C0$» 2COS
//""*■* 4 cos «*' 4 cos »•
etc.
f»assant aux coefficiens différentiels , pour les substituer dans la formule générale que nous diviserons par 2 cos m , nous obtiendrons
l2COS« (2C0S»)* 2(2COS«)^ * /
^^Ucos« (xcos»)* ^ i(acos«)» J*
Ss 1
3^4 Cik. II. Théôriedes suites^
mettant au lieu de u sa valeur '- • nous parviendrons à
icos»
P {(z cos «)• - .fc:li(i cos «)-+(f=^fcL*i ( 1 cos« r<
.jp« ricos«r '+ etc. } •
expression qui ne doit point contenir de puissances négatives de cos t»^ ^ puisque la précédente ne devoit point contenir de puissances positives de u. On la simplifie beaucoup en la comparant avec la formule
sîn;2î=sinî {i»-"cosî-'— Î^^i»'-^cosî"-^+ (n— 3)(/2— 4) ^«-.s^Qg^-s^ ^ ^
^ — 3Zi Ul i^«-7cosf-^+ etc. },,
i.i,3 obtenue dans le n% 9S5 ; car on voit alors que la série qui mul«
tiplie P n est autre chose que le développement de : — , et
'^ • sm»
« • f XV r 1 \ sinn« que celle qui multiplie Q repond à — 1 : on a donc pour le
terme général du développement de la fraction 77*7" f
cette expression très-simple
l sm« sin» )
qu'Euler a donnée le premier dans son introduction à l'analyse de ' l'infini.
La formule générale s'applique également aux fractions
P^Qx P+Qx
(i -rinces» +x*)* ' (i — xxcos*»+x*y on trouvera pour la première ^
+ etc.
\ ICOb» (iCOb»)* 2(C0S«)^ V
f H«-- in-i)(a-.i)u-' . («-4)(.--3)(;,-i>--^- 1
^l 2COSI0 (XC0S«)' 2(2C0S«/ J
7IRÈE VMS Fonctions génératrices. }i$
et mettant pour u sa valeur — — -, il viendra />{(;,+ ,)( 1 cos •)'+•'—(»— I )«( icos - )"-'
i — -î^-i iii '{ 1 cos «y ♦ — etc. } ,
en observant de ne faire entrer dans cette expression aucune des puissances négatives de cos ».
Nous ne pousserons pas plus loin les applications de la formule du n% précéd. nous observerons qu'elle J^xige le développement des puissances de U fonction
4( ^) =2?o+ B,x + B^x^+ B^x^+ etc.
lequel donnera lui-même celui de la fraction rationnelle
en la mettant sous la forme
nous avons trouvé dans le n"". 98^ les équations, d*après lesquelles on peut calculer successivement les coefficiens des diverses puissances de ;c , dans le développement de la formule
(J+Bx+Cx^+Dx^+etcy;
mais ^our en* rendre l'application plus facile, il aùroit fallu donner l'expression immédiate de ses coefficiens : tel a été l'objet récent des travaux de plusieurs analystes Allemands, MM. Hindenburg, Pfa£^ Maurice de Prasse 9 dont nous avons cité les ouvrages dans la table. L'exposition de leurs recherches nous entraîneroit trop loin ; il nous suffira de dire qu'elles reposent sur le Calcul des combinaisons , appliqué aux indices qui marquent le rang de chaque coefficient y Calcul dont Léibnitz avoit prévu l'utilité ^ et dont il a donné un essai dans les jicta cruditorum de l'année 1700 , à la fin d'une réponse à quelques
^i6 Ch.IL T h e 0 r m ve s s V I t e si
imputations de Fatio de Duitliex ( voyez aussi st% œuvres^ tome III , page 365).
1045. Reprenons le Calcul des Fonctions génératrices. Laplace
donne encore au développement de — ' une nouvelle forme qui le
conduit à une formule d'interpolation dépendante a la fois des diffé« rences et des fonctions désignées par la caractéristique v ; mais forcés par l'abondance des matières d'omettre plusieurs détails intéressans , nous renvoyons pour ceux-ci au Mémoire même d'oii ce qui précède est tiré ^ et nous allons passer à l'usage des fonctions génératrices dans la transformation des suites* .
Toute suite n'étant autre chose qu'un développement de la fohc« tîon sy, prise depuis :r=o, jusqu'à x infini , il est évident ^ne les diverses manières d'exprimer ce développeaient fourniront des suites équivalentes , ou des transformées de la même suite. Soit la suite
y.-^yy +y.* • • • +J^^+^x^.i + etc.
et faisons
« =i^.+yi'+j^.^- • • • +y,«'+^r+i^'+ etc. il suit du n''. 10369 que le coefficient de f^ dans la fonction
u , exprimera la somme des termes delà suite proposée depuis j^^
t inclusivement \ jusqu'à l'infini. En multipliant les deux termes de
cette fraction par
h c t tf+*+^+^+ etc.... — (tfH — 1--+;3+ etc.),
j)n rend le numérateur divisible par i , et il se change ea
'* + c + « + etc.
+ 1 ( c + e + etc. ) + -^ ( * + etc. ) + etc. r '
puis posant
a + A + c + ^ + etc. = K
TIRÉE DES FoifCTJON$ GÉNÉRATRICES. 327
«0; aura ,
t+c+e+etc.+-(c.+ € -f etc.)+ -;(«+etc.)+ etc.
équation dont le second membre développé par rapport à { prend cette forme ,, , . ,. , .; : ,:• .j ,,,..,.,
^+c+«+ etc.
\+-(c+e-j- etc.)
t+-^(«+etçO
+ etc ' " '■* f
mais le coefficient de /* dans -yitatA égal k^%4^ ( n\ 1034 ), le même coefficient dans le développement fie la &>rflKile ci-dessus^ sera
(*+c+«^ej^.)[^+^+T^+-^+etc.} ;+ (c4-c+etc,}[^+^'+:^+^%:^+etc.}
+ (.+ etc.)[-^+r^ +-K^+-K^ + ""'•]
■+ etc.
Cette nouvelle série équivalente à la proposée , depuis ^, Jusqu'à rinfiaL^.4ieyiendf4 coairqrgwte siles 45uanjLiiés vy, , v>, , etc. ypnt en décioissant ; elle s'arrêtera mêo^e si l'on a v'j^«=o> et donnera alors ta somme de& sukes récurrentes. Ea faisant jk-=o > on transr formeroic la série proposée à partir de son origine^
En général y si i représente une fonction quelconque de -^
et que Ton désigne par vy],, ^*JK*> ^V*> ^^c. les coefficiens de r* dans «î>^î% tt{% etc. . offf" par viendra à ordonner^ suivant les
puissances de î^ le développement de —, en multipliant les
3 18 C H. I L T H Ê o RI E n E s's u it e s i
deux termes de cette fraction par K — [ , K étant une quantité égale à ce que deriênt i lorsque t^^i y afin que K — i soit divisible par
