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et
rint^rale /« *;c* étant développée par parties , en opérant sur
\a loi de ces expresàons £ùt voir que l'on auroît
/— ±L- Jr— '* T— ^* ' • rf r
çt p^r ce moyen on auroU
i-f — T-rr
jcette fracddn connnue donne suocetôremMt » lorsqu'on y fait ^i ^
o 1 1 ?:. .4. .L îi- 4£ «M .322-, Pi' a» 3* 7* 15' 34* 73* ^<>9 ' 5<^^ * valeurs qui sont altcrn^rivement plus petites et plus grandes que celles de /•
Il est facile de yoir que Ton peut» par des procédés analogues au précédent , convertir en fraçtiçn çontinuf toute série dont les term«» sont altemsitiYement positifs et négatîfc,
son
A LA T tf à à » r £ DES sifiT^s* J77
son premier facteur t ^, procluh la iérie
— »4;*# «{i + «-j.jti — -i+^ i^ { ^ etc. };
Cette série s'arrêtera quand /S sera uA multiple de « ; dans ce cas le dernier terme sé^a -<-« {iB(/S-^ct). «•«••«} ^ «quantité qui , prise avec' le signe + , donnera la constante qu^i faudra joindre à Tintégralé pour qu'elle s'évanouisse par la supposition de â:=so : nous conclurons de là que la limite de la série proposée sera alors
Si l'on fait 0:=zo<, il viendra seulement s s ^.-^ i ^ résultat qui tst en effet la somme de la série
dans laquelle l'hypothèse établie change la série proposée ; lorsque fiçsz^ et /BcBi*^ on trouve succesâvement
n est facile de pratiquer sur les autres classes 4c séries ce que nous venons de ârire sur les précédentes.
1067. Nous allons parvenir dans cet article à une formule fort âég^mte que Parseval a donnée dans un Mémoire sur Tint^ratioa des équations diftérentiettés partielles ^ et au moyen de laquelle il p)>tient U limite de la série
toutes les fcHS que celles des séries
féi^Sx + Cx^ +Dx^ + ctc,
XX x* .
Mnt connues. Soient <X et .^ ces limites ; il est visible que le Jpfmiicu ' ' Bbb
378 Ch, Wl.'AppLiCATioir DU Calcul intégral
produit des deux séries ci-dessus renfermera trois espèces de termes : I^ des termes délivrés de x^.qiû s'pbtieDnent en multipliant entr'eux les termes correspondans de chaque série , 7^. des termes contenant des puissances positives àtx j 3*". des termes contenant des puissances négatives ; ce produit sera donc de la forme
^^'+55'+ CC+DD' + {^x^} + f i3 -^] =X.Y',
en désignant par { ax"^ } tous les termes aiFectés des puissances posi«
' tives de X , et par I j3 — r tous ceux qui n'en contiennent que de
négatives. Cela posé , si dans cette équation l'on fait successivement
jt=rCOSI/-l-*^ — \s\nu, a: = cosz«— V^ — t ÛtiU^ on obtiendra deux résultats de la forme
urf-^'+55'+a:'+Z?2>'...+ {a(cos/w« + /— isinm«) }
+ (i8(cos — w«+ V — isin — mu)^
+ { jS (pos-— ;w// — : V — I sin — mu) }
U et U' désignant ce que deviennent X et X par ces substitutions; mais comme
cos — mu = cos m u y sin ^^m //*= — sin /n i/ ;
on déduira de ce qui précède , cette nouvelle équation :
x{AA' -^-BB' '\'CC' +DD\..)-^x{ttQOsmu) Y%{f^QOsmu}=:zV'\'V\
oh il s'agit de faire disparoître les termes affectés de cos mu! Or c'est ce qui s'eifectue en multipliant chaque terme de l'équation par du et prenant son intégrale ^ tiepiiis u=o , jusqu'à n=7 , ou la deml-i-
circonférence 9 puisque l'expression fducosmu= — sinmu est nulle
entre ces deux limites j on aura ainsi -
iw(AA'+BB'+CC+Diy )=f{l^+U')du,
d'où Ton conclura
^A LA Théorie des suites. 379
VmtégT^U f{U+U')du étant prise depuis « = o, jusqu'à u=w.
Cette formule nous servira dans la suite à intégrer quelques équations diflFércmielles.partielks^à la vérité elle a l'inconvénient d'introduire dans le calci'l des imaginaires qui doivent se détruira, et exige par conséquent 1 emploi de quelques anifices semblables à ceux dont nous avons fait usage dans l'intégration des équations différentielles du premier degré.
1068. Nous rapprocherons de ce résultat une formule analogue mais moins générale , donnée par Euler.
Si l'on a ^ + Jîx + Ca?»+Z> or' -h £a?*+ etc. = \, j
et que la suite des quantités
. J\ B\ C, D\ E\ etc.
conduise à des différences constantes , dans un ordre quelconque ; la limite de la série '
AA'^BB'x + CC'x'+DD'x'+ EEx*^^ etc.
sera^
,, ^. xh.A' dX x^à^A' d^X x^L^A' cPX A'X+ «^-^ — -.+ -— + — ^ + etc.
I dx 1.3 dx 1-^2.3 d:r
expression qui se terminera lorsque l'on aura A'^=;o. On y parvient en formant les équations
aA-^dEsç-^- aCx*+ aDx^+ AEx^+ttc.=^AX
fiBx+ i0Cx* + iHDx' + 4j8£*t+eîç. == — -7-
I • dx
yX^ d^X
^ i.i dx^
J'x^ JPX
+ /ZJ^'+4<r£a7^+etc. = — -^ —
+ •JF*^+etc.= -7-7-
i.z.3.4 dx^
etc.
dans lesquelles «, /S, y, /, •, etc. désignent des coefHciens indéteroiinés ^ et en les ajo utant entr'elles pour comparer leur somme à
>/>+i?ll^«4.CCV+Z)2)'*?+££V+ etc.
Bbb X
380 Ch. m. Application du Calcul intégral
on tire de Ut
E =«+4i8+6>.+4<r+tl / 1 =£'— 4Z)'+iSC'— 4-B'+-4'=A*^' etc. ^ ^etc.
d*oii il résulte la formule posée ci-dessus. Nous ferons remarquer que si ^ , au lieu de représenter la limite de la première série , n'est que la somme d'un nombre donné de ses termes , on aura alors la somme d'une portion correspondante de la série proposée.
1069. Cest encore par des intégrâtes définies que Lagrange est parvenu^ dans sa ThiarU des Fonctions analytiques , à l'expression de la limite d'une portion quelconque de la suite
+!^ l+£y Jl + ^£ + etc
^ dx \ 3?*I*2 ' dx^ l#2.3
n avoit trouvé d'abord que si Toq mettoit âr+(i— {)^f su lien de :r , dans la fonction y et dans ^% différentielles , et qu'on désignât les résultats par T^ dY ^ etc. la limite de la ppition
dry A" dr^W A"+"
dx"^ i.%.....m i6;""*"' ï.2...,(iw+i)
qui reste de la $érie ci- dessus , lorsqu'on en a retranché les m premiers termes » est égale au développement de t'mtégrale
