T II

l'expression de Z^.r^ pour en éipminer les quantité -r # Tr> ~t> ^^^*

on parviendra nécessairement à une équation finale du premier degré par rapport à la fonctîoa Z^^ ^Ak$fis coefficient diliénsntiels ; ces quantités y seront multipliées par des fonctions symétriques des racines fit ^ fi, y, etc. et de lei^rs cfifFérences 9 onctions que Ton pourra par conséquent exprimer d'une manière rationnelle au moyen des coefficiens de Téquation a fl"*+ etc..= o ( n\ 1 59 )• Faisant ensuite dispafoître les dénominateurs d^ termes du résuljtat. Us

JZ quantités Z^,,, — T—9 etc. n*auront pour coefficiens que des

fonctions rationneHes de j ou de -^ « c'est-à-dire , que les termes

de l'équation finale seront dé la forme K/* ~rh — • ^^ P^^ * ^^ ^»

désigne le coefficient de /^ dans k développement de Z^,^, le terme >^J deviendra i ( i — i) ( i — jw + 1 ) kJ^^ , en passant

dans — " , en sorte que i{;i-^ i ) ( / — ^ + 1 ) iST a; sera

dy

le coefficient de i"^~^, dans Téquatic^n ^nale , €t .que par conséquent il faudra , pour avoir celui de y dans la' même équation , changer i en i — /w +V , et x,« en à,..^^^ \ on aura donc

(/;»+^)(£— /W + ^i) (f/72+ OiCA;.,,^ ,

pour ce coefficient y le iQ,êq;ie<p2e.c4ltti ^e -^^ Il est visible que si

dëns cette équation différentielle , on remplace les fonctions génératrices par leurs coefficiens j on la transformera en une équation aux différences entre les valeurs successives de a»* , et dont Tint^ration donnera ces valeurs. Par là l'intégration de l'équation vy^^ ,,= o

Xx 1

.348 Ch. II. Théoriedes suites^

est ramenée à celle d'une équation aux différences à deux variables seulement et à une intégrale définie»

Pour donner une idée de l'application des formules précédâtes y supposons qu'on ait l'équation du premier ordre '

Dans cet exemple

i=:Bf £=o>etc.

é'oh

^Or- ^^^,^..- (5y-Ha -

en écrivant 5 ^ au lieu de -^. Différentiant la dernière expression de Z^^ry on trouve

kf— t

ds

et éliminant la fonction — ^ — ^^, — , il vient

ds

{j4+B's)^rB'Z.,^o;

substituant enfin dans cette équation , à la place des fonctions génératrices • les coefficiens de -7- , on obtient

Or la quantité *Z^,»..^,+ ^Z^,m-iM*+ «te. se réduisant à son premier terme ^ donne seulement Mi = Bk. ^ et Ton en conclut

y%^ xi^ ^^^ yc9 «'+r 7

l'intégrale étant prise depuis r=o, jusqu^è f=^n+i. Il faut faire attention en intégrant l'équation , d*oii . dépend a^ j que la coQS<r

tante arbitraire introduite soit telle qu'on ait a^= - — jvHpr^

TIRÉE DES Fonctions génératrices, 349

1055. L'équation vj',,„=o, ou

+-»>„,/+, + C%+, , ./+, + etc.

0==' •+-^>.,x.+. +etc.

correspond à l'équation ^ = o , ou à

+ 7:+ «te.

qu'on obtient en substituant dans la première ^ au lieu des coefficiens

ys9 9j4^î> yx^i9xf^-i9^c»

Vx J x/+a » €*^»

etc.

leurs fonctions génératrices

Zl 8

car il est facile de voir que toute équation du premier degré > qui a lieu entre les coefficiens , doit avoir également lieu entre les fonc* tions génératrices. L'équation ^^^o rentre évidemment dans Téqua-

• tion (1) du n*. 1015, lorsqu'on y change - en «^ et - en i0; et

l'on doit saisir maintenant la liaison des méthodes qui nous ont

350 C H. Ih Th é 0 R I E D E s s U I T£ s i

conduits à Tune et à Tautre: la même correspondance existe i l'égard des fonctions d'une seule variable. Il suit de là que l'intégration de l'équation vy^j^^^^^o^ par la

seconde méthode , revient à déterminer l'expression de - , déve-

loppée suivant les puissances de -; , au moyen de l'équation {=0 ;

or il y a aussi dans cette méthode , comme dans la première , des cas

oïl l'expression de —-.se présente d'abord sous la forme d'une suîtç

infinie. L'équation

tt t t

qui correspond à

est un de ces cas ^ parce que la plus haute puissance de - y est

multipliée par -7. Voici l'artifice qu'employé Laplace pour lever

cette difficulté.

L'équation proposée donne immédiatement

d'où on tire

La dernière de ces expressions étant écrite ainsi

i^^i^i*— *— »^>*<iiwi^— «— !■»— — ^» ■■■■ "» m

fi'^{ ' » - *

TIREE DE^s Fonctions génératiiices^ 351

dlevîent susceptible d'un développement terminé suivant les puis-

sances de -^ — * ; on en tire

.X{a'+-(c + aB)

+ -^^ -{c + a*)* + etc. } ;

faisant pour abréger

etc.

il viendra

35Z Ch. II. Théorie des svites^

1 a b L'équation "T""^""^ ^ = o,

tt! t t '

donnant aussi

I , C + tfA*

" on peut chasser la quantité -7 — ^ ^ du résultat ci-dessus ^ et si on le fait dans les termes affectés de y^{ , Z^'^^.» , etc. on obtiendra

,... \Jl51±i-rL^a\

Passons maintenant des fonctions génératrices aux coefficiens. Il

u est visible que celui, de rV* , dans —7^7 , est ^, , ,, ; la quantité

»^i — * V mise sous la forme '^^'Ct^'" *) » étant développée^ devient

f II r u r(r — 1) u )

d'oîi Ton conclura que le coefficient de r^/% dans cettejfonction est

développement qui est celui de ^'^^syrr^j > pourvu que Ton fassç

;c's=o après la différentiation. On se convaincroit de la même manière que le coefficient de rV"*, dans le développement de

uC"^^^ doit être a'A'/^ * ^ j , en faisant x = o après I^

différentiation ^

TiRéE DMA Fonctions génératrices, 355

cliiFérentiation ; et l'on aura enfin

■ c + tf^ '\ a' J^{c + ahy '\ a' )

pour rintégrale de l'équation

En développant cette intégrale , on reconnoîtra sans peine qu'elle exige la connoissance de la première ligne horizontale et de U première colonne verticale de la table à double entrée qui correspond à réquation proposée.

1056. Des considérations absolument semblables à celles du n''. 104^, vont nous conduire aux formules X{ue nous avons déjà obtenues dans les n""'. 865 > 867^ 869 » 895.

Soit maintenant

»=J^o,o+J^,,o^+J^oo^'+J^î>o^ +etc.

.+ >'o,/+J^t,«^/+yoi^^'+ etc.

.+ j^o.^*+J^t>.^^*+etc.

+ etc.

Si Ay,;,;; désigne la différence de ys^x,^ ptise en faisant varier en même tems x et x\ la fonction génératrice de t^y^^mt s^t^

u ( — ;- — I J 9 n"*. 105 1 ; mais il est visible que

et que par conséquent

Appendice, Y y

3Î4 Ch. II. Théorie DES suites ,

le développement du second membre de cette équation pouvant être ordonné suîvant les puissances de -.— i et de - — i , contiendra

les termes u( 0 * ^ w"^ ^ 7 ' ^^ ^^"^ ^^^ fonctions généra-

trices de A y^,^, , A ,y,,,, : passant donc de ces fonctions à leurs

coe^ciens^ on aura

^y.,.»={ ( i + à^y.,xd ( I + A^/y.ixO — ï}^ en observant de transporter, dans le développement du second membre, à la caractéristique A les exposans de a,^,,„, ^:ç,yar>ar#» Il suit aussi de ce qu'on a dit ( n*. 105 1 ) , sur les fonctipns géné«» jfatrices des intégrales, que l'équation

doit avoir lieu dans les mêmes conditions que la précédente 9 et en remplaçant les puissances négatives des différences par des intégrales.

Dans les formules ci-dessu^ , les différences des variables xets^

sont égales à l'unité; mais il est visible que i«f ^tt^t — ï ) ^st

la fonction génératrice de la différence A""y,,^,, prise en faisant varier a^ de n et x' de n'y et en vertu de l'équation identique

il viendra encore

dans les mêmes conditions que ci-dessus , relativement aux exposans des différences.

Ces équations subsisteront encore ^ si l'on suppose que les différences de X et de x\ au lieu d'être i , relativement à a^^^, ,^ et à a,,j>^,, ,, , soient k et A'; mais alors, dans A'y,, ^, , les différences de x et de x' seront respectivement \ntX k!n\ En considérant k et k comme infi-