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oe 'je o< ■ .9c

Euler , en mettsint pour le nombre e sa valeur 1,718181818

a trouTé

-7 =? 0,03 13 13 M — = P*0973 îooi

la somme de ces nombres est .0359637164, Il est visible qu'il suffit de retrancher ce résultat de l'unité pour obtenir la limite de la série

if--i.i+i»î.3'-^i.i.3,4+ etc, Pon aura par ce moyen 0,403618} 6 , nombre qui s'accorde dans les quatre premières décimales, ^yec celui du n*. 1047. ^^ porteroit l'exactitude beaucoup plus loin encore en calculant un plus grand nombre de termes dç la formule du if 480: et sur -tout eiî augmçntant le nombre des valeurs intermédiaires de T^ ou >en di^ minuant «t.

L'expression

ion tj -

y* dv \ r— , lorsqu'on I— nlr

A LA Th ào RI E DES SUITES. 375

fait c *=v.oua: = ; — : les limites de x étant o et i • celles

I — Iv .

de V doivent être aussi o et i . Si Ton intègre par parties la formule

; — dv , en opérant sur le facteur dv^Vi viendra

I— Iv

dv dv l.v t.a.v t.i.J.v

d'où il résulte la série

I — I + 1 . 1— i.i«3 + i«2.3. 4— etc.

quand on prend y= i. On obtiendra donc encore la vateur ap« prochée de la limite de cette série en calculant celle de l'intégrale

/^ dv par la méthode du n^. 480 (*.)• ' I. — Iv * : .. • ■ i ; .' . ..

' " ■ ■■■■^^■^Mli^l— I»— — *i— ^

(*) On ramèneroît à une fracdon: continue l'expression dex, en appliquant

sdx d X

à réquatîon diSirentielle ds'\ j- = — la méthode du n**. ^9?, maïs il est

bon d'observer que Ton peut aussi déduire immédiatement de la série

1 — 1*+ i.a.Af*— i,a.3.:if^+i.a.3.4.Af^— etc.une fraction de cette espèce. En représentant la série proposée-ptr^^ Euler fait

;^=r— î- , d'oîi ,

„ *— Tax*+6jc' — 34*'*+ 1*0*^ — ^7ao**+ço4a*î'— etc; *

, ^x— 4**+ 18 a:*— 96**4- ^00** — : 4320 «5+ etc. x

I — 2« + 6x* — 24*'+ lao x^^^ Taq «^-j- etc. " i+Z>

âjc — 12**+ 72*'— 480 Jr*-J- 360O Af*— etc. 2 jt

i— 4Ar+i8**~96«*-t-6oox4— etc. • i+£

a >— i8**+ T44 * — laoo **+ etc. %x

^ y— 36 r>4- 360 x' —etc. •> . ,, .3*

\ — 9^ + 72^:*— 6oô«'*f^ etc. K ,; f I+ff ^

3,« — 48**+etc. 3*

i—iax+iao**— etc."" ;;,;*: ; .; 1+^

43c~etc. ' 4Jic ^

$76 Cn. l\l. Application DV Calcul iNTÉG A AL

1066^ Passons à la première des séries considérées dans le n*. 1063 dont la somme est

5=^c*a: TV ^x^dx(l^~\

En y supprimant le derniejr terme ~, nous aurons pour la lioûtc