A L Â T H ÈO RI B DES SUITES
On a en général
et l'on conclut de cette relation la valeur du produit indéfini par celle de la série , ou vice versa»
On trouveroit de même
. (-^X-+fX-fX'+7X-t^)-
En partant des équations
(-^X-FX-rX-FX-n^)
* 0--M'-pX'-7.X'--?--)0-7r?)«^-
on trouve
K- fX' -^ fX- fX' + fX- -^
^'i'+» 3'+i 5'+i 7'+i ii"+i
Ces combinaisons se multiplient à l'infini et produisent des résultats très^remarquables , mais trop nombreux pour nous y arrêter ; et nous renvoyons à cet égard au chapitre XV du livre H de Vlntroductio in Analysai infinitorum.
, 440 Ch. in. ApPLiCArrûir ùv Caicvi iNrickAi
1098. Pour ne laisser en arrière aucune branche de b Théorie des suites, nous altons donner uae idée du Chapitre XVI du même ouvrage , dans lequel Euler apfdiqiie lès produits indéfinis à la recherche des diverses manières dont on peut former uA nombre par l'addition de ceux qui sont inférieurs^ ce qu'il appelle ParÙM numtrorum.
En considérant l'équation
(i+**C)(i+^^{)(i+*^{)(i + J»^î)(in-:f{)etc* = i + ^î+Qî*+iîî'+»SîHctc. , on obtient
/=*:t*+jt^+A:>+:t^+jt*+ etc-
,/î=fi=jc*+«^+jjc*+^^-*+ ^••^^•+ etc.
eta d||oh l'on voit que les exposansde x^ dans les coefficiens de{;\ 7^^ {l%ttc, sont les diverses sommes qu'on peut faire avec les lettres « ^ f^^y^ Ij etc. combinées \\\ ^xï.Xyy^'^^ etc. Il est évident que s'il se trouve dan» k mêmf cœâîcieat des sommes égalés entr^eIl«Sy les termes dont ces sommes sont fesençosans se réunissent en un seul ^^ ayant un coefficient égal au nombre de ces termes. 5i dans (^-^ on a^ par exemple ^ «+j8=j^+j.=b, les deux termes x'^^'\'X^^% se réamsent à lat^ et \t nonbre x marqoe qa'il y a deux manières de composer le nombre a» arecdeint dtt quatre nombres - *,/»,>, À
Soit pour la. série », /3 , ^, i*, r , etc. celles ée» neMnbre» naturels 1,1, 3, 4,;' 5, etc. on aura '
(i+*c)(i+**î)(i+*»c)(i+«*O0+A)etei =i+î(* +*• + *'+'**+ **+ a?' + «' + f ' + *».+ etc.) +C^(*'+** +»*' +x*' +J*» +3r** 4. 4«f»- + -4***+ 5*"^+ etc.) +^»(*« +*» +!«• +3*» +4x"»+çy 4- 7aj'»+ 84f"+io*'*+ etc.) +î*(*"+*"-4-ix"-+p:'='+^'*+6x'*+ jar'*-|=rijf'»-htçx'»4-etc.) +'è(«'*+«'*+i*"+3*''*+5***+7«"+ io*^+ 13«*'+ 18«*'+ etc.) +t*(*'*+a;**+ï«*'+3'*^-+'5Jf*4'7*^ hii**''4-i4*"-h^0*«+etc.) +î'(a?**+*"+ 2***'+ î^'V y*'*+7x"'+ 1 i«^-|-ry«"+ 11*'*+ etc.) +{•(«*'+ «»'+ »'*-h3**»+ ç*«'+7*<«->'i i;t<'+ i'f**»+M4P«'+ etc.) etc.
Si
SI Ton veut connoître de combien de manières le nombre 34 , par
exemple , peut êtte formé par l'addition de 7 nombres , pris dans
la série i ; 2 , 3 , 4 > etc. oircherchera le coefficient de x^-^^ dans la série qui multiplie {% et Ton trouvera que cela peut se faire de onze manières différentes.
Eji faisant {=0, et réunissant eatr'elles les mêmes puissances de ;f , 00 aura
(^i+xXi+^'Xi+^'>0+^*Xi+^^Xi+^') etc.
= i+A:4-jtr* + za;^ + ixH3-«^H4^^ + 5^' + 6x*+ etc. ,
les coefficiens des termes de cette série marquent de combien de manières différentes on peut former les exppsans, avec les termes de la suite 1^2,3,4, ^^C* ^^^^ s'assujettir à aucune combinaison, en particulier y mais en les embrassant toutes ; ainsi % , par exemple , peut être formé des six manières suivantes
Il est à propos de remarquer que les élémens qui entrent dans chaque somme sont essentiellement différens ; si l'on vouloit admettre les répétitions , il faudroit alors considérer les fractions
( 1-^x0(1— x\) (i^x\)(i-^x^i) (i—x^i) etc.
(i—x) (i^x*)(i—x^) (s—x*)(i^x') etc.*
dont les développemeiis sont
i+îC« +x'+ «' + X* + «5 + x« + X' + X* + «9 + etc.;
.+-î*C**+*'+i** +i*' +3Jf* +3*' + 4*' + 4*^ + S*'°+ etc.; +^(x^ + x*+ix^ +-ix^ +4X' +^x* + 7*9+ 9x" + làx" + etc. )
.+lY*''+**+i*° +3*' +5** +6*" +.9*'°+ 11^" +15*"+ etc.;
+ îY**+**+i«' +3** +5*' +7«"'+iox" + i3x'*+i8*'^4-etc.;
+i^(x^+x' + ix* +3*9 +^x"'-fjx"+iix"+i4x"'+iox'*+ etc. )
.+i'(x^+x*-\-ix^+^x'°+^x" + 7x"+iix''+t^x'*+iix''^+€te.)
+îY*»+>+zA;'°+3Ar" + 5*'»+7»'»+ii*'*+i5«'*+ii*"'+ etc.; etc. .
i+x+ix*+'ix^+^x*+7X^+nx\+i^x\+zix'+ etc.
Jppendiu. - K k k
- 44* Ch, III. Application du Calcul intégral
Le coefficient 1 1 ^ afiecté au terme a:'^, dans la série qui muUiptie ^^ exprime en combien de manières on peut. former le nombre 14, par l'addition de huit termes de la iuite 1^X93, ^^^- Dans le second développement le coefficient 1 1 de :c% nous apprend que le nombre 6 peut être composé de onze manières ^ ainsi qu'il suit :
6=1+1+1 + 1, 6=l+l + l+If 6=14-1 + 14-1 + 1+1.
1099. Pour développer le produit indéfini
ri+a:î;o+^{;Ci+dfVri+*^î;ctc.=z,
Euler substitue x[ à { , ce qui donne
faisant en même tems
Z=i+Pî+Q£'+/îî'+Xî^+etc. '
il obtient
équation qui revient à
= i+Pjcç+Qa?*î*+/îa?^î^+*y:rY+€tc.
Z=i + PlArî+Q1x»î*+/lUY+^UV+ctc.
+ ij +P] +QJ +^i
d'où il tire
et enfin P — ^f
etc. '
:A l:â T H iÔ R J M DBS SUITES. 443
le terme général de ces detidères expressions est visiblement égal à
mais par le n'. précédent le coeiEcient de x" dans le développement de
Cl— *;ci— «'Xi— «*; (i—x") *
^ fait connoitre de combien de manières on peut former le nombre n par addition avec des nombres pris dans la suite i ^ 1 ,• « ./tz; et ce
^ coefficient étant celui de a; * , dans la première expression ,
marque aussi de combien de manières on peut partager le nombre
71+ en m parties difFércmtes, Il résulte de là qu'il y a autant
demanières de former le dernier par l'addition de m pombres différens , que de manières de former le premier avec des nombres pris dans la suite i , a , • • • • /n.
En suivant la même marche à Tégard de la formule
Cl — xi)(^—x^O(^ — x'^iXi^x^i)(i-'X^[) etc. ^
Euler parvient successivement à
(i^xi)Z=i+Pxi+(lx^(+Rx^^'\'Sx^i(^+ etc* d'oîi il conclut
Ci— atXi— »V
etc.
Kkk 2
444 Ch. III. Application du Calcul intégral
expression dont le terme général est égal à
('i— «;Ci— **;Cï— «'^ Cl— AT'?;
Le coefficient de :ir""*'", dans son développement , étant le même que celui de a:* dans le développement de
(i—xXi—x'Xi—x') (i—x'^y
montre qu'il y a autant de manières de décomposer le nombre n-^-m^
en . m parties , que de former le nombre n avec les termes de la
série x y % ^ '^. . • . .^m^
' r 100. En combinant ce théorème avec le précédent , on eii pourroit
déduire plusieurs autres assez remarquables , que nous sommes
obligés d'omettre ; mais nous allons prouver cette propriété de la
progression 1,2,4, 8, t6, 31, etc.
qu'il n'y a pas de nombre entier qui ne puisse résulter de l'addition
d'un certain nombre de it!^ termes , et cela d'une seule manière.
En effet,
ri+^>)o+^';ri+**xi+^*Xï+^''Xi+^'';etc.
= i+Jif+a?*+jt^+ji^+:r*+*^+.J*^'+*^'+etc,
pour s'assurer que la loi dé cette dernière série, demeure toujours la même, on fera
= i+P:^+Qjc* + iî:ç3 4-^a?*+etc. .^
on. écrira x^ pour a: , et il viendra
= i+P*»4.QV+/î**+^.t:*+ etc.
d'où l'on conclura ^
=1+ X +Px''+Px^ + Qx*etc. . ~ï /' />=!, Q = P, R = Pf Sz=Q, etc.
Là progression i, 3, 9, 17, etc.' iouit ausst.de la propt^été àe former. tous les nombres entiers possibles; mais il faut combiner les termes tantôt par addition , tantôt par soustraction.
A LA Théorie des suites. 445
Les recherches dont nous venons de donner une idée ont occupé plusieurs Géomètres; M. Paoli les a ramenées à Tintégratioa d'équations aux différences , du genre de celles que nous avons traitées d'après lui dans le n%^ 1026: elles rentrent aussi dans Tanalyse indéterminée. Former , par exemple , le nombre n avec
les nombres 1, 2, 3...* m y c'est la même chose que de
trouver toutes les valeurs dont lés quantités * , i^ , > , «'^. /* ,
liées entr'elles par l'équation
sont susceptibles en nombres ehtiers positifs. On pourroit pousser beaucoup plus loin cette théorie , qui se lie avec celle du développement d'une puissance quelconque du polynôme <x + i^* + t:x^+ etc. mais nous devons reprendre la considération des valeurs des intégrales définies y interrompue depuis le^n%. 1086.
iioiw La valeur de l'intégrale / ^, entre les limites xz=zo Contîmiatîoii
y i+a:* de la recherche
et X infini, trouvée à priori dans le n^ 1084 , se déduiroit aussi de ff rlllrréfinfa"*' la comparaison de son développement en série avec celles du n*. 109! , qui peuvent s'obtenir sans le secours d'aucune intégra^» lion , d'après ce qui a été dit dans le n"". 1095. L'équation
= 1 — — 7-^ 1- etc.
donne lorsqu'on y fait xrtri , la série
\r : ; 1- etc. ' .
m m-^n . m+^zn m + tn .
qui exprime la valeur de l'intégrale depuis jc=îo jusqu'à x^=: r ; on a ensuite ,: . — -
+ r- , + etc.
