I . xa^x
lorsque ce même terme est -r 9 >1 vient
(un+iy
et pour l'expression r — — rr^j , on a en général
(l*)->Vx(i-^)- ^\b).-./;^^^( Kl^)
Ces valeurs se simplifient beaucoup lorsqu'on y fait x^^i , ce qui donne 1 xt=:o y en dehors des intégrales seulement ; on obtient alors
fx^dx(\xy-"Q^^^)
pour la somme de la série dont le terme général est — ;;, ^
l'intégrale étant prise depuis Ar=o , jusqu'à x^i , le signe + ayant
^66 Ch. IIL Application du Calcul intégral
lieu si m est impaire , et le signe — si m est paire» On comprend le double signe db dans la formule , ti écrivant 1 ~ au lieu de \x^
puisque 1- = — Ixy et on a
Enfin on obtient les limites des séries proposées en mettant seu* lement • au lieu de »
io6if La combinaison des méthodes indiquées dans le; trois n^'. précédens, conduit à la sommation dçs séries dont le terme gé*
Jx^
néfsH est r— -, les lettres ^ et j9 désignant des fonctions ration-
nelles et entières de n , décomposées en facteurs du premier degré.
On fait disparôître successivement les facteurs du numérateur par
des intégrations répétées , et ceux du dénominateur par des dîfFé«
rentiations, L'exemple suivan| suffira pour mettre sur la voie des
applications. '
ttn "I ■ â
Soit — - 4;" le terme général de la série proposée ; on mul^
an+b ^
ti pliera par/'^' les deux membres de l'équation
J = — rT^-< r^ ••?•"• TT •*'
a + p xa + p an+P
et passant ensuite aux différentielles , celle du terme général ser^
an + t on fera donc pn:^an ;; pr=b , ce qui donnera cette équation
dx '
dont le second membre ne renferme plus de dénominateur. De nouvelles opérations , semblables à la précédente , feroient disparôître
A LA Théorie des suites. 367
Tes facteurs qui resteroient ^ si le dénominateur en contenoit plus d'un. /
En multipliant la même équation par px^ ; et prenant ensuite Hat^rale de chaque terme ^ celle du terme général sera
te facteur an + fi du numérateur dispàroîtra si Ton fait
a(tpn=ian , apfir^i-^- ar ^
d où il suit Z' = - > r=i - — -,
et A a
-A* ^d{x^s) = x'^ +Ar* + *« ,
fi b b 0^
et par conséquent -/a?* «^(y^i) = A:* f- -V
b i8 /3+tf
çn tire de là 5 = 7 — ^
1061. Dans les séries que nous avons considérées ci- dessus^ le nombre des facteurs , soit du numérateur ; soit du dénominateur , étoit le même pour chaque terme ; mais il est une classe de séries qu'Euler désigne sous le nom ^ hyper giomitriqucs ^ dans laquelle ce nombre augmente d'un terme à Vautre : la série
a-ht^ ia+b){ia+b) ** ^'^* ^^'^ (a'+b) (an+b) *
est de cette classe* On va voir que leur sommation se ramène à rintégration d'une équation différentielle. 3 1
Le cas le plus simple est celui dans lequel le terme général est de la forme ,
(« + i8)(xrt + i8) (an + fi}x''i
par la méthode du n^ 1058 on fait dispafoître le dernier facteur
5(J8 Ch. m. ApFhiCATioîf ùu Calcul intégral
tin^ fiy et on ramène la série proposée à ce qu'elle seroit , si Tod en retranchoit le dernier terme. On obtient de cette manière
p I s X aX :;= »»■»♦>-!- >. •
posant p((tn+fi):=n+r+ï , il vient ./?=-^ r=- — i , et d'oîi Ton conclut
r et j'
iff- i=(*+i8)r +(*+iB)- . • , . ••W/ï^-O+i^K'- =5— (ct+i8)....(fitn + i3)*" ; et faisant pour abréger (*+*) (cta+^)=^, on 9
lorsqu'on délivre cette équation du signe /, en la difFçrentianf , elle conduit à
f&quatioA du premier degré et du premier ordre « doat l'int^ale donnera Fexpr^ssioa de s.
Il peut arriver que chaque lerme de 1^ série proposée cQntîennie (ieux ou un ptus g^aad aoml^re de facteurs de plus que celui qui le précède ; il faut alors un nombre dbpérations successive^ égal à celui qui marque raccroissçment du nombre dfs feçteur^ 4*W terme ^ Vautre. Si l'Pîi pvpit , par exemple
une première opération semblable à celle qu'on vient 4*çffççtuçr çi-dessus , ch^ngerpit Te^pressipn
terme général de cette série, en . ^
et
A LA Th é O RI B DES SUITES. 3^9
et une seconde opération effectuée de manière à faire disparoître le facteur («(in— -2)+i8}9 réduira le résultat ci-dessus à
(«+i8)(i«+i8)...r..(flt(i/z — 3) + i8)â7*~*,
terme qui précède celui qu'on a pris pour le dernier dans la série primitive.
C'est encore par le même procédé qu'on traiteroit les séries dont le terme général est de la forme
par une première opération on feroit disparoître le facteur c£/z+/3 , et par une seconde le facteur yn^i'ïta suivant la même marche^ on s'éleveroit facilement aux séries dont les termes généraux ren*» fermeroient trois ou un pl^s gr^nd nombre de prQgressions de facteurs*
1063. Lorsque les facteurs sont au dénominateur, que l'on a,
par exemple,
on employé la ^âërentiation ; il vient
pd{sx') p{r-\-ï)x' ^ ^ p{n^r)x^-^
dx <t+^ *'***** (« + i8) («a + i3)*
pd{sx') X ^«
En développant l'équation différentielle
on trouvera
. , fidx-^xdx (J^x'')dx
as + J=-^ ^ y
^x Atf^ ^ •
Appendice. A a a
ff
370 Ch. III. Application du Calcul intégral
équation qui s'intègre en la multipliant par e"^ at^ , et donne
X fi X fi
Deux opérations semblables à la précédente, eflfectuées successi- ' vement sur la série dont le terme général est
ou dans laquelle le dénominateur d'un terme quelconque , renferme deux facteurs de plus que le dénominateur de celui qui le précède ^ la ramèneront à ce qu'elle seroît si l'on en retranchoit son dernier terme. Il en sera de même d'une série dont le terme général aura un dénominateur composé de deux classes de £sicteurs ^ et en général rien n'est plus aisé que de pousser l'application de la méthode aussi loin qu'elle peut aller.
Lorsque les facteurs du dénominateur sont élevés chacun à une même puissance , le calcul mène à des expressions plus simples» Quand le terme général est
on trouve
, ^^d(xd(x^s)) a/-
x'^dx^
pour le terme général '
(* + i3)' i'^n + ny '
on obtient
x*dx^ et ainsi de suit«.
A L A TnàaniE des suites. 371
1064. Passons maintenant à la série dont le terme général est
(^ + 0 (an + i) ^^
on obtient d'abord , par l'introduction du facteur /ia;'' et Tintégr^tîon,
posant tf/>/i+/^*=r+;i+i, il vient /^ = -j r= , et
fx ^ sdx x^ {aA-b). . . .(a{n—i) + b)x''
a ~ ùL+fi (*+i0) («e/ï+iS) \
multipliant ce résultat par px\ puis prenant sa différentielle^ en
faisant tp+apn+apn=zaaji+afi , on trouve /^=« , r = ,
ax^dx
Cet exemple montre assez comment il faut opérer sur les autres cas comprb dans la classe de séries dont il fût partie,
1065. Depuis le n% 1062 nous n'avons donné que les sommes des séries proposées ; mais il est visible qu'en supprimant dans leurs expressions le dernier terme de la série ^ on aura sa limite : on trouvera ainsi , pour la seconde série du n\ 1061 9
fx* sdx
et faisant dîsparoître le signé d'intégration ,, on obtiendra une équa» tîon différentielle du premier ordre et du premier degré , dont l'intégrale donnera l'expression de s. Si l'on y change x en — ;tr , et qu'on prenne le résultat total avec un signe contraire à celui dont il est affecté y on aura la limite de la série
(« + ^)* — (* + i8)(ict+/î)**+etc.
Aaa 1
^71 CnAW. Applicatioit DV Calcul INTÉGRAL
Quand ^ = o et et = i , la série précédente devient
5= i.^— i*2.ar*+i.2.3,:)c^— etc.
et Ton a l'équation
fsx'^dx.
qui donne par la différentiatîon
sdx 3 f t ^(*+l) . ^^
— -^dx^^^^xds — sdx ^ oUi/5 + -^ 'dx:=: /
cette dernière équation a pour intégrale
sa^^'^/r'^dx (V. 547)-
Nous pouvons aussi déduire des formules ci*dessus l'expression de la limite de la série
/=Ar— I x^+i.i.x^ — i.i.^.x^+ etc»
car 9 en la comparant à la précédente , on trouve que s'^szx'-^sx, d'où il suit dsz=zdx — sdx'—xds^ et l'équation
''^dx:=''^xds'^sdx,
. changée par ce moyen en
s'dx dx
a pour intégrale
t dx
Nous ferons remarquer qu'on arrive immédiatement à ces derniers résultats } en combinant ensemble les équations
/=:r — i.x* +1.1. A?' — i.i.3.;r* + etc.
-7- = I — i.i:if+i#i.3 X* — 1.1.3.4^:^+ etc. dx
ds' x—s'
dont la seconde revient à -— = — -— ;
dx xt
A L A Théorie DES suites. 373
Si l'on fait a; = i ^ après Tintégration , Texpression s^
Sl '-
qui répond à cette hypothèse y est propre à faire connoître la limite de la série divergente
I — !+!• 2— 1.1.3 + 1.2.3.4 — etc.
dans laquelle est comprise celle dont nous nous sommes occupés déjà> n% 1047: -on aura
ï~i +2—6+ 24—1 20+ etc,
te dx
qués dans les tC\ 470 et suivans*
En ne prenant d'abord de la formule du n''. 480 , que les termes multipliés par la première puissance de «t ^ on aura
r.-r=*{ir+r,+r'. +r...+ir,},
Y\ Y\ y etc. désignant les valeurs successives de la fonction
comprises entre les deux limites x:=a et x=:i de l'intégrale; et n leur nombre.
En faisant /x=s 10, il Tient a=z — .à cause que les valeurs ex«
trêmes de x sont o et i ; et Ton a pour la suite des valeurs de :i; ^ ^
f- JL ± i. ± ± A 2. -1 1. ï ~
10* lO* 10* 10* 10* 10* 10* 10* 10' 10* *
pour celles de y
10 10 10 10 10 10 10 io« 10 10 e 2tf 3( 4e 5e o^ 7^ ^c 9«
374 Çh. III. ApPUiCÂTiOK DU CaLCUZ. INTEGRAL
d'pu Ton conclut
