I . Représentons par
le quotient de la division « et nous aurons
+ etc. 1^
et passant des fonctions génératrice;, aux coeffidens ) suivant la con-, vention établie ci-dessus , nous obtiendrons
Σî±i+0:îiî+i2:^ + etc.
"+ etc.
Pour avoir toute la série , c*est-à-dire ; Tintégrale S^, ; prise depuis jrz=:Q ^ jusqu'à x infini , il faut fairç dans la formule cidessus x=o»
1046. Je ne puis quitter ce sujets sans faire connoître une trans*^ formation purement algébrique et fort simple > qu'Euler a employée avec succès dans son Calcul différentiel ; elle consiste à faire dans
la série
S^ax+bx*+cx^+dx^+çx^+ etc
xr=;^ 7317 • E» prenant le signe + , on a
x^y-^y^ y— y+ ./— y+€tç.
^•==y— ly-h 3/— 4)^+ 5/— 6y'+etc.
;r*=y— .jy^+ éy*— I0y''+ 15^^— lî/ + etc.
x*=^— 4y«+ioy— ?.qy'+35/— 56^+ etc.
etCf
d'oii
TIRÉE DES Fonctions génératrices. 329
d'oh l'on déduit
y — etc.
Les coefficiens des puissances de y dans cette série 9 sont les différences du premier terme a de la série
^+^+c+i/+^+ etc.
qu'on obtient en faisant :r=i dans la proposée; et Toa conclut
de là que
f =z=tf^+Atf.^*+AV.y-hA^tf.j^+ etc.
Cette dernière série sera convergente lorsque les différences de termes de la première iront en décroissant.
Lorsqu'on fait x^sz-^ — , on a y= , et la série ci-dessus
devient
X JC* x^ x^
Sssa hAtf. -.-i-A^tf.; TT+A^a.' ri + ctç,
^érie équivalente à la proposée.
Quand la série a+b+c+d+e+ etc. a des différences constantes i on obtient exactement la somme S. Si Ton avoit, par exemple ^
4x+ii^x*+40x^+S^x^+i^6^+i^^x^+ etc.
on trouveroit^ en prenant les différences des coefEcieqs numériques ,
11=4 y Atfszs 11^ A^az=zlJ^ 9 A^tf =6 , A^tf =0 ^ etc.
ce qui donneroit
jLX lïX* XAX^ 6x^
Non- seulement on arrive de cette manière à la limite de la série proposée ^ ou à sa fonction génératrice , mais on obtient encore la somme d'un nombre quelconque de sts termes. En etkt ^ la série proposée étant S=ax+bx^ + cx^+dx^. . . . +px'^' + qx^^+rx^^+s:^^^+ etc. Apptndiu. . Tt
330 Ch. IL T M EO RI s DES SUITES^
on aura
/^:ir""*'* + ya?'^+rx"+' + 5â?**"^+ etc.
= xr{p. + àp.-^ -; + L^p.^ r3+ «te. } ,
I— a? (i — xy '^ (i — xy
et en retranchant cette partie de Texpresslon totale de 5 , il viendra pour la somme des termes , depuis le premier , jusquà celui qui est multiplié par x^^ inclusivement ^
Avec un peu d'attention on reconnoît facilement que la série
transformée n'est convergente par elle-même que dans un très<^petit nombre de cas , lorsque les différences i^a , ù^a y à? a ^ etc. ne dé* croissent pas très-rapidement \ mus si Von donne à x le signe -^ , la série proposée et la transformée deviendront respectivement
Sc=tfji:^*x* + ^ap^— ^«♦+ex^— etc.
X JC* X^ X
S=a A a + A^tf ; r;— ^'^ 7 Ti + «^C
en changeant le signe de chaque terme; et la seconde sçra convergente lorsqu'on y supposera :r=i et x<^i : le premier de ces cas mérite une attention particulière.
1047. On a, quand x:=^iy
5= a — b + c — rf+^— etc.
5 = ^tf— iAtf +^aV— -^A^tf + etc.
et par ces formules on trouve les limites d'un grand nombre de séries divergentes.
Si Ton propose , par exemple ,
I — i + i — 1+ I — i+etc.
I — z+3 — 4+ 5 — 6+ etc.
' ' I — 4-4-9—- 16 + 2-5 — 36+ etc.
^ etc.
On trouve pour la première série, tf==i , Atf=o, A*tf=o , etc. et par conséquent *$' = 7, comme on l'a vu dans le n"*. 6 de l'Introduction; pour la deuxième série tf=i, vtf=i^ <$^=iî pour la troisième «=1 , Aa=3 , a*<13kx , Szzo^ etc.
TIRÉE DES Fonctions génératrices. 331
On arrîveroit encore à la limite cherchée ^ si la série transformée étoit de celles que Ton sait sommer ; mais , sans nous anêter à ces exemples , passons à la série excessivement divergente ,
i — i, 1+1.1.3 — 1.1.3. 4+ 1.1.3. 4. 5 — ^*^* Pour obtenir les différences du premier terme ^ on formera la table
suivante.
termes.
etc.
dlffér. 1
différ.
difiSr. 3*.
On aura y d'après ce tableau ,
64 "*" iz8
1908994 IX
+ etc.
série un peu moins divergente que la proposée* Réunissons les deux premiers termes et représentons le reste par S\ nous aurons
^ = 1+5' et ^'=1-11+11-5^+ etc.
en transformant la série 5', comme nous avons fait la proposée , nous en diminuerons la divergence , xar nous trouverons
lO
fto
aa
+ etc.
Les deux premiers termes de cette série ^ réduits à un seul , donnent
iS'== — + «S^', en désignant par 5'' l'assemblage de tous les autres ;
Tt %
33^ Ck. II. Théorie DES s [/iTESj .
et transformant encore la série S% il viendra
+ etc.
Réunissant dans cette dernière les quatre premiers termes , et désignant le reste par S"^, nous aurons
M3 843 ^, ^'==1HL iff:!l+ etc.
et si l'on s'arrête après les quatre premiers termes de S"', on aura
S"= '^^^^ — y? , d'oii l'on conclura 5 = 0,40081038,
résultat qui n^est encore exact que dans les deux premiers chiffres décimaux , à cause de l'extrême divergence de la série proposée. Nous donnerons dans la suite un moyen plus expéditif pour parvenir au nombre 0,4036524077 , exact jusqu'au dernier chiffre.
1048. La transformation qui nous occupe étant appliquée aux séries i — r + f — i + f — T + e^c.
ï— T + T— ? + ?— rr+etc.
dont la première exprime le logarithme népérien de 2 , et la seconde la longueur de la huitième partie de la circonférence du cercle ( Int. n*»*. 26 et 38 ) , conduit à des résultats fort élégans. En prenant les différences des termes de la première^ on trouve
dm. 2*, + y , + 2-3.4 f "^" TTT 9 + 4^"^ > ^^^*
JklûC ^c ti ^^ ■ a • 3 ft ■ 3 ^*^
GIIT. 3 , "^14* '■~Tr5«4~T> "^ "F4 • j"^ > ^^^'^
dlfF. 4% + f , etc.
etc.
et l'on en conclut
•^=^a + r^ + T^+ 4777 + T^ + ^^^* On obtient pour la seconde série ,
Qin. 1 ,— ,.j , 3., y ï.7> 7-9» 9T7 '^'^^
difF.3% +-^^, +-jHV, +i^, +?^-^,etc.
Glir, 3 ^ — TTTTjTf > — 3S-7-9 > ®^^*
TIREE DES FaSCTIQNS GÉNÉRATRICES. 33}
ce qui donne .
ou X5=I + I + i^ + 1^^ + i^iL^ +CtC.
La même méthode donne facilement la limite de la série
11 — l3-j.l4 lç + 16 — I7 + I8— 19 + etc.
parce que les différences des logarithmes consécutifs vont en décroissant; mais pour abréger l'opération, il faut former immé* 'diatement la valeur du résultat des neuf premiers termes de cette série , valeur qu'on trouve égale à — 0,391 1005. Nous supprimerons le détail dn reste du calcul qui n'offre aucune difficulté , et nous dirons seulement qu'Euler a trouvé pour résultat 0,4891606 ; la difiérence de ce nombre avec le précédent est 0,0980601 , et, comme logarithme | répond au nombre 1,253315 : telle est la limite de la série proposée.
1049. ^^^ théorèmes des n"". 864, 873, 913, 914 et 915 se déduisent avec la plus grande facilité de la Théorie des fonctions génératrices.
Il est visible que
on tire de là
les coefficiens de ^, dans le développement des termes
• ■ • fournis par le second membre , seront respectivement^
^Js y A% f A^y. , etc.
et par conséquent on obtiendra le coefficient de t^ dans le développement de ce membre, en développant la quantité
{ ( 1 + Aj^,)- — I }", pourvu qu'on applique à la* caractéristique a les exposans des puissances de ày^ ( n\ 1035 )• ^^*^ ^'"** *"*^^
côté, le coefficient de r', dans le développement de — -^u, est égal
etc.
334 C H. IL Théorie d m s suites^
à yx+n — yx 9 désignant cette nouvelle' espèce de différence par la caractéristique a.^, , les cùefl&cîens de r*, dans le déveiQppement des fonctions ^
seront respectivement
^>,* ^'y,» a"^,, etc.
et nous conclurons de là que
A'>.= { ( I + Aj', )•— I } " (i);
cette formule rentre dans celle du n**. 873 , lorsqu'on y fait w=ï et qu'on change n en h\ et dans celle du n*. 864 ^ quand ns? i y m demeurant quelconque.
Si ta caractéristique jf représente llntégrale relative aux différences marquées par a', dans lesquelles x varie de la quantité n , les considérations du n^. 1036, appliquées à ce cas, feront voir que Ç'"y, est le coefficient de r* dans le développeinent de la fonction
— -^ I J , abstraction faite tles constantes arbitraires introduites
par rintégration; et comme on a
on en conclura de même que ct*dessus y
. mais il faudra observer de changer les puissances négatives de Ay^ ; en termes de la forme xy^ » ty^ ^ etc. parce que le coefficient de $%
dans le développement àtu( i ^ est ty, { n% 1036 ) : avec
cette attention l'équation que ^us venons d'obtenir comprend celles dçs n***. 913, 914 et 915,
Si Ton change ;c en — » ^^ quantité^ x' variera de k , lorsque ,x
. variera de Tunité y et nk sera la variation de ^'y relativement à la caractéristique ùfy ç'estr à-dire ^ que x^ deviendra x'+k dans Ay,^,
TIREE DES Fonctions oÈNéRATRiCES. 335
et x^-^-nk dans ^'j^^r/î il ^st visible que les équatio;îS (i) et (i) subsisteront encore dans cette hypothèse: nous pouvons donc les. regarder comme ayant lieu lorsque x devient *- + A: , par rapport à la caractéristique A ^ pourvu que nous supposions qu'il se change tti X'\'nk par rapport à la caractéristique ù!. Si nous concevons maintenant que k représente une quantité infiniment petite, ou l'accroissement dx^ et que n soit infiniment grand j nous pourrons écrire ndxz^tt^ a désignant une quantité finie ^ et changer a^^ en dy^i mais les équations (i) et (z) devenant alors
{ii^dy,y—iy
doivent être ramenées à Thomogénéité conformément aux loix du Calcul diflFérentiel. Pour y parvenir , il suffit de remarquer que .
en ne prenant que le premier terme de la série, on obtient /2^y^,
dy dy
quantité équivalente ^ ndx -j^ ^ ou à a —^ j et l'équation
l(i+^J^x)"=«-^ conduit à (i + ^^)"=« *^*, en supprimant
pour plus de simplicité l'indice de^, que l'on peut sous*entendre facilement dans ce cas* Par le moyen de cette valeur , on a
A'-> = (e*^-ir (3),
en observant de transporter à la caractéristique d^ le^ exposans de dy , et de changer les puissances négatives en intégrales^ Ces équations sont les mêmes que celles du n"", 915. ^
Considérons Taccroissement n comme infiniûient petit , ou comni« dx , a'"jk, se changera en «/"y , . s-'y, ea •r-zry<i'^t «^ (i + Ay,)*
33<î Ch. II. T H È 0 R I E D ES S II I TE Sy
dx dxXii-^-Ay)
en (i + A^) = ^ , en écrivant dx pour n. Le développe-
ment de cette expression est T + </:tl(i+A^)+ etc. substituant dan$ leç équations (i) et (z), elles donnent
^={l(i + Ay)}* (5)
équations semblables à celles des n"^. 867 et 915.
La route qui vient de nous conduire à ces formules a l'avantage de aous découvrir -la cause de l'analogie des puissances avec les différences et les intégrales , puisqu'elle nous montre que les fonctions génératrices des différences de y^ ^ sont les produits de la Ibnction m
par les puissances positives de la quantité - -«* i ^ tandis que celles
des intégrales sont le$ produit; de h par Içs pui$sances négatives de la même quantité,
10^0. Laplace a obtenu , ainsi qu'il suit , pour les séries de la fofme ,
yo+y^^ ^+^a«'^ +ys^'^+ etc.
des formules analogues à celles du n"". précédent. En nommant u Ix somme de cette $uice , ou I9 fonction génératrice de y^a', on 9 l'équation identique.
et d'aprè$ le n^. précédent , le coefficient de r^^ dans la fonction ^( — -^i) .sera égal à A"*.«*j^,, en supposant que x varie de
la quantité n. Mais le coefficient de la puis^nce de r dans le développement de u f xj est a'^'y^^ » ainsi qu'il est facile de
s'en convaincre^ en observant que le coefficient de r* dans u( — '^^}
ou ^^« est •^-■-^^-p-tf'j^,= tf'(^,+.--j^,^ ac •a
et continuant ainsi de proche ça proche. Si donc on développe
suivant les puissances de — — 1 , le second membre de l'équation
identique
TIRER DES Fonctions génératrices. 337
identique posée plus haut , on pourra ^ dans le passage des fonctions
génératrices aux coefficiens, remplacer les puissances de 1 par
celles de Ly^ , multipliées par le facteur commun a'^ et transporter après le développement 9 les exposans des puissances de Ly^ à la caractéristique a. Avec cette attention , on aura Téquation
A'-.a'^,=ra'{a-(i + A>J«-.i}" (7)î
puis en écrivant — m^ zm lieu de ^tz , on aura encore , comme dans le n"". précédent ,
Si l'on substitue r x' à x y et qu'on désigne par y ce que devient
alors y > la différence de x' sera - : en supposant r infini ^ cette
différence se changera en'^^'j on aura Ay^'=^dy' \ on fera ensuite «'=/', pour obtenir a*=/>^' et a'y,-=^p*'y. Maintenant si
l'on prend n infiniment grand ^ et qu'on pose - =3 « , la quantité ce.
pourra être finie ; et exprimer le changement qu'éprouve x\ lorsque^ devient x-^-n^ d'où il résulte que ^'"'./^•y, ^'^.p^y^ désignent pour l'ordre m la différence et l'intégrale de la fonction p''y'y lorsque x' se change en :r'+«. Remplaçant^ dans les équations (7) et (8) , ày, par dy'^ il viendra
• < if » - D
et ramenant la quantité (i+^J'O* ^ l'homogénéité » comme dans le n*. précédent 9 on aura (i+^y)"=« ^, d'où il suit
A'-./^'y=/>n/^*/^*-ir (9)
Jppmdicté V V
33^ ^^* l^* Th É O RI E DES SUITES j
Si y dans les éqqations (7) et (8) , Ton suppose n infitûment petit , c'esf-à-dire , qu'on y substitue dx ^ A^'^Ja^y^ se changera en
d^^ay^f et ^"*.ay^ en ^^J^ayjx'*, et puisque
-»"(i + ^>^xr=i'+^*{l^(T + AyJ} ( n\ précéd. ), on en conclura
Telles sont les formules que nous avons annoncées dans le n?» 913 , où nous avons donné , d'après Euler , un cas particulier de celle qui est désignée par (10). Outre ces théorèmes intéressans , parmi lesquels ceux qui sont désignés par (7), (8) , {9) , (10) , (11) et (11), lui appartiennent 9 Laplace a de plus donné dans son Mémoire, un moyen pour en trouver une infinité d'autres du même genre.
Des foncrion» j^j^ ^ ^^^ fonction de deux variables / et /, dont k
de deux vanw)lcs. ' • ^ »
développement ait la forme
.+y. » .'' +y, » .«' +^. ) .**''• • +y»-.. » t^~y + etc.
.+J'.».'"+J'.».«" +^i-.,.«'"V' + etc.
+yo » /' • +^i»-î » i«"" V' + etc.
+yc,,i^* +etc.
ymiJ désignant le coefficient de /V, aura u pour fonction génératrice. Si l'on représehte patr A^,\, »# la diflPérence de la fonction y^j^U prise seulement par rapport à la variable x ^ la fonction génératrice
de cette différence sera «/- — Mi celle de à^symi^i sera de même
u^-i-— i\ Il est ÊicUe de conclure de là que la fonction génératrice de A,à,^y,y ^ , ou de a J J^„, est «( ^ — i) (-i- — i) ,' .
et qu'en général celle de a ^ y^f^é sera '^ C""— ') ("Z"" 'y •
TIRÉE DES Fonctions gèneeatrices. 339 Dans le cas actuel , l'expression vy,,;; sera le symbole d'une ^antité de la forme
+^>.„+, +C"y^„.^.+ etc.
•l'expression v^,;,;; celui d'une quantité composée en vy^^T, • comme la précédente Test en y^,,,, et ainsi de suite; la fonction génératrice de l'expression générale v">,,,/sera visiblement de la
forme
^ + ++etc.
+ etc.
en sorte que
• , »'M+ h tic.
+— T + etc*
