A+II

sera la fonction génératrice de A v*y

^, sera Ky^^^^^f^' ; et il s'ensuit que le coefficient de r*/*'

Cela posé , lorsque s désignera une fonction Ats quantités - et -y^

et que son développement , suivant les puissances de ces quantités ,

K aura un terme général de la forme -pp^ le coefficient de ft" dans

dans u^ y sera v'ix, > j^ , si 5 a la forme convenable. On voit par là que v'^y^^m, s'obtiendra en écrivant dans Z*,^, au lieu de -, y,, au

lieu de — ^ et en développant le résultat suivant les puissances dey^ et

de/,/, puis changeant les l^xoAvàisKiyJfiy^y en Xy^+r^ ^m-,. ;

Vv 1

340 Ch. il Théorie des suit es j

bien entendu qu'un terme tout constant K, équivalent à ^(j^x)*Cy,.)% doit être remplacé par Ky,\ ,^,

Pour introduire dans le calcul les différences de y, ; -^ ', il faut développer 5"" suivant les puissances des quantités - — i • -7 12 •

un terme quelconque du résultat , étant désigné par

kQ- — i) ^-7 — ï) et multiplié par «, ou iSr«^-— i\ ÇL^^A ^

donnera lieu à un développement dans lequel le coefficient rV" sera exprimé par 2Sl A ,y„,,. U suit de là que la quantité v>,,,,

se formera dans ce cas en substituant a^,,^; au lieu de i ^

et à^,yij^, au lieu de --^ 1, dans 5, et développant alors i"

suivant les puissances de A,y,,,:, ^x/»y*>*M puîs en transportant à la caractéristique a les exposans de ces puissances ^ «t mettant ainsi

a'^'v,,^,, à la place tle (a,>'„,/)'(a,.j^,,„)"-

Si Ton désigne par x ^y, , ,, l'intégrale du coefficient y^ ; ,; j; prise

un nombre r de fois par rapport à x seul , et un nombre / de fois par rapport à x' seul» et que Ton représente par i la fonction gênératrice de cette intégrale , celle de la différence ^y^ , ,, , sera d'après ce

qu'on vient de voir, [( i J T-; r J , et l'on aura par conséquent

, ( 1 - ,y(-L J ,)"== „ , d'oà ,= — ? —

connoissant ainsi la fonction génératrice de £ ^y^^si y ^^ ^^^^ ^^^

intéjgrale en passant des fonctions génératrices aux coefficiens. Nous observerons qu'à cause des quantités arbitraires qu'elle doit comporter , il faut écrire

/ I \V I v'*^ abc ^ q

TIREE DES Fonctions généra trices. 341

a ^ b , c f...q y étant des fonctions arbitraires de / et a\ b\ c'y. . ./, des fonctions arbitraires de c ; d'o^ l'on conclut

1052. Appliquons maintenant ces principes à l'interpolation des séries à double entrée , recherche qui consistée déterminer l'expression de^,+,^,,'^;^', ou, ce qui revient au même , le coefficient

u /V% dans le développement de la fonction -77^. U est visible

qu'on a Téquation identique

+ etc.

et dans ce développement le coefficient numérique de

K7-0Ct-0«"

a(a-— i)(a— -i). . . . jn—r -f i) «V—i)(»'--a). .«•(«'—/+ 1)

ou [o][/2][o][/2']. Cela posé, le coefficient de ft'^\ dans lé développement de « (1 — i) (^ — i) , étant a ''y, , ,^ , le terme

)4* Ch« il T h â ori e des s V I tes ^

général de Texpression de y,+»,,^,i, sera

[o] [n] [o] [/2'] A j^,„;, formule dont on tire cette série

ys^M *i^n'=jT9si}+ —-^xj^xf^A — — — ^*x y«>./ + c^c.

+ — A^^J'^^H- — — ^ ^.»x.+ etc.

+ ■ . , < à^^y, , „ + etc.

+ etc.

que nous avons déjà obtenue ^ n*. 894 , par d'autres considérations. Qn peut lui donner cette forme

en observant de transporter > comme il a été dit dans le n*. précéda à la caractéristique a , les exposans des puissances de a,^^, ^, , A«^J^x9«iy et d'écrire j^^ 9 ,, » au lieu du premier terme i , que Ton doit regarder comme équivalent à (A,j^,,,,)XA*^*f*i)*-

i053« Proposons-nous maintenant d'ordonner le développement dey,+,^,,,, suivant les quantités vj^^^^oV^j^,,,/ * etc. et prenons en conséquence

B' c jy

•♦••^pr^+^

+-0- + etC'

TIRES DES Fonctions génèratri ces. 34}

B' c ry^' r

Soit fait ^+y+-pr+-prv**-+7;;r=^