I.2...(/B— î) ' dx
prise depuis {s=o^ jusqu'à {;= 1. Ce résultat est Êicile à vérifier en lHotégr(u)t par parties ; car il se change en
or il est visible que lorsque {= i , on a j^ = -y— » et que , quel que soit î, .^—^^h-^^ , pu^quc ^ est ^ne fonction
et Jtr +(!—;{;) A ( n**. 8i ) ; il vient par conséquent
A* dry A'*+" . . ^+^r
fC^i
cl'oii y , par une transformation semblable à la précédente j on tireroit
le terme . , ^j: - , et ainsi de jUite.
Cette expression est présentée d*une manière un peu di^rente dans la Théorie des Fonctions analytiques. Lagrange y suppose que la fonction f(* — *c)» se change en f(x)y lorsque * — x{ devient {x—'X{) + xiouxi et suivant la notation dont nous avons fait usage dans li n^ 5 , il obtient cette équation
équivalente à
xO + etc.
xidT x^^d^r *Y J'Y I ax i.ifl** 1.2.J ax''
dans laquelle T désigne ce que devient y , lorsqu'on y change x en ;r— «{, et a;' représente x — «{;. Si l'oii fait en premier lieu
P étant une fonction inconnue de {, et qu'on prenne de part et d'autre les différentielles par rapport à {, il viendra
dT dP
dY dY dY
or, 5]7*'*'=^(ï— C)»'*-
dai
puisque </«'=( i—{)</« — xd^x il suit de là que et que pat conséquent
dP dY
dY
mais comme Kse change en j^ lorsque {s:o ^ il faudra que Tintégrale
ci*dessus soit nulle lorsque {;=:o.
Supposant ensuite que
xi^ dY
}8i Ch. III. Application du Calcul intégral
et dlfférentiant par rapport à ^ , il viendra
dY dY d*Y dO
équation qui se réduit à
dY dY d'Y d'Y
à cause que -r— = — «-7-/» « — — - = — «-7-77» on auradooe ^ di dx , dxdi dx'
-dl-^-^'*''^--^'Td^''
Par le même procédé on tire de Téquation
en faisant les réductions qui peuvent résulter des équations précé«
dentés , et en observant qu'en général ,^, = — x -j-r.
dx 4{ dx
\jà fprmule générale , qui renferme toutes le$ précédentes , e$t
visiblement
rintégrale devant êttc nulle lorsque {; =? o.
^r d^Y Quand on suppose :5;=i , les fonctions Y, 7-7 9 -j-r,etc, ne sont
» X dx
dy ^V
autre chose que ce que deviennent^ , -— - ,. j-^, etc. lorsque a? =0,
dx d X
puisque dans la première hypothèse » la quantité x — x[ se réduit à o«
La formule ci»d<^sus donne donc, dans ce cas , pour le dévelop<-
pement de la fonction y y suivant les puissances de x , jusqu^à
la m*^ inclusivement
^ju^^y , : x^y dr-y f-^d^ drY ^
\ dx 1.2. ••(m— i) dx"^^^ X.i...(w — \)dx
Pintégrale qui termine ce résultat étant prisé depuis { = 0, jus-^ qu'àî=î.
Maintenant si l'on changea en &, x^ en A'=(i-^j;)A, il viendra
A LA Théorie dès svïtêS4 385
plus supposant que y , au lieu de représenter une fonction de h ^eule, en désigne une de « + A ; le premier terme ^^ sera une fonction
d y dry
de X seul , les coefficiens différentiels -f^- , — - » etc. calculés . eii
. ^ dh ^ dh^ ^
faisant A = o , après la différentiation , se changeront en
dy d^y
-7^ , -7=^ , etc. et enfin il faudra substituer a?+ A', ou x-^ii—Ah ; dx dx""
au lieu de or, pour passer de^ à F; on aura ainsi
kdy A* dy A-"-' dr-'y ,„; r*"-'^? ^r
yj £J £. t 1 A /^
en observant que -7r7;;=-r;;. Cette formule qui représente le dé-
dh "* a a?
veloppement d'une foliction de *+A, poussé jusqu'au w'"»' terme ^ est la même que celle que nous avons donnée en premier lieu.
Nous aurions pu. y parvenir immédiatement en mettant dans y y a?+(i— î)A, ou^ar+Â — hi=x\ au lieu de Xj ce qui aurolt fait de Y une fonction de\a?+A — kii désignant alors par y^ , ce que devient y quand on y change Jr en 0?+^, et développant y, , suivant les puissances de h^^ il seroit venu
,^ kz dY AV d^Y AV d'Y
V =F4-— — -h— ^^^ 1 ^^^ 4- etc.
^' ^ I dx'^i.zdx'^^ 1.1.3 dx"'^
d*oii Ion auroit déduit les quantités P, Q, /l, etc. comme d« dessus : mais nous avons préféré de traduire littéralement , dans Falgorithme diâGèrentiel , l'un des résidtats les plus remarquablesr qu'offre la Théorie des Fonctions analytique^ , povir montrer que la notation ordinaire ne lui fait rien perdre de sa simplicité et de son élégance.
1070. L'intégrale K^f—^ — 7-^ — r -7-;^ donne la valeur rîgou-
reuse du reste de la série ; mais si l'on ne vouloit avoir que des limites
entre lesquelles fut comprise- cette, valeur , on trouveroît , par les
considérations du n""* 475 9 que si X et / désignent Is plus gran^'
et la plus petite valeur que prend l'a fonction j-7^7 depuis r'^j»
384 Ch. III. Application du Calcul iNtàG&AL
dTY L
jusqu'à {=1 , rintégral€/{"""'i/î-7-7;7 scroît moindre que —, et
aX • m
plus grande que — .
il est évident qu'il doit y aroir entre X et / un« valeur h qui rende
la fraction — exactement égale kf^^Ui -j--;. ^ et que cette valeur m d9
répond aussi à une valeur de i comprise entre o et i ; mais toutes les valeurs que reçoit une fonction de ;r+(i— {) & » entre les limites {c!==o, {:=i , sont visiblement les mêmes que celles que prendroit une semblable fonction de m-i-h, entre les limites jp et ^ + A; si donc on désigne par u la valeur de & , qui correspond à a , ec par j^^, ce que devient y y lorsque Ton y met ^r+i^f au lieu de jp,
on aura k = rJ^. On conclura de là, ces développemens partiels et
dx
rigoureux de lu fonction y , lorsqu'on c1»nge ^ en t^h : * dy h^ J^y^
h dy h^ d^y h^ ^^
y.=j^+T:7r+rT-zr-*
yw
i dx ifX ds^ I.2.3 d^^
h dy y-' jr-^y ^ A« j^y^
en observant que f doit être remplacé par ^+ u dans le dernier terme seulement , ^ que n^déterpninéc ff est popiprise entre 1^ limites p
ptA, Pour taieux faire ^ntlr TusagS de f es formules , nous suppo^
serons que y^spofl ; ?t ^ déveUppant jusqu'au nf^ terme , il viendra
Il esffiyident que la yâleur 4^ (j^+«/"^ est nécessairement comprise
entre
A L A Théorie d es s u i t e s. 38$
entre a?""""* et (a? +*)"""*> et que par conséquent la somme destermes , qui dans le développement de (a?+A)* suivent le W^, est comfnrise entre "^ ^
Après cet exemple Lagrange ajoute:
« La .perfection des méthodes d'apjMroximatlon , dans lesquelles >» on employé les séries , dépend qon^seulement de la convergence w des séries ^ mais encore de ce qu'on puisse estimer l'erreur qui H résulte des termes qu'on néglige , et à cet égard on peut dire que M presque toutes les méthodes d'approximation dont on fait usage v^ dans la solution des problêmes géométriques et méchaniques ^ sont H encore très-impar£aites. Le théorème précédent pourra servir dans »> beaucoup d'occasions à donner à ces méthodes la perfection qui H leur manque , et sans laquelle il est souvent dangereux de les H employer >»• ( Théorie des Fonctions analytiques , page 50. )
107Ï. Avant que le Calcul intégral fût porté au degré dé per- tîon des "séries! * ^ectioii qu'il a acquis de nos jours , Wallis et Stirling avoient • employé Finterpolation des séries à évaluer des intégrales qui ne pouvoient s'obtenir que pour des exposans entiers. Wallis , par exemple 9 sachant quarrer les courbes dont les ordonnées étoient exprimées par
(t-^*)% (l-^^y, (!-*•)% : ( I r^^* )% etc.
inventa la Méthode d'interpolation pour en déduire l'aire des courbe^
dont les ordonnées étoient
(l—AT*/, (l— **)', (l'-^*0't . etc.
fonctions que l'on peut regarder comme les termes intermédiaires de la première suite ; et il parvint de cette manière à la singulière iexr pression de la circonférence du cercle que. nous avons rapportée n"*. 945* Stitling continua et perfectionna les travaux de Wallis; ^
mais Euler imagina de renverser la question et d'appliquer la connoissance de l'intégrale à l'interpolation de la série ^ et c'est ce que nous allons faire d'après lui. Nous avons déjà donné dans le n% 964 Appendice. Ccç ^
386 Ch. III. AppLicATidif DV Calcul intégral
un exemple de cette recherche ^ mais nous allons ta reprendre de nouveau.
Soit en premier lieu l'intégrale /x*<ix( i — a?)% de laquelle on déduit par le développement de {i^^xf la série
nx
qui s'évanouit lorsque x=o, et qui^ lorsque Ar=:t, devient
etc.
m+i 1(171+2) i,2(ot+3) i,a.3(/w+4)
Si l'on fait successivement /z=0 9 7z=i , /r=2 , etc. on aura
+ etc.
JW+I '
l(/W+2) (ot+i)(«I+2)
(«+!)(»»+ iXm+ 3)
etc.
en suivant cette loi , on voit que le terme général de la série , lorsque n est un nombre entier ^ a pour expression
(lW+ lX^+ !)•••• . •('W+^+ 1) *
et telle est aussi la valeur de Hntégrale fx'^dx ( i — :r)", prise entre les limites o et 1 , ainsi qu'on peut s'en assurer immédiatement en intégrant par parties relativemient au facteur x'^dx ^ ce qui donne
X — ' * ÎIX
rx^dxd—^xYiss (i — xYA
n(/î— l)ar"+'(ï— *)
«(/2— l) ÏAr*+-+'
(/w+ 1) (/w+2) (/w+ 3)" " ^ {m+ !)(/»+ 2). . . (/w+;ï+ i) * toute cette série s'évanouit lorsque x=:;o , et se réduit à son dernier
^ lorsque x=ii.
terme
La loi de continuité qui lie tous les résultats que Ton tire dVne
même formule^ fait voir que si l'on donne aux exposans m tt n
des valeurs fractionnées , l'intégrale /v*rf*(i— ;t)% qui devient
alors transcendante, doh exprimer les termes intermédiaires de la sérié ci- dessus. De même l'intégrale y/7 ^x, dans laquelle p désigne une fonction de x tt de /z , étant prise de manière à s'évanouir lorsque x=zOy peat représenter le terme général d'une série dont n seroît l'indice. Ce seroit une découverte bien importante pour l'Analyse , de savoir revenir de la série à l'intégrale qui en exprime le terme généi^ly sur-tout, si Ton aVoit des procédés sûrs et faciles pour obtenir dans tous les cas la valeur approchée d'une intégrale. Malheu-, reusement l'Analyse n'offre encore aucun de ces moyens ^ et l'on a presque tou)om*$ déduit les séries des intégrales par le moyen des valeurs algébriques qu'elles fournissent. Voici les principaux rér sultats qu'Éulet tire de la formule fx^^dx^i—xy. £n faisant d'abord m=^\^\\ obtient la série
€t fx^dxi^i — xy pour l'expression intégrale de son terme général,"^ d'où il conclut que le terme général y qui répond à l'indice \ , est
égal ^fdxV'x — a?*> c'est-à-dire, à Taire 4t» cercle dont le diamètre est i .
On a également > par ce qui préjcède ^
r.z.j. n fx'^dx^i — xY
si dans cette équation l'on change m + /i en /y? , et par conséquent /w + 1 en /zr— /z+ 1 , elle deviendra
d'oh f on déduira
• A'"-Vr(i-^A?)
Voilà l'expressioiD du coefficient numérique du terme général de la puissance n du binôme.
.En se servant 4e rexpression/Ar*^ap(i—Ar")% intégrée pax parties
C ce 2
)88 Ch. IlL Application Dv Calcul intégral
relativeiBeiit au piei&ier facte^mr x'^dx , on datitot ce résultat
(/w+i)(ot+«+i)(/w+x«+i) ^ ^
pn{pn^n){pn^fin) n^^^^^^
^ttî se réduit à
pn{pn — n)(pn—'in) n
(/w+ i)(jn+n+ 1), ^ . • .,(m+pn+ i) *
lorsque ar=i.
Si Ton met m-^i au lieu de m^ et qu'on écrive les facteurs du numérateur dans un ordre inverse , on aura ce résultat aussi simple que remarquable
fx'''"dx{i—xy= — . -— ^ • . — ? — £ — ;
m m+n m + xn m + '^n m-^pn
' Il est visible que les conditions de l'intégration , supposent que les nombres m-^i et n soient positifs ; car sans cela les parties du développement qui doivent disparoître lorsque jn^rro et lorsque x= i , deviendroient infinies.
On tire de l'équation ci-dessus
i.i pzsim{m+n)......{m+pn)J ^ i-y
et faisant n=so , il vient
supposant alors sous le signe /que n est une quantité très-petite k ( n*. 139 ) , on trouvera que
;t*= ^*' = I + A U , ( I— jc*y= *^(— 1 xy=k^(\ ^ ) ;
i.%...^...p=m^r:^-'dx(l i y^
ce qui s'accorde avec ce que nous avons déduk immédiatement de l'intégrale fx'^Jx(\xy dans le n\ 41». On simplifie un peu cette e9rt>re$sioii en changeant jt*^ en « 9 et par
ainsi
A LA T H ÈO R t S JDËS SUITES.^ y%9
conséquent mx'^^^dxtti dx ^ - en , I- en — 1 - : il tésulte de
là que i.i* p!:=zfdxfl-j.
Il suit évidemment de ce qu'on vient de voir que
1072* En rapportant à la notation de Vandermonde ( n"*. 902 ) ; les divers résultats obtenus ci-dessas ^ nous aurons
[.ni^pn^n^ Ces théorèmes donnent les expressions des puissances du second ordre en intégrales définies , et fournissent par conséquent les moyens de trouver le$ puissances fractionnaires de cet ordre. Il est bon d'ob« server que le dernier théorème rentre dans les formules du n". 964.
1073. Par la combinaison de ces formulç&on obtiendroit un grand nombre de résultats particuliers , fort intéressans , mais qui n^ofFrant . aucune difficulté ^ se présenteront d'eux-mêmes au lecteur intelligent lorsqu'il en aura besoin. En prenant des expressions intégrales plus composées , on étendra ces recherches à des séries nouvelles ; on pourra même y pour plus de généralité ^ considérer des intégrales doubles y triples, etc.
fqdxfpdx y frdxfqdxfpdXy etc.
Euler donne pour exemple de la première forme , l'expression
/dx /**^jc ( I — AT )", dont le développement en série est
{pi±\y x.(ot+i)* I.2.(/W+3)*
390 Ch. III. Applicatios du Calcul ïNTioRAL
ce développement pris entre les limites o et i , et en faisant successivement »=o, =1 , =1 , =3 , etc. donne lieu à la suite
1 ' ■ (»«+\)»— (w+0» (w-f l)'('>r4-a)*— <«+l)*(/»»-i-i)'+f«+a>nm-t.iV («+!)• ('«+2)*('»+i)» "*". ■ (/n+3)»(m+2)'(m+i;» ^
+etc.
^ dont la loi est très-évîdentç. Si Ton fait ^w=o , on aura la suite
^.^ 1, • ^ 1 c i ^ , ^ ^ — + etc.
dont les différences forment la suite
j Çtc.
-.^ — fdx{i — xy se change «n
^ i j ^ lorsqu'on effectue la première intégration;
1074. Euler parvient , au moyen des résultats ci-dessus , à une interpolation très-digne de remarque , c'est celle des fonctions différentielles. De même qu'entre les puissances entières , on insère par l'extraction des racines des puissances fractionnaires , de même aussi i*on peut concevoir des termes intermédiaires dans la série
F, dV ^ d^V, d?V,..,....d^V^ des différentielles d-une même fonction ^ et désigner ces termes par un indice fractionnaire qui marque le rang qu^ils occupent dans la série proposée. Il ne sera pas pkis possible d'interpréfer ces quantités par des différentiations successives , que d'expliquer les puissances fractionnaires par des multiplications répétées ; mais les for-
mules et y et V seront des expressions formée^ par analogie , Tune dans la série des différentielles > l'autre dans celle des puissances. VAnalyse offre une foule 4'expressions de ce genre , qui tiennent presque toutes aux théories les plus importantes et les plus délicates; et les réflexions que j'ai exposées dans le n^ 965 ^ me portent à croire que leur considération peut contribuer beaucoup aux progrçs de la science du calcul,
A lA Théorie des s tri te s. 391
Soit pour' exemple f^=v"*; lorsque n est un nombre entier , on a ^ quelle que soit m ,
mettant pour [i??] et [;n— n] les expressions données par les for« mules du n"", 1071 ^ on trouvera
Ce résultat est susceptible d^une vérification immédiate , en s'assu* rant qu'il rentre dans ceux que Ton connoît pour les cas o\x n est un nombre entier positif.
Si Ton fait ;7z= 1 1 n = 7 9 il viendra
d v:=^y vdv p=
en observant qu'entre les limites o et i ,
* étant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est i ( n"^. 964 ); C'est ainsi que l'on parviendroit à Téquation primitive de la courbe correspondante à l'équation différentielle
yd*v=iy y dy ^
dans laquelle dv est supposée constante. Au moyen de la valeur précédente de d^v^ on la transfbrmeroit d'abord en ^
V y vdv /""^
, u. ■ =L^V dy\ et quarrant ensuite chacun de ses membres , on
• v^dv
obtiendroît "^^ — r=Lvdyy d'oh l'on concluroit ,
39^ Ch. IIL Application dv Calcul intégral
i075« L'interpolation dont nous venons de donner un exemple ; s'opère facilement sur toutes les fonctions qui sont données par des intégrales définies ; et elle fournit en même tems des expressions fort simples des différentielles de cenaines fonctions du genre de celles que nous avons examinées dans les n"". 953 et suivans : de l'équation
Ip ] =^fdx (^ ^ - ) > par exemple , on conclut sans difficulté les suivantes ( note du n""; 552 }^
''•[?î=*/''*(l;)'(lli). <P.|>']=«V2«(li)'(lli)*,
^.[,']=«Vï.(ll)'(lliy.
, hts différences s'obtiennent d'une manière analogue , en observant que A'fX dx=fA'(2Cdx)y il vient alors
.v[,WHlj)'(lj-.)'.
en supposant que A/r 3= i.
Nous ne nous arrêterons pas à donnet les formules qui répondent aux intégrales et aux sommes de la fonction proposée ; mais nous terminerons cet article en remarquant que le procédé qu'il contient s'étend à toutes les fonctions que l'on peut obtenir par le moyen des intégrales définies, et par conséquent ^ toutes celles dont nous nous sommes occupés depuis le commencement de ce Chapitre. C'est en ramenant à des expressions de ce genre la fonction a:"", que Laplace .. en a donné les différentielles et les diâërenees par des formules tr^s-
élégantes et que nous ferons connoître , lorsqqe nous montrerons I9 manière d'appliquer len intégrales définies à l'intégration dps équations différentielles et aux différences.
Recherches des 1076. Lorsque /i est un nombre fractionnaire , l'intégrale
valeurs des inté^ / I\''
grales définies. fdx(l-j^ Sur laquelle nous sommes tombés en cherchant l'expression générale de [/* j , est du nombre des transcendantes dont on
ne
ne coanoit pas la nature, et qu'il est très-difficile d'obtenir par approximation \ cependant il* suit du n"". 964 , que dans le cas
oîi p = jf on a, entre les limites o et t y/dxïÇ-y^jy/^^
valeur très-simple , mais qui ne convient qu'à Tintégrale définie : l'Analyse n'bffi'e jusqu'à présent aucun moyen pour arriver à la valeur exacte de la même intégrale prise indéfiniment. La formule
1 - j n'est pas la seule qui présente cette singularité ; Euler
en a trouvé un grand nombre d'autres , mais par des méthodes très« particulières et très-diverses« On feroit un' volume entier , si l'on entreprenoit d'extraire les nombreux Mémoires qu'il a publiés sur cette matière ; nous ne pouvons exposer dans cet ouvrage que les principaux résultats qu'il a obtenus^ et donner une idée des ' méthodes les plus générales dont il a fait usage pour y parve;iir: rincfication exacte de ses Mémoires^ que l'on trouvera dans la Table ^ suppléera à ce que nous omettrons. *"
Les moyens qu'a employés Euler y pour trouver la valeur des inté-* grales définies , peuvent être rangés en trois classes \ dans la première sont ceux où il développe en tout ou en partie l'intégrale proposée. Il arrive souvent que la substitution des limites de x , simplifie le résultat et le ramène à une série dont la fonction génératrice est connue ^ ou à une autre intégrale dont on a la valeur. Il est visible que ce moyen peut être utilement modifié par le secours des transformations. La seconde classe comprend les relations nouvelles qui se déduisent des produits et des quotiens des intégrales définies'; à la troisième appartiennent tous les résultats qui s'obtiennent en difierentiant l'intégrale proposée , pat rapport à des quantités qui n'y étoient pas d'abord supposées variables. Nous avons déjà montré dans le n% 506^ que ce moyen peut mçner à des résultats difficiles à obtenir â priori f ,
1077. On voit à la simple inspection des cas particuliers de y , rapportés dans le n*. 391 , que ces expressions
Kl — 3^
se réduisent à un seul terme lorsqu'on les prend entre les limites «=ï=o 4ppmdiçp. 'Ddd
394 Ch. III. Application vu Calcul intégral
et ;r = I ; Tare A devenant ^al à la demi*«cirçonférence , on a ces deux suites
y* dx t Ç xdx
y' x*dx i.T /* x^dx 1
y"* x^dx l«39r •• x^dx r.4 ,
y^AT^^jf '>3*y^ . Px^dx a. 4,6
px^dx 1.3.5.7^ n x^dx 1. 4.6.8
.7/7-;^^" ^-4-6. 8. 2^ JVl^^~J^y^'
etc.
et d'après le tableau de la page 40 du premier volume ^ on a en général
f* x^'dx I.3.5....... (ir — ^l) T
V^7^^^^^ 1.4.6 ir 1
d'ôii il suit
. Ce dernier résultat en fournit une infinité d'autres de mêoie espèce , lorsqu'on y fa}t x=^ ; par cette transformation on obtient
et posant pour abréger xur-^- n — i ==/> , il viendra
— '- — -ri-»' - ■ — ^^^.^^^^.^^>.^_____^^^^^^..^^^__^
(*) Déionnais l'exprestioti fA.fBxfC stra celle que nous employerons au lieu de {fA){fB •){[€), et qu'il fitudra bien distinguer itfA/S/C, équivalente à/(^(/Ba-C))).
A LA Théorie des suites. 395
les limites de [ étant encore les mêmes que celles de x , parce qu'on suppose que Texposant n est positif. Cette dernière formule renferme des valeurs de produits dont on ne peut intégrer séparément aucun des facteurs; pour en donner un exemple ^ nous prendrons /y = o^ /;i = iy et nous aurons
y* x'^dx '' > en y faisant x = ç*, se change tn Vx—x*
a / ■ ; et Ton en trouve les valeurs entre {=0 et {= i par
ce qui précède.
A Paide de ces résultats on parvient à des séries fort simples pour l'intégrale
/^x!^dx Cx'^dx , , — r
= / jr ^ { I *•+— i AT* 24. x^+ etc. } ,
en substituant au lieu des intégrales
y'^x'^dx poi^^dx f^x'^^dx
leurs valeurs prises entre les limites ô et 1, Si Ton fait'^ par exemple , si = o , on trouvera
V^l__jç4 , 1 4 4.16 4.16.36 4.16.36.64
Nous renroyons au n*. J03 , pour la valeur de l'intégrale
vr^
9 prise entre les limites 6 et i»
1078. Les formules de réduction ^ rapportées dans le tableau de la page 40 du premier volume, donnent un grand nombre de
Ddd i
39^ Ch. III. ApphîCATion du Calcul intéùral
résultats analogues aux précédens. On a par celles qui sont mar^ quées II et III,
^ ^ —{mq^np)
/»-A(.-x-y ='"""~"'^ fy-A-^^C -»:•)>
et entre les limites «=0 et «=t , cela se réduit à
\ ^ Çmf+np)
' mq+np
La seconde de ces formules ramènera de /**"</ ;r(i — ji:*)
i fx''-*dx{ I — :r') v *, et la première conduira de fx*"^^dx{\ — a:*)
à Jxdx(t'—x') ^ ,, =n', ou à fdxÇi^^x^) =- , selon que m sera
paire ou impaire; il n'entrera donc dans l'expression de l'intégrale
fx'^'^dx{\ — x^) * que la seule transcendante it. On trouvera sans peine que
yi" '^(,1— ^0 =;=7 — r-^ TT^ ^^ T—Tf zfx^ 'dx(x—x^) ,
et comme on à rû dans le h^ précédent y que si f^ est impaire
et que si /« est paire
r^n^ij^f àN^*C^""^)(^'^4)* 6.4.1
{m — i)(/7i — î)**^ ••47. 5*3 il s'ensuit que dans le premier cas
' («B+ar— i)(m+ar— 3). • .(w+^C^+O* (»^0{'»~3)* • •6»4'a a *
et que dans le second
A LA TïiEORIE DES i 1/ I T E S. 397
On peut multiplier ces formules autant qu'on le voudra. Si Ton
à. par exemple , n =s: 3 , ^=r— -, ^ssr— -, on ramènera / . . y 3 ? 3
les deux i^ntégrales
/*«-»^ar(i-^;r^/ % fx'^'dx^i'^x^) \
aux six formules
parmi lesquelles îl n'y a qu'une seule transcendante distincte. Par des comparaisons semblables à celles que nous avons faites . dans le n"". précéd. Euler parvient aux relations suivantes
te
/»*'"+»</* /» *'•+ V* 1 J'C 1 ■ f* xdx Kl — *' K(i — x^y v(i — *')•
Les quantités ^, S , C, A\ B', C, ne contenant point n,\ti équations ci-dessus subsisteront encore û Ton y met à la place de 3/1 un nombre quelconque ; en écrivant x — i , à la place de 3/» dans la première , et dans la seconde , et x— >i dans la troisième , la com< paraison des deux derniers résultats donnera
/* xix (^ âx f^ xdx
De ces trois résultats ^ Euler en tire encore d'autres ; en y faisant :r=^9 n étant un nombre quelconque , et posant nK^^m.
598 Ch. III. Application DU Cai^cul intégral
1079. Puisque la formule fx'^^^dx^ 1 — a?")" peut toujours se ramener à une autre dans laquelle Texposant de x^ hors de la parenthèse , soit moindre que ;z ^ et celui de la parenthèse une fraction négative , il suffit de considérer les transcendantes contenues dans
l'expression fx'^'^^dx{i — x^^y > en y supposant itj— i <n et /></r, les nombres m^ n^p étant d'ailleurs entiers et positifs* Si Ton fait d'abord i— ..;t"=y*, on aura
d'oh il résultera
/at— *^jt: ( I — X» ) « =— /y^*^j^(i— y') " j mais en obser- ; vant que les limites ar =0 et xr=z i , répondent à ^= i , y=^o y on changera le signe de la seconde intégrale en changeant Tordre de ses limites , et Ton en conclura que -
lorsqu'on prend Tune et l'autre intégrale entre les limites o et i • . Rien n'empêchant qu'on n'écrive dans le second membre ;c à la place
de j^, on voit par là que l'intégrale fx^^^dxÇ i-^jr") « , prise entre les limites o et i , conserve la même valeur lorsque l'on y permute les èxposans m et pi si donc on fait pour abréger^
f?— rt 172— -/I
fx^'Ux(i^^'') ^ z:zp(m,p), fx^'dx{i^x'') « ^P{p,ni)^
on aura cette équation remarquable -
Maintenant en faisant usage de la formule II du tableau de U page 40 du deuxième volume ^ on aura
A LA Théorie des suites. 399
substituant m à m-^n, il viendra
d'oïl Ton tirera
En répétant la réduction que présente cette dernière équation ^ on obtiendra
m (jn+ri) {m+xn) .(/w+wr) ' *
en posant (i — :c') ^ =-Sr; de même
Or , plus le nombre i augmente , plus le rapport des différentielles.
approche de l'unité qu'il a pour limité } il en est de même des inté* grales ^ puisqu'elles sont prises dans la même étendue fou sont com« posées du même nombre d'élémens ( n% 471 ); passant donc à cette limite y en supposant z infini^ on aura
/jt:"*"*rfA:.-Sr^(^^(/yi +/>)(/»+/;+»). ♦ • r (r+«) , ^
remplaçons à présent r par m+q^\l Tiendra
P(/n+99P)~H^+^) ^X^+l+pX^+l-^P+n). .. ^
équation dont le second membre demeure le même^ lorsqu'on échange entr'elles les lettres p et q. Il suit de là que
P^'^ + lfP) ^i^ + P^I)
Les équations (i) et (x) renferment implicitement toutes les propriétés que nous avons à faire connoître relativement à la fonction ^ ; mais avant d'entrer dans ce détail 9 examinons les cas dans lesquels cette
p^m^n) — — , et en vertu de Tëquation f(m^p)=p(p^m) , on en
400 Ch. IIL APPtïCA TtON DU CaLCVI IITTÈaRAL
fonction a une valeur algébrique 9 ou ne dépend que de la circohfé^. rence du cercle*
1080. Lorsque pzsm ^ on z seulement /;c*"V:c , d'oîi Ton tire
m r conclut que p{n,p)=z^ , ^^ , (jj^
Quand m'{'n^=p^ on rend l'intégrak 1 ^ ; — ration*
nelle , en faisant — ■ =s^ ; d'où il résultç
avec ces expressions on obtiens
Les valeurs de { qui correspondent à 4;=o^ et à x=i ^ étant o et
qui 9 d'après le n*. 373 ^ ne dépend que des arcs de cercles et des logarithmes. L'expression que nous en avons donnée se simplifie ))eaucoup lorsqu'on Pétend entre ces limites ; elle se réduit alors
à ■ ^ ainsi que nQu$ le verrons plu$ bas. On conclut de là
que ç (/«,«— OT)aBs»(a— m, «):= — — -— . . . , (4),
12 sm
3<>. Si dans réquation {%) on fait q^ssu-r^m-^jp ^ on en déduira
changeant
A LA Théorie des suites. 401'
changeant ensuite dans la même équation (2) y p tn n-^m — p , et q en n — m^ elle deviendra
multipliant cette équation et la précédente ^ membre à membre , et supprimant le facteur commun p{m^n — m—p)y on aura
p{m,pyç(m-hp>n — m — p)p{n — p^n—m) = f (« — PyP)^{^y^ — m)<p{n^n'^m'^p).
Or y d'après les équations (3) et (4)
f(m+pyn''^m'^^p)=z
nsui -
nsm- —
^{^--PyP) =
nsin — n
substituant ces valeurs dans l'équation ci-dessus , elle dpnnera
w sm —
nf/x — m— /^jsmr — sm —
cette équation nous fait voir que la valeur p(^n — p^n^^m) ne dépenid que de celle de ^(^yp) et des fonctions circulaires. Legendre , à qui l'on doit cette remarque , et les suivantes , regarde la formule p{n—p^n—^m)^ comme le éompUmtnt de ^ ( ^ 9/' ) > palace que les exposans de l'une réunis à leurs correspondans de l'autre, font la même somme n.
L'équation (5) nous conduit à deux résultats particuliers qu'il est boi^de connoitre : lorsque p=z:m ^ on a .
icrCOt'
n tim,m)9(n^m,n^m) = — ———..... (6),
appendice, Eee
40» Ch. III. Application du Calcul intégral
«t qua^d m — n-^^py il vient
9{n^ip^p)<p{n^p,ip}=: —-•.... ..(7)-
np sin — — n
L'équation ( 1 ). peut aussi se tr^^sforn^er en
en y changeait q çn n^m; t% Q^ttant «Iqrs les. y^U^rs de; formules du second membre y on obtient
9imyp)(p('m + pyn'^:ni)== -j- (g);
n p sin
la supposition de p=:m change eettie dernière en
p{m^m)ip{xm,n — /w ) = -— - (9):
nr^sin
mur n
ce résultat étant comparé à l'équation (7) , conduit à
9(.P,p) — P{n^xp,p).XQOS^^..^.. (10).
Maintenant que nous avons fait dépendre les valeurs de
p{n—p,n-^p)y Pin-^ip.p),. ^in—p,%p)y de celle de p{pyp)y ou de ^.{mym)y il faut chercher à simplifier ,
autant qu'il est possible y la forme de cette fonction.
f tq8i. Pour cela faisons, i — ^"=-~ l il viendra
4Jk:*
v^ii:^*
d'où on tirera
an
A LA Théorie des suites. 403
Les limites de Tintégrale en ^ s'obtiennent en considérant Téquation 4 :c"( I — x") = ^\ si Ton y suppose a: := o et :if = i , il vient , dans l'un et l'autre cas , z = o ^ ce qui ne donne que la même lifUite ; mais on en trouve deux en prenant l'intégrale relative à at en deux fois^ savoir y depuis :r=o, jusqu'à la valeur de \^, qui répond à [=^i 5 et depuis cette dernière jusqu'à :r=i , d'où résulte {=0 : or la valeur
de :«:, qui répond à {=1^ est *"=î^> ow xz=:z — . Prendre ainsi l'intégrale I- , depuis jc=o jusqu'à A; = -;^,et
ensuite depuis x=: jusqu'à x=^iy ce sera la même chose que
mis I -
jusqu'à o, ou prendre le double de sa valeur entre les limites H=Q et {=1. Il suit de là que
K^,^)=2 ^ hjr—^ = ^ "/w ^{11) i
puisqu^l est indifférent d'écrire x pour i. '
Ce résultat ramène à un grand degré de simplicité les valeurs de
^(ï>0» ^(iji)» ^(3>3)j etc.
Si on compare les équations (6) et (11), il en naîtra cçtte relation remarquable
mer
J Vi^a^J I
l^rCOt
Si Pon feît I— a?"=a;"{% on aura une transformée qui , dans le cas oîi n sera paire ^ tt o\x m + p:A^^n^ donnera
*(î«r-/»,w)==/XJ^, Ci3\
La transformation que nous avons opérée plus haut, par la
Eee 2
404 Ch» m. Application du Calcul intégral
. supposition de i — *"=-^> nous donne pour le cas de /z paire ,
et lorsque m-^p=^in^
' =Z ni (14);
le dernier résultat s'obtient en écrivant dans le précédent x* au lieu de a; : 7» étant toujours paire , on auroit immédiatement
P(m,irf)=l ; *.....•.( 15).
J Vi — x^
' On obtient encore une transformée utile ,*en faisant i — a;*=^ç'*;c**,
ou *"*==: ^ + 7 V^ I + î% lorsque «i + 1/^ = «.; il vient pour ce cas qui suppose p <i{ny
rintégrale étant prise y depuis {=0 ^ jusqu'à { infini. En combinant ce résultat avec Téquation (10)^ et changeant /^ tn m^ onr trouve
li»
p{m^m)=% '^ cos 1-~= (17)*
et en comparant celui-ci avec l'équation (11)9 on ^n déduit
I '=COS / ^ ^ '.. (ï8),
Jy i — x^ «•/ v^i + ç»
en observant que m soit toujours moindre que.-n.
Cette dernière équatioji nous offre une particularité remarquable. Si l'on fait dans le premier membre ji:=i-^^% et ^=ry* — i dans le
A LA Th éO R I E DES SUITES. 4O5
second , on obtient également pour l'une et l'autre intégrale J l j/ n(n — i) n(n — i)(;ï— 1) .
^ y^ n i -y^-^--^ — ^y— etc.
quand l'exposant -/i^ est impair; piaîs la première doit être prise, depuisy = o, jusqu'à\y=i , et la seconde, depuis ^=1 ,. jusqu'à j? infini. Il suit de là que si l'on désigne par P le premier, résultat , et par y le second , on aura
P = /»'cos ,
c'est-à-dire, que les deux parties de la même intégrale sont entr'elles
dans le rapport de cos à i.
Les équations (13) et (17) combinées donnent
^(m^m)~ 1 ^ ces (p(^ /*—/»,/») (19);
et comme en vertu de l'équation (i), la fonction p{in — m^m) est la même que f(fn,^n — /w),"il est* visible que dans le cas oh n est paire , toutes les valeurs que peut prendre le second membre de l'équation ci-dessus répondent à celles de m^ depuis o jusqu'à ^/z. Si l'on met In^-m, à la place de /rz, dans l'équation (19) , il vient
d'où on déduit
f(/w,/72)=2 '^ cot (p{jn — /», 7/a — m) (lo),
équation qui donnera la valeur de ^C/zr,/»), pàwt tous les cas, lorsqu'on la connoîtra pour ceux dans lesquels m ne surpasse pas ^^n. Si dans l'équation (13) on change aussi m en ^/z — /7z,on aura en vertu de l'équation (i) , celle-ci
JvTV^ J VIT? ^ ^'
4o6 Ch. III. Application du Calcul intégral
dont le second membre résulte immédiatement du premier ^ en écrivant - au lieu de {; et en la comparant à Téquation (i8) , on en
conclura la suivante
, = cot — / 7 — .
Les relations multipliées que nous venons d'obtenir diminuent
considérablement le travail qu'exige l'évaluation des transcendantes comprises dans la formule /-^ ^ ; mais elles ne sont pas les
seules qui puissent avoir lieu. Ce n'est encore là que les premiers apperçus d'une théorie qui doit .s'étendre à beaucoup d'autres formules , et pour laquelle il faut peut-être de nouveaux signes ; car on ne sauroit voir dans ce qui précède et dans ce qu'a écrit Euler sur la même matière , que les résultats de tentatives nom^breuses, dirigées sans doute avec une grande sagacité ^ mais n'ofirant pas encore cette liaisoQ et cet ensemble qui constituent les méthodes directe^ et générales*
1082. Reprenons maintenant la discussion des différens casque peut présenter l'évaluation de la fonction 9 {m,p)y pour une même valeur de n«
i"". Soit n=2; nous aurons seulement ces trois fonctions
et d'après les équations (3) et (4) ,
2Sin —
. 1^. Soit /K=3 ; nous aurons les fonctions
A L A Ta â O tt I £ DES SUITES., 4O7
en excluant les fooetions (^(i^i), 9(193)9 etc. qui sont identiques avec 9(2» x), 9(3, 0> ^*^* L'équation (1) , lorsqu'on y fait /7z=i y /^=i y ^=s2 y donne en changeant ^ ( i ^ i ) en ^(z^ i) ,
d'oii on tire la valeur de ^(1,2) 9 au moyen de celles de ^(i^i), 9(1,1)9 9(39! )• Les deux desnières sont connues; Tune dépend de la quadrature du cerde s en vertu de Téquation (4) , et l'autre est décermloée par l'équation (5) : en représentant donc par A la transcendante f( I9 1) 9 et iaisani pour abréger
