I - m-^n m — xn m-^jn m

En supposant n>m^ cette dernière série s'évanouit lorsque n est

446 Ch. HI. JppiiCATiofr DU Calcul /nt£gjiai

infini} quand jr~i elle se réduit à

■ ■ ■ '— + etc*

m — n m-^xn m-^'^n m — 412

et donne la valeur de l'intégrale proposée prise depuis^ â? infini , jusqu'à x==^i , valeur d'un signe contraire à .celle que nous cherchons: en la so^tstmyant donc de cdle qu'on a déjà trouvée ^ on formera la série

m n-'^m n-^-m xnr^^m %n*{*m 3««**;7i ^n+m

qui répond à '- ^ et l'on aura ainsi la valeur de l'intégrale

nsm — n

proposée* . '

Les mêmes moyens nous conduisent à la valeur des intégrales

depuis x=o , jusqu'à ats i i car en développant ^ suivant les puis» sances ascendantes de x , les fonctions différentielles j on trouvera pour la première de ces intégrales

m n-^m n-^m i/>*-/w 2Ji+m

II* T '

-I etc, =— — — (-n% 1091 ),

nsip n

et pour la seconde ^

I II II

m /i— Tfï fi^ffi xn^'^'Ui xn-j^ffi

II T

etc. =

^ ^ ntang —

Nous conclurons, de là qu*^

. A LA Théorie des suites. 447

les petites équations renfermées entre des brochets marquent les limites des intégrales. En observant que

-'"■"Va: Px'""^''^dx

/x'^'ixrx=Q "I rixT-'àx ry=o"i r x—'^a: rx=i "j

on trouve cette relation remarquable

I + *•" L*=iJ"y I + •»?'' L^=infJ'

— dx

deviendra

îdbx

les valeurs

n sm n tang

, se changeront en

rxsin ~ aAcos —

an 2X

9rtang

2 A tang -^ ^— lAcot —

et , entre les limites ji: = o et jc = i , on aura

+ Jf dx

•—AT ^Jtr

n est bien important d'observer que les exposans a et « peuvent avoir dans ces expressions toutes les valeurs possibles , quoiqu'elles soient déduites d'une formule calculée dans la supposition que net m soient des nombres entiers positifs ( n"". 1084 )• Pour s'en con-

448 Ch. IIL Application du Calcul in tégral

vaincre , il faut faire Jt:={% * désignant le dénominateur commun auquel on peut toujours concevoir que soient réduites les fractions quelconques x et », en sorte que a x et « » deviennent des nombres

. dx itd?

entiers V on a dans cette hypothèse — =

résulte

=r , d'où il

les limites de Tintégralé demeurant les mêmes qu'avant la transformation, on obtiendra la valeur . de cette intégrale, en substituant dans les expressions 5 et T, les entiers «a et aa , au lieu de a. et de « ^ ce qui ne les change en aucune manière. Cela posé , si dans Téquation

V—fXdx/^

les quantités V et X désignent des fonctions de j^ et de » , on aura

dV rdX ^ ^ ^' ' ^ d» J d(» . •

et de là , on conclura par ce qui précède , qu'entre les limites ^=:o et ;r=l ,

9r*Sin

— ^jr +x

'' cos ^

+ x dx

aA.

Les expressions 5 et T ont aussi des développemens en série qui se déduisent de la substitution de 2A et x<— » à la place de net de m dans les séries du n"*. précéd. et dont on tireroit par conséquent de nouvelles séries, en effectuant les différentiations indiquées par rapport à « ; nous les rapporterons plus bas>

Voilà quelques résultats de la troisième classe annoncée dans len*. 1076 ; elle a fourni à Euler le sujet de plusieurs Ménioires xntéressans auxquels nous sommes forcés de renvoyer le lecteur;

nouç

A LA Théorie des suites. 449

nous nous bornerons seulement ^ présenter quelques applications propres à fixer les idées et à faire connoître la nature de ces recher«ches. Si Ton pose , par exemple ^ «=o , on aura pour le second cas

X dxXx ^*

En continuant de difFérentier par rapport à « , on passe à de nouvelles intégrales définies ^ dont les valeurs se déduisent de celles qu'on a déjà obtenues; on trouve ainsi que

'X 4-a: * dx ,. . ^'

i+x V (cos — 1 cos —

X— -d» x+* 5 îsin

(tànr COS — )

Les séries correspondantes se forment aussi par la difFérentiation ^ comme on Ta indiqué plus haut. Les nombreuses conséquences que Ton peut tirer de ces formules s'offrent d'elles-mêmes ^ nous nous bornerons à en rapporter une seule j celle qui se présente lorsqu'on a €i = oetA=:i. La première dâs expressiqns ci-deasus 'donne

et la série qui lui correspond se change en

XI Sl 2 1 2 2

on a par conséquent

9r* I II II I

résultat asse2 remarquable quand on le compaiPe à l'expression

TT . I I I 1 t ^

-r = 1 — -^H h— — + etc.

qui dérive de la formule / — • — r-.

Appendice. LU

450 CHt III. Application DU Caicul intégral

Il est facile de voir qu'on aura par le procédé dont nous traçons ici la fliarcfae , les valeurs des d^x classes suivantes de formules

dx dx

fir^Xx =----, fy'—\x ==-J-

X dtê X a»

dx d^S dx . d^T

ix ^S dx éPT

^ X ' du^^ JC ^ ' d^^

etc.* en faisant pour abréger

X— « x-f-» X—» X-}-ar

î;'= f Zf : r= — 1 f .

ax ' ax

iM séries correspondantes softt

S = 1 — . — — ^ — t — ^^ — ; ctc»

X— /* x-f-» 3X-«^» 3^+* \ yx— ^"^ jx-t**

"n . ds' d^S / 'd^S

et celles que donnent -— , — - , -j etc.

dm dtr au*

X— • X-f-» 3X*— « 3X+«rf JX^— « V JX-f-»

^r d^T (PT

et celles que dcfunent -r- : -r-f , -pr , etd

tf« a« ««

Euler prescrit pour d?fférerifîer îês exp'ressioîff finies de .S et de T ; des procédés ^dont le détail ne sauroit trouver place ici ; on peut d'ailleurs les retrouver facilement, ou s^en former de nouveaux;

. A LA Tniû RIE DES SUITES. 451

Il 03, L'intégration effectuée par rapport à 4» fait aussi re* monter à des formules dans lesquelles Ix se trouve ^au dénominateur. On a par cette voie

SA. ' X \x

ssfSdm

x dx