X *— AT
 LA Théorie des suites. 357
Les premières opérations de l'Algèbre suffisent non*seulement pour ce cas , maïs encore pour toutes les séries dont le terme général est de la forme
(« + j8/ï + 7^/1*+ etc. ):c ;
ainsi qu'on peut le voir dans les Elémens d'Algèbre : passons donc aux artifices tirés du Calcul différentiel et du Calcul intégral* 1058. Considérons d'abord la série
en multipliant tous les termes par — > on obtiendra
sdx
:s=idx+ ixdx + tx*dx.4...m • + /i:t"''Vjti
intégrant ensuite il viendra
fidx , ir*— ^«+*
y^s dx X — A:""t* ' = ■ y on aura
où I X
sdx rf:t*— (/i+l )x''dx + nx'"^^dx d'oii Ton déduira
La série que nous venons de traiter est comprise dans cette autre
plus générale
3 = ax +{a + i)x +(a + ii)x +(a+^t)x ^^
Multiplions les deux membres de cette équation par px'dx^ nous aurons
psxdx :i=i apx dx^... + [a + {n'-^i)ù)px dx;
cette série se ramèneroit comme la précédente 1 à une*progression par quotiens ^ si pour toutes les valeurs de n on avoit
OU tf/>— i^(« — ï )bpzszcL+ r + (/i— i)/8;
358 Ch. III. Application DV Calcul intégral
or c'est ce qui aura lieu si '
ap'-^i^A + r tt tp = fi f
équations qui donnent P=^t9 i
a^—eib~-i afi afi + ifi «jS + f» — 1 )^ii
cl*oh par la diffërentiation on conclura l'expres^on de s. Si ^e terme général de la série proposée est de la forme
{an + P)[cn + c)x ^
et qu^on multiplie p^rpx^dx , les deux membres de l'équation ^
^ = (tf + i)(c + 0^ + (an + t)(cn+e)x ' ' ,
on pourra déterminer j? et r de manière à faire disparoître , par l'intégration , un des facteurs du coefficient de chaque puissance de x , et cela , en rendant ce facteur égal ^ l'exposant augmenté de l'unité ; on formera ainsi l'équation
d'oh on tirera pc=: ^ ^ pe=A — jg + r-Hi et
/S lèc+ lie — ûLC^c
au moyen de ces valeurs ^ on aura
^fsxdx=i{a + lf)x ..f...4-{an + P)x
La série du second membre , étant de la même forme que la précédente y on y substituera sa valeur ^ déterminée d'après ce qu'on a vu , et on aura ainsi une 'équation finie entre cette valeur et l'intégrale fs x'd X y qui conduira par la diiSërentiation à l'expression de s.
On obtiendra immédiatement une équation finie du même genre
A LA Théorie des suites. 359
en multipliant par px''^ les deux membres de celle que nous venons de trouver , et posant
d*oii Ton déduira
^ ^ j fib'^eta + ^a — ra — ^a fibc^^^fiae-^^ac
» :i= - fz=z — — A ■ ■ ■ ■ =; — . ;
a^ a ac
intégrant ensuite, il viendra
- ix ^^ dxjx ^ sdx
deux différentiations successives feront disparoitre les signes / du premier membre j et conduiront à une équation dont il sera facile de tirer $.
Il est visible que le même procédé s'étend à toutes les séries dont le terme général est de la forme
X059. ^^^ ^^ renversant ce procédé qu'on l'applique aux séries dont le terme général est de la forme
Soit d'abord
on multipliera seulement par p x\ et on aura
psx'—^ ...Y^ ;
on différentiera ensuite pour obtenir
et on détermii)£ra r ti p de manière à rendre le coefficient, du
3^0 Ch. IIL Application vv Calcul intégral
numérateur égal au dénominateur , quelle que soit n. On fera donc an + i=zpA+plèn'-^pfi+pr, a=:plè , *=:/* — pfi+pr^
à ou il résultera /> = - , r = , et
ax ^ ds+(afi — aA+tfi)x ^ sdx
fidx
on conclura de là , par le secours de Tintégration ;
L'intégrale indiquée dans cette formule doit s'évanouir lorsque
Pour avoir la limite de la série proposée , il faut prendre \ au lieu de la somme de la progression par quotiens
sa limite ^ et il viendra
Si Ton fait xç=zj ^ dans la série proposée , et qu'on suppose et| même tems ct=^=?= i , ellç deviendra seulement .
a + t' 2a+b na + b
On ne pourra pas établir l'hypothèse de x=: i ^ dans les expressions
différentielles f mais on fera ^ =^= i , dans l'expression intégrale
qui
A LA Tu Âç Hii^ VES suites. ^6l
qui se changera en ^^ / j
depuis ;r=o, jusqu'à ^=i, pour obtenir la somme de la série particulière que nous considérons maintenant. La limite se trouveroit en faisant * = i et j8 = i ^ dans Texpression
fi ^ (^x ^ dx , jqui répond à la supposition de n
' l t ^x^dx
infinie^ et 4pî* il rçsultcrfiit — j / —-, cette intégrale devant
être prise depuis ji: = o ^ Jusqu'à jtsp i. Voilà une nouvelle expression de }a transcendante indiquée ilaos U n*. 915.
Passons à la série dont le terme général ; —-, r renferme
deux facteurs à son dénoniinateuretoii, pour abréger, nous avons mîs a:* au lieu de :t*^^*""*>^, ce qui ne diminue pas la généralité de l'expression, On aura ^ relativement à cette série > l'équation
d'oîi l'on déduira
pdjx's) ^ p.(l-i-r)x' pCn+r)»"*-'-^
dx *~(4+3)(c+«) (««+^)(cn+7)*
On peut toujours déterini(\er les nombres /> et r de manière à faire disparoîtie l'un des facteurs du dénominateur , en posant
fn-\-pfs=.an-ir^ i d'où il suit p^s^a, '"=-» et
'^ppmdict^ Z z
362 Ch. III. Application pu Calcul intégral
ad(x^s) Maintenant si Ton faisoit - — r — ^ = s', on aurcnt une série qui
dx
seroit dans le cas de celle que nous avons traitée plus haut ; mais on arrive immédiatement au résultat en la multipliait par p^x'^^ ce qui conduit à '
dx c-i-c cn+e
ai/d(x"{d{xU))) ^\a^'r dn^ c + e
posant ensuite il vient
et Ton a pour dernière transformée
acd{x - 'djx^s)) c j^ ^
dx''
En intégrant deux fois de suite ^ puis tirant la valeur de j ^ on trouve
a ex
