W^"^'^+'^/""'>{+etc

+-L(^,<"-'>+A^/'^'>{+etc. )

^ '^- ib-nnrH

et

TIRÉE DES Fonctions gânéhatr/ces. 345

et comme lé symbole vy^^i, désigne la quantité

+ etc.

et que le coefEcient de ^/% dans le développement de la fonc-

tion ~-^, est exprimé par v(y,+r,*î+rr ( n*. 105 1 ) , on conclura

de ce qui précède, en passant des coeffidens aux fonctions génératrices , que

My„,i +Nvy,,:i^ +etc.l+-M,j'.,„+,+A^,vy,,„+^+ etc.

>'•+»» «'= ^ +^*y. >./+•+ ^.^y.» «+.+ **«• •^ j ^'.^.+, » .M-. + A^'.yy,+. , .i*.. + etc.

JW

»— I yx'ft 9 */4-»— »

^<"->^..H.-.»- +^ ^""Vx*„-.».i +etc.

,+ JW.C— )y,^„ „+. +iV.C— )yy,,^. „^. + etc.

If ' 111* I I > lit 1

Cette suite s'arrêtera lorsque quelqu'une des quantités vy^j,]\ v*y,„^, etc. sera nulle.

Si l'on prend vy,,,,=o, et que l'on fasse ensuite :c=o dans l'expression précédente dej^,^„,,,, on aura •/

+ ^.yn^^

Apptndiu. , Xx

346 Ch. II. Théorie des s v'i t es ^ -

cette expression s'écrit sous la forme

rintégrale du prediieir terme étant prise depuis r=o , jusqu'à r=/z4B i , afin d'y comprendre la somme des termes depuis r=o , jusqu'à rt=zn ( n"*. 897 ) ; l'intégrale du second terme étant prise depuis r=o , jusqu'à r=/z9 et ainsi de suite; enfin l'int^rale du dernier, depuis r=o , jusqu'à r=:/ï— /n+ i.

L'expression que nous venons d'obtenir pour y^^ , ,, çst évidemment l'intégrale complète de l'équation

"1 ^y» J «'+1 "T ^ J^rt-Hi * */+i ••••••• • •••••••

+cv»,.^

1054. La recherche de cette intégrale se trouve ramenée à celle des coefiiciens M^ M, ,....M\ M\y etc. qui sont précisément

ceux des puissances de -7- dans le développeiïielit des fonctions

* 2^^ »»+. + c Z, , ^«^ + etc.

etc.

ces développemens seront faciles à former dès qu'on connoîtra ceux des quantités ^.,».^t, ^•,»-4n4«> etc. ou en général celui de Z.yrf mais oh trouvera sans peine , par les formules du n% 1041 , que .

etc.

TIRBE VES fo NCTIONS GE K £ RÀTRICE Se }47

et comme a, f^^y, etc. sont les raciaes de réquaûoo

ces quantités seront dans le cas actinel <les fQnj:tioiis de -^. $î Ton fait — . = j , et que Ton difierèntie m fois dé suite , par rapport ïs,