans le développement de
5 savoir:
mais il est évident que le coefficient de «t% dans le développement
de- r; , on de ; j , est Z—ZV,
et que par conséquent
^u{Z^rt);
la question proposée revient donc à chercher le coefficient de t* dans le second membre de cette équation j celui de la même puissance de i dans le premier étant y^^^* Or un terme quelconque de uZ pouvant
être représenté par Ku^:=zKué'( \\ , donnera ^ d'après
le n*. 1034, Kti."yr-ri tandis qu'un terme quelconque de utZ'^ .représenté par J^ « r :( donnera K^"y^j., ; on aura donc
T A>,, + etc.
1.1.3.4.5 Nous déduirons de la valeur précédente de — de nouvelles ex*
pressions de y^y en y changeant n en n— i ; car en désignant par Z' ce que devient dans ce cas Z'^ qui représente ce que devient alors Z , nous transformerons Téquation «
A<^^j— etc.
TIREE DES Fonction SGÉî^ÈRA tricès ^ 309
de cette dernière nous tirerons — = Z% et prenant la
moitié de la somme des deux valeurs de — , nous aurons Mettons pour Z, Z' et Z\ leurs valeurs , nous obtiendrons
l z- 1 z«= l[t±L+±±Ê^!LÏÛ ç + etc. I
-.4^=:l+^^=înf=I>, + etc.} •
il I 1.1.3 •'
s=i + iJr i ^— ?•+ -i ii ^r'+etC
puis chassant [ , il viendra
— = «ji+ /(--i)+-i i,«( 1)
+v ii — ^^r ,^ +etc.>
+-(.+oh(7-.>-7:iy''(7-')
et formant les coefKciens de e' , pour chaque membre , d'après les règles du n*. 1034, on en conclura
»•(«•— ij («•—4)- .
+ -^ ^-^ — ~A«j..,+ etc.
in, - I n(n* — i) , . , ,
Zl ZX.2.X
formule semblable, à celle du n"". 879.
310 Ch. II. Théorie des si/ites^
^ Si l'on en prend la diâFérence en faisant varier n de l'unité ^ on aura
t, , i (xn+i)(n+i)n ,
1 (ia^O(/»+l)(«+iK«-^i)
.T -- — ^ A y i + etc.
+ - ( Aj'.+ A j.,,) + --Vr- ( <^V,-.+^'j',-.)
'^I^ 1 xT^ ^(AVx-, + A'j-,.,)+ etc.
écrivons maintenant y, au lieu de Ay^ , et au lieu de n ,
nous changerons ce dernier résultat en
formule qui rentre dans celle du n% 880^
1039. Nous allons parvenir dans c^t article à une formule d'inter*polation , plus générale que toutes celles que nous avons données jusqu'ici y et qui s'étend à toutes les séries qui tendent sans cesse à devenir récurrentes^ Soit
b c € PI
U question s( réduit à trouver une ejrpression de — ,ofdopnée suî*
TIRÉE DES Fonctions génêrathices. ^h
van t les puissances de { , et qui ne eontienne que des puissances de - ' inférieures à — • La méthode qui s'offre la première est rélimina«
tion des puissances — y-^, -3^ > ^^* ^^ "^r ^ suivant le procédé
indiqué dans le n*« 1015 ; mais cette méthode devient impraticable lorsque le nombre n est un peu grand i et pour arriver à un déve#! loppemeot général , il faut avoir recours à d'autres artifices ana-
lytiques. Voici celui que Laplace employé : en multipliant le numé*
rateur et le dénominateur de la fraction ^ par
et substituant , dans le nouveau numérateur seulement , pour { sa valeur , il vient
les deux termes de cette fraction étant divisés par i , elle prend
la forme
mim I ■ p
312 Ch. II. Théorie DES suites^
Maintenant, la quantité -~- pouvant être considérée comtae le coefH*
cient de 9* dans le développement de , sera aussi le coeffi-
cient de 9" dans le développement de la fonction précédente^ développement qui ne dépend que de celui dej
Faisons pour abréger
nous aurons
;=-ï7+^ + ^+^+ etc.
expression dans laquelle il reste à développer , suivant tes puissaQçes de 9 ^ les quantités
y > 'y% > yi > y\
, etc,
On y^parvlçndra en décomposant la fraction ^-^tn fractions sim*'
pies suivant les procédés du n"". 368 , et convertissant chacune de ces dernières en séries ; alors si on désigne par Z«, 3 r^^^ coeffi* cient de ji\ formé par la réunion des termes correspondans de ces séries y Içs coefEciens ^t 9" dans les (quantités
seront respectivement
le coefficient total de 9*^ dans le développement de ^ ■ ^ sera
donc
^f > » + ^ I ) »-»C + ^» > i>-*»>Ca + ^î ? w-î'wî + etc.
Substituant
TIREE DES Fonctions génératrices. 313
Substituant cette série dans l'expression àt-^^ on obtiendra
+ *î'Z,,„4^,+ etc.
+ *î'Zj,„^^,+ etc.
+ «î'Zj,„4^,+ etc.
+ TT < + ^ î^-^r, , ^^„^, + etc
Les quantités
etc.
ont été désignées respectivement par vy, , v'j', , v^, , etc. dans le n"". 1034 9 et il suie aussi de ce n^ que le coefficient de r*^ dans
la fonction^ ~, est v'jk*4^} si donc on multiplie par u Texpression
de *— y trouvée ci-dessus , on aura celle de — > fonction gêné-
ratrice de y^^ , et prenant les coefiiciens du second membre y ^ppcndiu. ^ R r
314 Ch. il Théorie dès svites^
suivant la remarque que nous venons de faire , on en déduira cette formule
-<-v%{*Z,,„^,^,+<:Z.,^,„^+eZ„^.,^,...+yZ^^.. }
+ ^J^aN4-i l^^if fl-âOT+t + ^Z,,,^^,^,^« • • +yZ„^j||^,}
+ ^r4.*{^'2r^»ii-i«4.i +?'2r.>»-* }
+vj^*+ai^z,,,j^„,^,, • • • +yZ,,^„^, j-
+ ^v%4j„^jZ. , ^.,,^, + etc;
Les diverses séries dont cette expression est composée ^ étant ordonnées suivant les quantités vy^j v'j',. ••vjr^^., , v*^,^., , etc. sont convergentes toutes \H foii que ces quantités vont en décroissant à mesuré que TêipoSàdt dé leur caractéristique augmente; on en tirera par conséquent des valeurs de 3^^,^ y qui feront d'autant plus approchées que la converigericé sèfà rapide : ces valeurs seroient entièrement exactes si Toq avoit v'^,=o , puisqu'alors chacune des séries qui les forment ne renfermeroit qu'un nombre de termes limité.
L'équation A^^=o développée y revenant à
^v'^>,+*v'~'^,^.,+cv'">,4^....+?v'''y,4^=o,
appartient à uqe série récurrente dont le terme général seroit exprimé par v'^y^ ( n"*. 983 ) ^ ce qui fait voir que là formule d'interpolation obtenue ci-dessus , donnera l'expression du terme général de toutes les séries qui , par des combinaisons d'un hothbre m de termes^ effectuées d'après Ifes formules vj,, v>,f ëtc èônduîiroiit enfin à une série récurrente.
Si l'on avoit simplement vy^^=o y ou
on en conclurent
TIRÉE DES Fonctions génératrices, iic
en changeait x en n ; et faisant :r=o dans la valeur .de ^^^ ^ \\ en résuiteroit
Cette dernière expression offre Fînt^tale cosiplète de réquatîcn aux différences posée pr^cédemmc^nt^ y^^ ^, , y%*^*Sym^x ^ ^^^^ ^^^ constantes arbitraires.
Si Ton se proposoit Téquation v*j,= o, la formule générale donneroit pour ce cas un -résultat dans lequel entreroient comme arbîtraÎKes , les quantités y^ , vy^ , jk. , vy, . . . .y^., , Ay,^, : leur nombre est égal à i/n , parce que l'équation vy,=p ^içonte à Toi^dre marqué par %m ; car son développement est
n en seroit de même des équations pli^j.éleyjées v^y^r=PQ > v^yar^P %. etc.
1040. On paryiendroit encore Rir les formules .p!;écé4entes à. l'intégrale de réquation v">,:è-.Jr,3=p , daqs laquelle ^, désigne une fonction quelconque de ^ ^ ep faisant >;,=y,.+ y\^ La fonction génératrice 2f deviendra dans. c^tte hypothèse ii=i/'rf«'» 1^ tiu' i:c- ^
présentant les fonctions génératrices de^'^ et de^^^ ; supposons que aY=N ^ que -y,^;j spit le.coeficient de f^ dans le développei^ent de A, nous aurons ( n^ 1034 ) J5r,^„=v V^+» ; . mais
et le coefficient de z*^, dans le développement de celte fonction ^ sera évidemment le même que celui de fl***-"' dans celui de
Rr i
+c{«y^ Th^j^x+î +'y?+t\- • V • +«>'•:»«+. ) ,r "^*
H6 Ch. II. Théorie des suitms^
coefEcUnt qui , d*aprè$ le n'. précéd. sera désigne par 2r,, , ,^^ ^;
Il suit de là que y\ , coefficient de t"^ dans u\ ou dans -7 , sera
'4rH-n
— j»M^#— t J o + '^ac-HW— 1^«— I f i« • • +-^o^f— I >
et reviendra par conséquent à s JT^^^^^^^,. , en prenant Tintégralc depuis r=o, jusqu'à r=j;+/ï— /wj; maintenant si Ton écrit dans l'expression générale de y^^^ du n% précédent , y'^^^ , puis qu'on fasse x=o , et qu'on mette pour y\ sa valeur SAT^^, , ,
Cette série s'arrêtera toutes les fois qu'on aura v'j',^=o,' ou vy»+ v^y^^s^o , ou enfin vy,^+X»=o: elle donnera alors l'intégrale de cette dernière équation; et les quantités y^^ vj^.,.\.ji» Ay^ y... tic. tiendront lieu des constantes arbitraires.
* 1041. Tout ce qui précède repose sur le développement en série
de la fonction j;; ( n*. 109 ), recherche qui renferme implicitement
celle du terme général d'une suite récurrente , c'est pourquoi nous allons nous en occuper en «détail. Nous prendrons y au lieu de la
fraction — , la fraction — , i7 et f' étant des fonctions rationnelles
et entières de ^^Tune du degré 5 — 1, l'autre du degré s. Sup-
TIREE DES Fonctions gék ératrices. 317
posant que /^= Q(^— «).% nous aurons, par le n*. 369,
T ~ {x^ay^ {x-^af'^ {x^ay--^ *• ' ^ x—a "*" Q ' et les constantes A^ A^^... .A^^j^ , seront données par les équations
i.iJx^ Q
«/ et 1^ étant ce que deviennent Ï7 et Q , lorsqu'on y change x en ^ j et il faut observer aussi de faire la même substitution dans
'A Le coefficient de x\ dans le développement de - — -. — ^ , ordonné
{x — ay
suivant les puissances positives de :c^ sera
i.i.^....r tf""*"' '
^ A dans celui de t ^r— 7 sera
dans celui de ; ^r- — sera
etc.
en réunissant ces diverses parties , et faisant usage de la notatitm
31 8 Ch. IJ. T h é o Ri e des suites ^
du n^ 902, il viendra
Mettant pour les numérateurs A y A^^ ^n^x 9 leurs valeurs j
on aura
; —■ "i^^'^ -qI'
que Ton peut écrire ainsi :
II— 1 II— a *— j
en observant , pour le premier terme , que
pour le second , que
ioJn^r^x\\p\^'^ ■» t-^^ ^J =p[o3[/^i]^ ^^, ■'=[o3[«-i][/x+r-2] [o],
et de même des termes suivans. Cda posé y pjûsque
«f-Ti
*= — ;ï7-^===±5 jtt;^""' . ^-TjT" , il est visible que le développement çi- dessus revient à
T-irfi I V -
^mm^mmm.^mmmmÊÊim'^^m^mt^^mi^m^bau
■tei^^Ma
TIRÉE t)Èi Fonctions ùénèratrices. 319
pourvu qu'apfès les dHFérerttiattons on change x en d. Voilà donc une expression fort simple du coefficient de x' dans la partie du
développement — , qui résulte du facteur (a:— tf)* de son dénominateur. Si Ton suppose que ce dénominateur se décompose dans les facteurs {x — «)% {x — i)% {x — c)\ etc. on obtiendra de semblables expressions pour les parties résultantes des facteurs {x — ^)% {x — c)\ etc. et le terme général du développement de la fraction
rationnelle de *— ^ otdonné suivant les puissances positives At x^
sera par conséquent
^•.101 .■ ■ J~ ' - * ■ ■*■■ fil ■■■ .1 <, fc
^^dx'-' x'^'^x—ayix^^y
etc. ^ -
pourvu qu'après les différentiations on substitue , au lieu de x, a dans la première ligne ^ t dans la seconde 9 c dans la troisième, etc.
Quand même les quantités a, 1 9 c^ etc. seroient imaginaires ^ on ti'en parviendroit pas moins au terme général demandé : il con« tiendroit à la vérité des expressions imaginaires ; mais on l'en débarrasser oit en combinant convenablement les termes fonrnts par un m&me couple de facteurs iftiâginabres.
1041. En appliquant ce qui précède à la fonction
du n"*. 1039 1 il faut supposer que
a9'"+i9«--' + cfl'"-. . . . +pa+i=za{B—A)(ê—liXé—y) , etc. et prenant
F=fl'(«— »)'(»— ia)^»— 9-)' etc. *
3io Ch. il Théorie des suites^
le coefficient de •% où Z,.or aura pour expression
r+'(«— .t)'(#— i8)',etc.
+ etc.
en observant de faire ^ après la dlfférentiation , i=et dans la première ligne ^ t=i3 dans la seconde, i=> dans la troisième , et ainsi de suite.
1043. La méthode que nous Tenons d'exposer, pour parvenir au terme général d'une suite récurrente , exige la décomposition du dénominateur de la fraction génératrice , en facteurs , décomposition qui dépend de la résolution des équations. Lagrange en a donné une qui ne présente point cette difficulté et qui conduit immédiatement au terme général de la série engendrée par le développement d'une fraction rationnelle quelconque , la voici ;
Si l'on fait pour abréger
4(jc)= 5, + 5.af + 5.Ar*+ 5,r* + etc.
les seconds membres de ces équations étant terminés » la fraction
3^^ pourra représenter une fraction rationnelle quelconque.
En la développant d'abord suivant les puissances de 4(^)> ^^ trouve
u^x {u^xy ^ {u—xy
et pour arriver au dernier développement il faut obtenir en particulier celui de chacune des fractions
, etc.
u^x ' {u^xy * («— x)'
On peut les tirer de I4 formule du binôme ; mais on les dérive
successivement
TIRÉE DE» Fonctions oènêaa trices\ }1i
successivement les. unes des autres, en observant que
dx " u — X (u — xy •'•
xdx^
zu"
xià
-+ etc.
lu
// — X (ji^-^xy
«— yr i.?ï** 2.3«^
a.3tt
X « 3 dx^ ^^— a: («— y)
etc.
Cela posé, la fraction -^-^ fournira dans le terme général la partie
i^ï I A» uï||Ak ^9^X^
qui s'arrête au terme divisé par la première puissance de 0 ; cette partie étant réduite au même dénominateur , devient
et revient par conséquent a — ^ :x^^ pourvu que l'on borne le développement aux termes dans lesquels u est affecté d'un exposant négatif. Cette conséquence subsisteroit encore quand on écriroit p(u)'^{u) y au lieu de ^{u)^ puisque ce produit est de la même forme que p{u)i ainsi le terme général du développement, de
■ ^ ^ ^ ^ seroit encore exprime par „ , , ■ x^, dans les mêmes
conditions que ci-dessus.
Si maintenant on différentie par rapport à u , l'expression ^ {|j]^ ■ ,
on aura le coefficient de a?" dans la différentielle de la fpnction
-T TT'du : il est donc évident que —
{û^xy
^ppmdicc^
du
yKîOW ^ i^
Ss
^11 C H. IL Théorie des suites,
coefficient de at" dans le développement de la fonction ; ,
{u—xy
en observant toujours de ne prendre que les termes dans lesquels u
a un exposant négatif.
Par les mêmes raisons , le coefficient de Ar% dans le développement
de - — ' , seroit \^^ ; et diflFérentiant deux fois par rap-
port à u , chacune de ces fonctions,^ le résultat fourni par la seconde donnera le coefficient de at" dans le développement de celui qu'on tire de la première: en effectuant le calcul , on trouvera
et divisant par x ^ on en conclura que Tassemblage des termes de
I ^faHc^y
l'expression --r-^d^ \2^^ > dans lesquels « a un exposant négatif , forme le coefficient de x"" dans le développement de
On prouveroit de la ihême manière que le coefficient de :t% dans le développement de la fonction — ^ ■ f; ■ est
et ainsi de suite , en sorte que le terme général du dé vêloppemeat de \, . sera
en se bornant aux termes oîi l'exposant de u est négatif. Il est visible que les différentielles successives de cette ex^presston \
relatives à i/, correspondent à celles de la fonction , ., ;>
TIRÉE DES FaN CTIONS GÈNÈfiATRÎCES. %1\
prises dans la même hypothèse ; et Ton en déduit par conséquent par de simples dîfFérentiations ^ le coefficient de a:*^ dans les dévelop* pemens des fonctions
<^) , <') . H^) etc.
1044. Nous allons appliquer cette formule à la fraction
P+Qx
donnons- lui la forme
I— i:»5rcos«-Hx*
2COStf
P+Qx
2COS» XCOS»
nous aurons
p(x)^P+Qx, 4(^)=— — -, uz= ,
2 CQS » 2 COS 0»
d*oii nous déduirons
4C«) = -i^, 4(«y=.JîL^, 4(«)3^^îL-, etc. 2cosi» ^ ^ 4C0S»* ^ , 8cos«*
