dx*' dxd^y dy

+ etc.

et si (deirette formule ontetranche 22 , le reste sera le développement, de la différence de n^ou de â0^ et se formera de celui de Tèx-

dx dy

pression t — • i ,

en observant de transporter à la caractéristique dy les exposans de duj

cest^à-dire, de changer le produit -r— -7— en - — ; — \ Avec cette

dx^ dy'* dx^dy'* ^

attention^ on aura non*seulement

du , du ^

dx dy Au^=^c -^ — il ^

mais encore *

du du m,

En effet , on verra par les développemens successifs que produbent les substitutions réitérées àtx-^hfXy + k^ dans ceux de Ai/ ^ ak, ^ A*a , A*«, , etc. que

+ etc.

et si Ton prend tt=e*+>, on trouvera

du du d^u d^u ^^ .^ ^,4^

dx dy dx^ dxdy dy^ ""

valeurs qui changeront l'expression générale de a"// en

+ Bhr-^' + B'h!' k + i?''A"-' A* + ÏÏ"h^''.^h^ + etc.

les accroîssemens A et k devant rester indéterminés ^ il en résulte que

les coefEciens numériques A\ A'\ • . ,» B ^ B\...^ etc. du second

membre seront identiques avec ceux du développement du premier.

Il doit être évident , sans qu'il soit besoin d'entrer dans de nouveaux

détails , que si u dépend de x ^ y y ^ ^ etc. et que h, k^ l , etc.

soient les açcroissemens respectifs de ces variables ^

du , du ^ du

A + — Â:+ — /+etc; , dx dy di

du^ du^ du'

en observant toutefois de changer ; ; — • • . • X hf'k^F

^ dx^ dy"* d^

^" U r' — ^ h^k^r. . . ; car en opérant comme cUdessus , on

ramèneroit là détermination des coefHciens numériques à celle du développement de ( «H-H^Htc. — | y^

866. Pour développer la quantité («^M+^+etc — ri)»^ il suffit d'obtenir les coefficiens numériques des puissances de a dans le développement de ( e* — I )•, parce que ces puissances seront des Polynômes dont on connoît le terme général ( Iru. n"". 19 ). Or on a

et comme par le n*.z5 de l'Introduction ,

ndL n'a!" n^d?

««•» = I + -z + + "^ ' + etc,

e<--)=i+i ^+^^ ^ +-^- ^ — + etc.

^*(«-»)=i +i L. + i 1 JL,1 1 — 4. ctc,

I i.z 1.2.3 etc.

le coefficient dé «^ sera