TT
=«69 nous aurons
3^in
ou à 1
-ir 'il
» en vertu
f(i,i).=i^, d'oti l'on voit que tons îes cas ^pie p«ut présenter l'intégrale
I ^ » ne dépendent que de la seule transcendante
des équations (ii) et (i6) , et comprise daos les fonctions elliptiques ( n»'. 404,f4ix, 505).
3°. Soit n=z4 ; nous aurons les dix fonctions
K4*ï), ^(4»i)> *(4»3)> ^(4»4)r réquation (x)' donne ces relations
»(ï,OK3»i) = *(3»0?(4,0. ^ - ^(i»0^(3>î) = *(3»0?(4»»)- On a par l'équation ( 3 ) les fonctions dans lesquelles le pretmer
4o8 Ch. IIL Application dv Calcul intégral
nombre est 4 ; Téquatioa (4) ramène à la quadrature du cercle toutes celles dans lesquelles la somme des deux nombres est égale à 4 : il ne reste donc à déterminer que les quatre fonctions
^ri^OV ^("^fO/ ^r3»2j, 9(3^3), et au moyen des relations ci- dessus ^ on fera dépendre les trois der- ' nières de la première ; mais nous observerons que les équations (6) et (7) donneront immédiatement P( ifj) par ç(i , i^ , et p(x^ i) par 9(^1^1^. La seule transcendante ^(i^i ) suffira donc encore pour* ce cas; elle se ramène ^ d après les équations (11) et (17),
à 2' /- ■ et à / ■ ■ , et rentre ainsi dans les transcen-
dantes elliptiques. En désignant par j4 , comme le fait Euler , la transcendante ^("x, i^ , et par « et iô les fonctions p(} , i)\ (p(i^ z) , qui se rapportent à la quadrature du corde , on formera ce tableau
/Ç". Soit n=5 ; la fonction fC^fP) présentera pour ce cas quinze formes diverses ^ en excluant les permutations données par f(p^ m)i réquation (i) fournit pour ce cas , les relations
qui, jointes à celles que nous avons employées pour le cas de /z=4; donnent le moyen de déterminer àx, fonctions , à quoi réunissant
les cinq fonctions de la forme 9( ^yp)^ égales à - , en vertu de
réquation ("3^, puis les fonctions ^(^ 3,1^ =« et f(4,i)==&^ dépendantes du cercle à cause que m+p^y,i\ restera seulement
deux
A LA Théorie des suites. 409
deux transcendantes irréductibles. Choisissant les fonctions * ^("3,1^ = ^, ^(^1,1^=5, on aura le tableau suivant
*r5)0=ï, ^O^ *>)=?» <^(U^)=ly ^r5>4;=i» ^(U^)=\j
?r4>0=<, f(4t^)=-^» 'pC4>3^=^» '^^'f^>^^~TÂ*
*C3»0=^, *C3»i-)=^f fC3»3-)=-;^>
Ce tableau montre que Ton auroit pu également prendre les fonc-' tions p (XfX) et |^( \^i ) pour y rapporter les autres. Les équations (6)^ (^) et O^'^)) offrent les moyens de rappeler immédiatement
^(A*A)t 9(4*^)* ?C3»0 à *Ci,i;, 9(îy3)t <P(Ay3)> 9(1,1) k (p(i,i);
et d'après les équations Ci i^ et C 17^ , on a
En continuant cette énutnération , et ne faisant usage que des relations particulières que fournit immédiatement l'équation (x) ^ Euler a
trouvé que les difFérens cas la de formule /- -, pouvoient
VCi—x'^y^ se ramener en général aux suivans :
ç^n— x,i;, ^(n—y,^x)^ P(^— -4^3)9 ?(^/2— 5,4;,etc.
dont le nombre, lorsqu'on exclut comme on le doit les permutations
des exposans /w et/?, est 9 quand n est impaire, et 7/2— i ,
Appendice. Fff
4*0 Ch. IIL JpJ^LiCATION DV CALCUL ItfTÈGRAt
quand n est peireb Dans le premier cas , tes remarques de L^endre rapportées précéd»iment> fonmiasent le moyen dtexprimer l^s di« Terses tcanscendantes ci-^es$us par d autres de la forme fCm^m), et dans le second elles réduisent le nombre des mêmes transcendantes
a -, o» , en faisant dépendre ^('iTiy/R^ de 9^7 /z — ^yj^ — ^)
par l'équation (lo). Avec ces formules , Legendre a ramené aux transcendantes elliptiques 9 celles qui répondent aux càs oii nf:=:j ^ n=6 ^
1083. Pour obtenir par des séries convergentes la valeur de Tintégrale /-^ , Euler la partage en deux parties. Tune
prise entre les limites a?=o et «?"= ^ , et l'autre entre x^=s: | et a?= i ; nommant* M la première , P la seconde , et. formant la série par
le développement de ^ , suivant les puissances ascen-
dantes dt x, il trouve
p I ri n^-^ I ;ï^!— ^ xn^^p 1
^M I m. in n+m ifk An m+m
n—p xn—p^ ^n^p i ] . -- - — . ; h etc. \ ,
résultat dont chaque terme est moindre que la moitié de celui qui le précède. Faisant ensuite i— ;ip*==y% il change la formule pro*
posée en ^^fy^'dy ( 1 —y* ^ /• . ( n^. 1079 ) , qu'il faut prendre entre/ les limites j^"s ^ et j^"» o ; .et l'ordre de ces limites étant
renversé, il vient P=fy^^dy(\^y^) ^ , ou
./? ' xn n'\'p %n 4/2 m+p
n — m xri'^m rn^^m i . ^ 1
puis enfin fi( m^p ) = A1+P.
A LA T Jt éO R I E DES SUITES, 4II
Lorsque m=p , les séries M^P devîennciit identiques , et Ton a
seulement
2 f I n — m 1 n-^m in — m i ff /«./») = \ 1 • — ; — H — • — ; —
•4 .,^-*,i -4-etc.f.
Soit ppur exemple la fonction 9(1^1)9 de laquelle dépend p(mjp)f lorsque 0=93 ; on obtiendra
+ ^.7X.7j • ■j^.7y+ etc. I
De cette valeur et du tableau qui contient toutes celles de fCm^p) ,
pour le cas où ;z=3 ^ on déduira f(^9 1 j=a,i25*i , f(i , 1^=1,10618 , ^fi , i^=o,6844ç. 1084. Montrons à présent comment on peut s'assurer que l'intégrale / — ■',■ 9 prise entre les limites ^=0 et x infini , re-
vient à — . On a «n général ( n\ 375 ) , /-
nsm — n
- ^^ — /^ ^sm— N
K ï— i^pcos — i-s^+'^sua — •arcl tàng=: -• J
^ I— xcos — y
-C05--— 1k I— 2Jccosi-+a;*+-sin-— .arcl tang:
*» tf«^ t y/-—— /" xsin^ 'N
-COS---IK 1— 2JÇC0S— +x»+-sin-i— .arcf tai!g= J
V T-**cos— -x^
ta«g= J
i— ^ccos — -^ ,
41 1 Ch. III. Application du Calcul intégral
r désignant le nombre impair qui précède* /z; etsi/i est impaire , il faudra ajouter à cette expression +-l(i+^), ou K^ + ^)>
selon que m sera impaire ou psdre. On voit par le développement cidessus que Tintégrale proposée s'évanouit lorsque xz=io ; il suffit donc de trouver ce qu'elle devient quand' on y fait x infini, et pour cela nous allons considérer séparément la partie logarithpiique et la partie circulaire.
^^ quand x est infini , |/^ i — i a: cos +^* . se réduit à
X — cos — y et Ion a par conséquent n
1 \/^ I — 2;cC0S |-x*=l( j: — cos — )=1;k'+1( i cos — ) = l;r.
à cause que - cos— s'évanouit. Si , pour abréger , on pose -= • ,
X Tl fi
la réunion des fonctions logarithmiques formera la série
x\x { cos 172»+ cosima + co%^m» . + cosr/7i« "i
avec ^appmdiu =i= ^ 1 ( i + ^ ) , si n est impaire. Cette série est
comprise dans celles dont on a donné la somme tC 950. Pour
employer les formules de ce n**. il faut y changer r en r i
q tu m» y faire £=2 et p^=^mu ; on trouvera
c^r>c.^ ^sin(r+i)/w« lia? sin(r+iW U
5cos rmu'=:^ i : , — j^cos rm «s= î: i— ^
xsinmta n - sinm» n *
Dans le cas où n est paire, on a r=^n — i ; et le résultat que Ton vient d'obtenir se réduit par conséquent à zéro , à cause que m jest nécessairement un nombre entier.
Si n est impaire , il faudra tenir compte de l'appendice ± — mais on aura alors r=/i — i et
2I AT sî n (jT — I )mt» I X sin (wtt — mai) 1 x
n sin/7/« n sinma» /z*
A LA Théorie DES suites. 413
or , sin ( /» 9r — mo» )=±sm ma, selon que m est impaire ou paire j il viendra en conséquence
i\x ^ 1 ^ sin /Tz â» , 1 j;
•— 5 cosrf»â> = =f= : dt — ,
n. n sin /tz a» n
ce qui se réduit encore à zéro^
La partie logarithmique de l'intégrale cherchée s'évanouissant ainsi dans tous les cas , il faut examiner ce que deviennent les fonctions circulaires qu'elle contient. Leur terme général est
- sm rm »• arc( tang = );
n \ " I — Jtrcosro» /
l'arc indiqué s'évanouit lorsque x=o; il est égal au quart de
la circonférence quand x = 7 , et il a pour tangente
= — tang rtù y quand x est infini. Dans ce dernier cas il
COSTû»
t%t donc égal à nr^^r» : on a donc pour la valeur complète de l'intégrale cherchée^ la série
-{('^— «^sin/ww+t"^— 3«^sîn3 m»+CT— 5«^sinç/72«+ etc. } ^
qui se décompose dans les deux suivantes
- w { sîn /» û) + sin 3 /w » + sin 5 772 « + etc. } ,
— — { sin /w « + 3 sin 3 /w û) + 5 sin 5 ;w « + etc. }. -
La limite de la première , déduite des formules du n"". 950, donne
2 ^. 9r I — COs(r+I )/Wft»
-9r*ysinrzr2« = r-^ j
n n sin m a»
celle de la seconde se tirerait des formules du n"". 909 ; mais on y parvient immédiatement en difFérentiant , par rapport à « , l'expression de «S'cos r 772 0 9 rapportée plus haut : on trouve ainsi '
— /w { %\xim » + 3 sin 3 /w « +5 sin 5 772 «> + etc. } = ^(r-^r I jcos('r4- 1 )m(A msw( r-^i ) nn»cosma
2sin;72» i(sinma)* *
414 Ch. III. Application du Calcul intégral
d'oîi Ton conclut
'^ . ^r+i )cOsf r+T >rw» sîn^r+i );w»cosm« Jrsinr/w» = — .i , -| 7-: -r;
rcos^r^i)iw« sînrwc»
Maintenant si n est un nombre pair ^ on aura rss/r«— i ,
COS^'r+I^/MMS C0Sftm»=:C0S/»9r^
sin(^r+i^^« = sînOT^ = o,
. I— COS/W^ ^ , IZCOS/72 7
5suir/v» = : 3 •>rsmrm« = — ^ — : ,.
enfin
zv^. lu^ . IT I— cosiwir , 29 ncos/n^
— «>sinr/w«— — Srsmrmeà = — + .
n n n xsvamtè n xsin/7z«
j à cause de nm:=iir.
Lorsque n est un nombre impair, il vient r=sn—- x ,
sin fr+ i^/w« =sinf/w w^— /w«^=— COSi» wsîn /»« , d'où on tire
^(i — cos/v ^ cos/Tzo»^ «^/x — I ^cos in vcos met m ces m v cos m ^ fisiniHû» nsin;72<« nsin/n« ^
ce qui se réduit à — : , en observant que /i » = ît.
nsinaiéi
On voit donc que dans tous les cas , rint^;rale / 7--, prise
entre les limites ^ = o et a; infini , est égale à — : • ou à
/zsinmci
. mnr
n%\tL '
y ainsi que nous l'avons annoncé^ n% io8o.
A LA T a é ORI E DES SUITES. 415
.1085. Ce /ésnltat cdndoit à une sommatiori reiîiarquable. On a vu dans le n^ 1080^ que
llntégrale étant prise depiris x:=zo j jusqu'à x=^\ }'si on développe en série ordonnée suivant les puissances de a?, la quantité
■- , qu'on intègre après avoir multiplié par x"^"^'^^ %
et qu'on fasse ensuite « = i ^ il viendra
io86. L'intégrale /j?""'Vji; ^ i—ji;'^ '^ peut se développer aussi en produits indéfinis. On a trouvé dans le n*". 1079 que
/«""■'^xX (m+pXm+p+n)... r(r+n)
fx^'dx X m( m^n) ( r-^-p )( r+p+n )....
ce qu'on peut écrire ainsi
fx^'dx(i~~x') " r (m'\-p)(r'\-n)(m-^p+n)
fx'^'JxC i—x^J "
on rendra possible l'intégration de la formule qui est au dénominateur en faisant r^^^n^ et y entre les limites x-=o et :r=:i , on aura
far-'dx(ï^x') » =— ,
P d*oîi Ton déduira
jx ax{i—-xj " =——.——- . — ■■ -,- ■ r.etc.
4i6 Ch. IIL Application' nu Calcul intégral
On pourroit obtenir un pareil développement de l'intégrale x*^^^Jx( l'^x'' y^ et l'on auroit par ce moyen l'expression en produits indéfinis^ des produits limités qui composent le déyelop* pement que nous en ayons donné dans le n"". 1071. Il est visible que cette transformation revient à celle qui a été effectuée sur les^ puissances du second ordre dans le n''. 961.
Les facteurs du second membre du résultat ci-dessus étant grouppés dans Tordre suivant
I n(m+p) in(m+p + n) 'in(m+p+'^n) 4'i(m+p+'in) m * pCm+n)* (p+nX^^+^^X Cp + ^^X^ + 'i^y (P+i^X^ + A'^y
on en tirera par la supposition dem+/^=i2,
•^ ^ tn n^'-'^Tn /^ — ;» i^n — /w 1012 —/w
et mettant pour rintégraleyA:'"-*^a?(' i —x"") ^ sa valeur
«sm
on obtiendra Téquation ^
If
n sin
.etc.
de laquelle on conclura
. 7777r /TZT / 772»\ / 77i» \ / '"^ \/ ' ^^ \ ^
^ 772Cr TT 77ZT 72— «ÎTR
Si Ton change lare — en - — « — = t , on aura
n-'^xm m*T . . n^^im i 772 sîn -9r = cos — ; substituant , ou , au heu
il viendra
cos
de — , dans le produit précédent , décomposé en facteurs simples;
A lA Th JE 0 AIE IX ES SUITES* 417
cas — =9x1 1^ etc.
-TA-+T)('-ir)('+T)('-r)('+T)l'-T;
^^^^^mmm^^Ê^mt^'mmmÊmi^i^^mÊmi^mmm^^mmm^mm^ mm^mmm^mmm W^mm^m^Kmm^m^^^mmmm^m ^mmÊimm^mf^i^Ê^i^^'^'^^mm ^^f^^tÊm/IÊ^a^Êmm^^m^m^Êm^ ^^^^^m^mm^mmmmtm^i^Ê^mi^t»- ^^^^^m^^^^i^
2* 2.2«4.4.6.6.8etcA ;i* A 9«'A 25«*/ résultat qui se réduit à
lorsqu'on met pour - la valeur rapportée dans le n**. 945,
SI Ton fait ^^u^ dans les deux produits que nous venons
d'obtenir pour le sinus et le cosinus , on aura
cos.=(.-^^X'-^"X-;^.X-,^)-
ce qui revient à
■ - tX' + irX- - i;X' + iiX' - ^X- + ?;)'"•
La première de ces expressions met en évidence la propriété qu'a le, sinus de ^'évanouir toutes les fois que l'arc devient égal à un multiple de tt , soit positif, soit négatif , puisque les facteurs qui la composent s'annuUent successivement lorsque
«=7r, tt=— ^^ tf=2^, tt=— 2T, tt=3T, tt=— 3T, etc*
Il est visible que si l'on avoit voulu exprimer analytiquement cette
propriété , on en auroit déduit la même formule quç ci-dessus.
L'expression du cosinus satisfait de même auic loix que suit la
Apptndïcc. . Ggg '
etc.
41 8 Ch. IIL- Ai^PtiCATroN nu Càicvl i intégral
la marcMî de cette fonctioà , puisqu^il y à toujours un de %^
Z i + 1 facteurs qui s'évanouît lorsque u= =b — • — «■.
b'igrëssîon sur io8^. Les expression^ âddt nous nous occupons maintenant sont s^nuT^êrdcTa^^ ^^^ * Eulôr , qui en a tiré de nTSmbreuses conséquences : elles doijnent sinus en produits immédiatement les logarithmes népériens des sinus et des cosinus ;
indéfinis.
car en faisant u = , on en tiré
Isin = U+1 + l(i ^)+l(,___)
Icos:^=ï(i-^)+l(i-^)+l(i— ^)
172 \ »V \ on*/ \ XKTl^ /
SI l'on développe en séries , les logarithmes indiqués , à partir seuler
I — -7— j pour le sinus , et dfe 1( i ^ -) pour le
ion y \ 9/2 /
cosinus y on aura ^ en ordonnant par rapport aiup puissances de — y
Isin = 1/71+1(2/? — ^/b)+1(i»+/7î) — 31/1+1^ — ^18
xn
m^ / i i.il I \
— (-^ -I -4 1- 1 h etc. ]
-^1 — { — +. — I 1 1 t-etc. )
m'/i II ï.i \
4« M etc.
A JLA Théorie d.es s, vîtes. 419
mnr
Icos =l(/2 — fw)+l(B+/w)— il»
m* / 1 lit \
m* / 1 1 II \
mr / 1 I I t
etc.
les coefSclens des puissances de — dans i^es séries étant les termes de
en faisant usage de la remarque du n% 938^ ou par des procédés que nous indiquerons plus bas.
1088. Les mêmes expressions donnent les lucteurs des séries
A r— î : '. — — ; — + etc.
I — ^ j -. — I- etc;
qui sont en même tems les dé vdoppemens de sin u et de cos u ^ et ceux des expressions
Changeons maintenant uV^^i tnuetu en — « v — i ; il viendra
r-=-H +~ +.— * — '■^--^, h etc.
=1-1 tt— r"-l : 7+etC.
Ggg 2
420 Gh. III. ApPLlCATlOîf DU CaICVL ïHTàGRAt
On peut encore , à Taîde de ces foi;mules , décomposer aussi en facteurs Texpression — ; car on a
Ll )
Si Ton fait dans ces résultats j^=o , il viendra
ÇTT- /\ 15
=•" X' + :fX' + i&X' + ïë^-)"''
Multipliant cntr'elles les quantités c':ize" et ^dtwf, on aura
A lA T H é O R I E DES SUITES. 411
tt faisaiit pour abréger x+y=u , x—y=:v 5 on conclura de ce qui précède le développement en produits indéfinis des trois expressions
1089. Avant de reprendre la recherche des valeurs des intégrales définies y nous montrerons comment les expressions que nous venons d obtenir peuvent être employées à la somipation de quelques séries.
Soit i + Ji+Bi*+C^+D^+ttc.
= (i+«0(ï+i8î)(i+>î)(i + <''0etc.
on aura
j4=0L+li+y+S'+ etc.
B = ùLl^-¥-àLy + fiy + fij^+ etc.
C = £t^>+*iô/+ etc.
etc.
et par les formules du n*". 15S9 on obtiendra les valeurs de
S^=:a +j8 +y +{" +• + etc.
- J.=ct».+ i8*+>*+J'* + «'+etc. , S.—A^+fi^+y^+S'^+t^+ etc.-
etc.
Cela. posé, Texpression — du n*. précédent; donne
