XÇ

— etc;

etc;

49 i.49* et posant pour abréger ;

^=1+— +— +— +etc.

B=i+-+-+~^ etc:

C=i+^+^+~+etc;

etc.

on aura

lx = l4-(^-i)-i(5-i)-i(C~T)-K^>-i)-ete

Si Ton pousse le calcul jusqu'au vingt-troisième terme de cette série;

on trouvera

Itzs: 1,4472988584940017414342;

ce logarithme est népérien ; il correspond dans le système décimal à

4$o Ch. III. Application vu Calcul intégral

En écrivant dans Texpression de sin — et dans celle de cos — , rapportées plus haut » n^^m ^ au lieu de m^ et en faisant attention que

sm i =±= cos • cos ^ = sm ,

xn zn xn ^ ' %n

on obtiendra les nouvelles fornoules m \ m /\ xn /\ %n J\ aji J\ An /\ 6n J

mv m/m — m\/ in+m\/ 4n^^m\^ 4n+m\/6n—m\/6n+m \ xn~n\ n A 3/* A 3>ï A 5/2 A çîS )\ 7» /

mnr TF n — m i(/ï+/w) 3(3«— /») 3(3^+^) cot = • — T. ~ -• — etc.

iwcr nr m l(ii2— m) 3(in+m) j (4^-^/71)

tang — = •—7 r* / \* "^ retc.

mnr 2 » / i'* V 3Ln V 4^ V 4» \ cosec = ( If-r-; — ]\—^ — A— ^J«^<^-

-j:=i.(-^ Y-^Y--ii-Y i^Y-jiî-) etc.

2/1 T\/2 — mj\n+m /\3« — m /\'^n+m /x^n-^m /

En considérant l'arc — • on auroit

IWÎT

sec

, mTT sm

m / xn'^mX/ xn+m\/ 4n^^m\/ 4n+m\

~ k\ xn — k A xn+k A 4« — ^* A 4^»+* /

A: T i \ 2/1 — k / \ 2«+ A / \ 4«— it /\ An+k sin ^ ^

etc.

et si Ton connoîssoit le sinus . le cosinus , etc. de l'arc — , <res

' ' xn

derniers résultats donneroient des valeurs du sinus , du cosinus , etc. mT

de l'arc

1094. Nous avons emprunté le secours du Calcul intégral ^ pour obtenir les facteurs du sinus et dix cosinus , d'où nous avons déduit ceux des expressions

A LA Théorie des ^uites^ 431

Euler y est parvenu dans son Introductio in Analysin infinitorum \ par des moyens purement algébriques ; mais la manière dont il y fait entrer l'infini , nous a fait préférer la considération des limites , em« ployée pour le même objet par Simon L'Huillier de Genève. En suivant la marche de ce dernier, nous commencerons par déduire quelques conséquences aussi simples qu'élégantes , du théorème de Côtes j ou de la résolution des équations à deux termes.

On a donné dans le n"*. 168 ^ l'expression des facteurs trinômes des formules jc^-ha" et^"* — tf"*} pour distinguer le cas oti l'exposant m, est pair , de ceux oîi il est impair , nous écrirons successivement ^m et i/w + I , au lieu de m. Cela posé, les Jeteurs de x**+ a*"*, seront tous de la forme

x^ — 1 axcQS K + a';

en faisant :r = a = i , ils deviendront de celle-ci :

2(1— cosx)=4(sin^A)% et on aura ;c*"+a*"'=i;

mettant pour x les valeurs — , -?— , etc. et extrayant la ra-;

cine quarrée de chaque facteur , on trouvera

y/T= i". sm . sm-^ -. sm«î — sin . . . (A).

2/71 2 xm X xm X xm x •

La formule *•"+* + af^\ outre m facteurs trinômes ^* — 2iixcosA + d% a un facteur réel du premier degré jc+<i, qui se réduit à 2, et il vient

I = 2"sin . sm . sin — . • . sin -...(5).

xm+i X 2171+ 1 a 2JW+I X 2/71+1 2 ^ '

La formule**" — a^"^ a un facteur a^ — a' et m — i autres de la forme x^ — 1 a x cos A4- tf*; en divisant par le premier on a un quotient

jt*"— + jc»"-V-i-x*"'""V +tf*"^,

qui se réduit à m^ lorsque a? = 4= i; et comparé au produit des m — I facteurs trinômes^ il donne

1/^=1" 'sm .sm— ^ -.sm— - sin IC\

432 Ch. IIL Application du Calcul intégral

Si Ton dégage de même la formule Jt»""*"* — /z"""*"*, du facteur x — a ^ on en déduira par la supposition de xz=:a=i y

y im+ 1=1 sm .sin .sm ...sin ...•(/?).

Z/W4- 1 2 xm+ 1 2 im+ 1 2 2/72-h 12

Le n"". 172 nous donne aussi la décomposition de Téquation jt*"*— 2rAr"*cos2^+r*=o, en facteurs du second degré , de la forme

X* — i^cos r — h 1 9 dans laquelle h doit recevoir toutes les valeurs

depuis 0 jusqu'à m — i inclusivement ; et en observant que

COS^ ^ = COS- i- ï-,

m ni

on aura x* — 2 x cos \ 1- i ;

mais alors iL faudra , si m est paire, pousser les valeurs de n jusqu'à m y et seulement jusqu'à ;n—^i dans le cas contraire. Pour c[istinguer ces deux cas , nous mettrons successivement 2m et 2/71+ 1 au lieu Atm^ et nous obtiendrons , en faisant x=ir=: i les équations

sin^ = 2 "-'sm .sm «sm .^sm .sm •••••1

2/72 2/7Z 2/7Z 2/rZ 2/77 '

• • sm-i ' .sm ^ «sm (E)

sm ^ =: 2* sm .sm .sm ^.sm- .sin ••

. mT-^P , /72T + ^ c

sm «sm (F).

109Ç. Les six équations. (A), (5), (C), (Z?), (-ff), (/"); faciles à obtenir , et déjà très-remarquables par elles-mêmes , conduisent immédiatement aux résultats que nous cherchons , en ob* servant que l'expression t'-à^jT* est la limite de

relativement aux accroissemens de /72 ( Int. n**. 3 2 ) > et en substituant

1 + , au lieu de x y et i— ,' au lieu de- ai dahs les fac-

xm xm '

teurs de «"■-b»»'".

Les

A ï A Tn é à R I E DES SUIT à s, 4)5

étant en général dé la forme «

Lèi5 iactéurs trinômes de l'expression f i + ^ — j +\i

se réduisent, à

1 { I-COS A+-^(I +C0SX)} = 1(I-<0SA)[ I +-^——-^ Y