IR

et mettant pour h ses valeurs > — ; -V- ^ etc.' on formera le

produit

4"( sin -Jlsu!-^^-)

fsin

l 4m*\. xm 2/ J l 4/» V xm xf )

•'^{■+Sv

xm^\

cot

Cette dfemière expressiàn y' réduite par réqaa:tidn {A) ^ dD

IH rlcôt

l 4m*\ 2rw V J l 4>»*\: 2i» 2/ J

xf 1+ — rfcot l »4'» V

--Jî=

passfaijt : maintenant àta limités ^ en observait que celle dç

—1 dot 1 , est i off trouvera

xm %J i ,^

4/7»* \ 2Xrf

ApptnÀHt^

434 Ch, m. Appucâtion du Calcul intégral

Pn seroit parvenu au même résultat y en décomposant 1 expression

tm— 1 ^ «# ^ »m— 1

En second lieu, si Ton prend ( iH ^ — ^ i—- ^ — ) jOn

aura le facteur (i-i ) — 1 1 — ^ avec /w— 1 autres qui

seront de la forme

( I + — ) — z( I +— - Y I ^)cos A + ( I -

\ %m/ \ . im/\ xm/ \

xmJ'

et conduiront comme ci-dessus à

4(siniA)*{ n--^(cotix)«}.

Les valeurs de x relatives à ce cas étant , , etc. on ob-

Z/71 Xffl

tiendra , en arrêtant au second terme le développement du premier facteur , mis à part , le prp4uit

4" M «m M SM 1 I sin -1

, \ ■ xm "U \ ^lOT 1/ • . • V • • ai». • • 1/

X ( 1 + -^(cot— -) 1 1 1 + -^( cot — ±— -Y } l 4»» \ xmxj } l 4»» \ im 1/ J

^. . . • • . Xi I + •— ^1 eot 1 \ ,

, ' .-. l 4«B \ xm x/ )

et on (:oïitIut'â« là , en vertu de l'équation (C) ,

X ■ -= "i ' + i^(^^'-l^- îj 1

- ^><{. + j!l(cot-^rY|{, + 4(cot-i-:y}

l 4/n*\ xm x/ ) l 4ot*\ i/w 2/ i

. f a:* / xm — X «-yi X)l+ — :(cot ] \.

Enfin la limite de cette équation donne

A LA Théorie des suites, 4)jf

ce qu'on aurait également trouvé en opérant sur

A lOT — I / V l/w — I /

1096. On obtient d'une manière analogue la décomposition de l'expression e' — i cos 1 ? + «"% en facteurs binômes. Les facteurs tiinomes de l'expression

étant de la forme

fï+— 4-")— iri+— -^Yi — f— Vo$A+fi \ ,

. or*

reviennent à 4(sin ^ x )• { i i ( cot ^ a )* } ;

mettant pour k toutes les valeurs dont il est susceptible ^ on for« mera le produit

4 l«» — : — J (s*ïï -) ( sm^ ) ••••Ism^ j Ism I

^ \ i»+i/\ in+i/\ 2/1+1/ \ 2/1+1/ \ 2n+i/

qui se réduit à ' ' '

.....><{,+-^l(„rf ,+^(c„,î:±'Y|.

en vertu de Téquation (F) ; et prenant les Hautes ^ on aura seulement

le même résultat se déduiroit aussi de l'expression

In 2

1^)^ Ch-, IIL Abbjlicxti^on. du. Calcul ikxé çr a l

La formule «•' — zcos 2^ + «!"** çst eacpre suscçjxtib^ A'^^ autre décompç^ition , qui s'opère Ç9, la transformant en

* e*'— 2 coç 2 (p + «"^'{ ( cos 2 ^ )•+ ( sin 2 f )•} =s ( e*.— «-'cos 2 9 )•— ( e"'V^— I sin 2 ^ ).*

= { e*— ^-'(€08 2 ^ + Y' — I SÎa2 ^,) }

X { e*— «^'( cos 2 ^ — V^^isin2^)} ^

= ( *-- r ^^-"^ ^^^) ( .«- -C*+** ^^))( Int. n-. 3 8), et le développement de e* — e"', du n". 1088 , donne,

r— «^ ''=(1,*— if V — I )«

IJ^ûjjliant çntr'eliç;. ces de)ix^ex(>(fi$siOfis ,; on trpuveira

€*?— 2 cos 2 f + «"?':=

etc»

etc.

A lÀ^ ThbOR I S DES SiriTKS^ 4iJ7

On obtiendroit aisément par ce qui précède les> facteurs des formules

«*+ 2 COS 1 f + «*"* X *^ — ^ ^^ ^ ft-^e"^

e'— 2 sec 2^ + «■"', «'— 2tang2^— «-'.

1097. Euler tire des comrdécaHons. du n^ 10^9 , le moyen de transformer en sàde le* ptoduit d'uir nombre de facteurs ^ soit fini ^ soit ipfini; en effst ^ la série

étant supposée le développement du produit

(i + c,i)(i+fii)ii + yi){i+fi)f etc. =P, devient égale-, lorsq^ie ^= r, à lunîté augnicntée dey diverses sommes que Ton obtient en réunissant les lettres a y fi ^ y^ j^^ avec leurs produits deux à deux , troiâ à trois , etc. Si l*bn prend: gour ces lettres tous les nombres premiers , on aura h produit

(i + i)(i + 3)(i + 5)(i+7)(i + ii)(i + i3r. ......:

= I + A.4r.j.-h 5.+ 6--t 7.+ iQsh IX+ if.+ 1448x5.4. 17+ etc.

renfermant tous les nombres eptiier;^, excjsgné; cçuy qui, sont de& puissances ou des multiples de puissances. .

' On a- de même ^

T' I T- I l- ^ Ir -

=1 H 1 1 1 1 +— -+ etc.

On trouvera des relations analogues pour le-casoir lès nombre» ^9 lif >> ^f ^^^* sont:n^ati&.; il.viepdraTpar exemple

C—s-X— fX— ?^X— 7X' -tî^Î'«-

Dans cette série les termes^ négatifs résultent de la multiplication d'un nombre impak de facteurapremiefs ^ er 1^ termes positifs «d^in nombre pair, • . - , *

43^ Ch. IIL ApPLicATioir du Calcul intècràl

En v^dé veloppaat Texpressioii

(ï— *c)(ï— ^0(ï— >0(ï— ^i)«tc-'

dans la forme

I + ^î + 2?^»+ C^+ D^+ etc.

les coefEclens ^^ B y C , D ^ etc. seront comme ci* dessus les sommes des lettres «&, i^» >» J^» etc. de leurs produits deux à deux, trois à trois y etc. mais avec cette difiërence que les puissances de la même lettre se trouveront comprises dans ces produits , en sorte que la série qui résultera du développement de l'expression

sera égale , après la supposition de {;= i , à la somme de tous les produits qui peuvent naître des lettres « 9 jB » r , J^ , etc. combinées d'une manière quelconque : on trouve ainsi que

(i-n(i-î)(>-T)(i-T)(«.-i^)(»— :7)etc

Cette dernière série est précisément celle qui résulte de 1 ( i— k) ;

lorsqu'on y fait n = i , et qu'on en change tous les signes ( Int«

n"*. 17 ) : il résulte de là que le produit infini

(»-0(i-f)(>-T)(ï-y)(i-iT)(»— rî)«c.

a une valeur infinie, et que par conséquent l'inverse

tend sans cesse à s'anéantir , on a pour limite aéro.

En ne prenant qu'un nombre limité de facteurs ^ l'expression

T .^ . .' . , • par exemple , on a la série

i+a- + y + i + i + ï+i + 7T + etc.

composée de fractions dont les dénomihateurs sont tous les nombres ayant x et ,3 pour facteurs simples.