Ç IV
III 272 9r'
54=— 4-—+—-+ etc. = ^
etc.
A LA'THéoRJE JPSS SUITES. 413
et Ton aura en général la limite de la série
I i II I
exprimée par la circonférence du cercle. Nous observerons que Ton peut faire usage de ces résultats pour simplifier les séries du
1090. Les formules qui terminent le n"". 10S8 étant traitées par le procédé du n"*. précédent , donnent aussi des sommations très« élégantes. On en tire xl'abord
puis
or il est facile de voir que
et qu'en y faisant x :±= »K — i , îj^=rr-*v k — i , on aura
cosr+ cosftt— *v) sini/sinv
i=cosvH ; = cosv+tang^f/smv
l+CO&U I+COSi/ ^*
\ ^ — tf /\ 99r* — tf* /\ 255T'— i^*/
4^4 Ch. m. Application DU Calcul intégral
Maintenant si Ton substitue dans Texpression cos v+tang ^«sin v i
au lieu de « , — , au lieu de v , — , et qu'on réduise en série
n in
les fonctions de z : savoir ^ cos — et sin • — , on obtiendra
TT IWT «-V* srV OT*
I + -^ tang — — ---^; TT7;;î" tang — ■
Xfl 2/Z XmJ^/l 2 •4*0/2 7Jt
+ ^^-7- + etc.
=(i + -i-Yi — f Y, +--I-Y, — L) ,tc.'
d'oh l'on déduira les sommes des séries
I I I I 5.= +-- ; — + etc.
CtCé
la première donne immédiatement
T nvK I I I t , .
— tang = ; — H — + etc.
xn xn ri'^m n + m yn^-^-m '^n + m
Nous aurons encore par les formules déjà citées ^
d'oîi
^r ^ ^-±^(1 + '"•^•^•^' Y '"^'^•^' Yx + ''^•^•^^' ) etc.
or
A ZA Théorie des suïtbs. 42y
or —
Si maintenant on fait jc=«V — i , f y=— »v V^— i, il en résultera
cosr — cos(i/ — v) sinwsinv , .
i i=:COSV — =cosv— cot^tfsmv
I — zosu I — cos«
\ u/\ Xnr^uJX %'7r+u/\ j^T'^uy\ 4T + tf/
et si l'on change v en ,*tfen — ^ puis que Ton développe
en série, suivant les puissances { , l'expression cos— +cot^sin— ^
. xn xn xn
on obtiendra
i+-^cot ^~^- Vrcot —
xn xn x.^n* x.j^.onr* xn
:+ "^^TTT + «^^•
«(,+XYt— ^Y. + -L Yi <-Y, +-^)etc;
\ /w/\ a/z — m/\ xn+m/\ ^n — m/\ j^^mf
et on en conclura les expressions des limites de
S =»— — -i- —— ■■ ■ ju M^« etc«
' m XTi'^m xn + m j^n — m j^^m
S = — • 4- -— ■ ' 4» ««• etc
" m» {xn-^my^ixn+my {4n—my^(4n+my *
été.
On aura en particulier
T rriT I 11 i I
COt = 1 ; — 1 ; etc.
^n xn m xn^^ni xn+m j^n — m j^+m Appendice ^ H h h
^i6 Ch. III. APPLICATION DU Calcul intâgral
1091. Nous conclurons de ce qui précède que I I I I I I I
m n — m n-i-m m-^^m m-^-m 'Kn — m 5/2 + /» I II
H 1 etc.
=( tang + cot T — J= ,
nsiti n
t i , I I II i
I II- H + etc.
= — I cot tang — J= =- cot - — ^
%n\ m xn/ ^ mT n n
n tang —
Si Ton combine deux à deux ^ à partir du second , les termes de U première de ces séries ^ on aura ^
" — — -+• ■■^ j .i* - s ■■■" y. ^ ^"T" eic»
. m*jr m n'-^m An^'-^m^^ arr^^m 10/2*— /»*
nsm ^ ' ^
d\)ii On tirera
«.„ — .— — = 1 — — -+ etc.
xmn%vci
En opérant de même sur la deuxième série , il viendra successivement
^ m'ïï' I xm xm xm
-cot — = — — etc.
I ^ mr 1 j ï I
— l » cot — = V- .4- +--- -+ etc.
2/»* xmn n ;2* — m* 4/1* — ^/w* ^ 9/i*— ;»' lô/i*— /»•
A LA Théorie des suites, 417
Soit «= I , et faisons m = — u V^i , nous aurons 1 4 + etc.
I cr «■ "
«(« — i) en observ-ant que ( Int. n% 37 )>
K«-iC« . + I ) ^i(e +t)
COt 02 T =
Lorsqu'on change u t,vi n dans ce résultat , on retrouve la série du n"*. 944 y et la limite que nous lui ayons assignée dans ce n"".
1091. En développant 9 suivant les puissances de ;»^ cbaquç terme de la série
r+ r+ — rr+-r-z: + ^^^^
I — /w* 4—/»' 9— /^- 16 — /n*, et désignant par 5 — ^ "^ 7? ^ ^^^* ^'^ limites des séries
I H — - + etc. I + -r + €^c,
on trouvera
-i . -^-cot/wTrsi*-^ + T^S ^ j^in^S-\ + etc.
mais on a par le n*". 949 ^ .
-cot-tf = ^ ^ --etc.
B^y B^y Bf^y etc. étant les nombres de Bernouili ; et par conséquent
— COt m T
Hhh 2
rj^S Ch. III. Application/ nu Calcul intégral
la comparaison de ce développement et du précédent donne S—= , S—=z , S — = 2 etc.
» 1.2 U^ 1.1.3.4 tt* I.2.3....6
comme on Ta indiqué dans le n"". 941.
1093. Si on écrit m , au lieu de n^ dans les formules du n% 1085 i on en déduira les suivantes
mT . mT /in — m\/ xn+m\/ ^ — m\/4«+m\
2/1 m \ m / \ zn / \ 4/2 /\ 4» /
sm
cos —
ui \ n /\ n /\ 3/2 /\ ^n
/n—m\/n + m XA/?— /w \A'' + ^ Y^^~^^ etc. \ m /\xn — m/\xn+m/\^ — m/{^'\-m)
=( Ji Y-^Y-J^Y il Y Ji) «c- = i (^Y J2 Y l^Y si) «c
OT \xn^^m /\%n+m JxAn^^m JxAn'^m /
. mnr
col
mnr
sec — 2»
mer
coscc
, cr . 2«2.4«4*6.6.etc.
en se rappelant que -== ;
^^ ^2 i.3*3.5.5.7.étc.
Cette dernière expresslofi se tire immédiatement de celle du sinus
qui en fournit beaucoup d'autres de la même espèce. En effet ^ on a
n . m-T -= — sin
\xn-^m /xxn-^-m /X^^^m /\ ^-^ni l
X m xn
et si Ton fait m=/z , on retombe sur la valeur ci-dessus. En prenant
IW . .* . - . TfiT I
— = ^ % u en resuite sin =5 sm ^ cr = — — . et
n xn yx
'T - 4.4.8.8. 12. i2« 16. i6.etc.
2 ^ 3.5.7.9.11.13. 15. 17. etc.
La substitution de la première valeur de — , dans cette dernière ,
conduit à
^^ 2.2.>6.6. 10. 10.14.14.18. iS.etc.
^*3*S*7«9« Ii-i3*i5«i7*i9*etc»
A LA Théorie des suites^ 419
Si 1 on suppose — = — • u viendra sin =sm -7- ^ = — et
' T 3I6.6. iz. 11.18.t8.24.etc.- 2 2.5.7.11.13.17.19.23.610.*
Ces diverses expressions de fer, peu propres à en donner des valeurs approchées 9 sont très-commodes pour en obtenir le logarithme : on a
2 1.3. 3. 5. 5. 7. etc..
.d*oii oa tire
» = 4(i — i)(i-^)(i-:;V)etc.
I,r = l4 + l(l~^) + l(t— ^) + l(t;^)+ctc.
développant en série les logarithmes des binômes , il viendra
lT = l4 —
