I I I II I
T— — 4.—^ . — I- i — — - — 4- etc.
A— « A+» 3A''^-to 3^T^ ÇA— « ÇA4-»
d onne
/r^fli = — 1(a — (») — l(A+«) — I(3A— .«)— 1(3-A+») — etc.
A LA Til È 0 R I E DES SUITES. 453
mais ici il faut avoir égard à la constante , pour que le résultat soit nul dans la supposition de »=o , et cela fait y on trouvera
/r^« = l- — -.-^ — -. — \ -.etc.
La valeur finie de cette intégrale ^ — 1 ços — , étant comparée au produit indéfini que nous venons d'obtenir^ conduit à une ex-t pression de cos-^> pareille à celle du n% 1085.
1104. Nous prendrons pour dernier exemple de la recherche des
Valeurs des intégrales , la formule fdxXÇ^ . L'équation
obtenue dans le n*.' 1071 , devient
lorsqu'on y fait /ti = ^ ft ; et comme on a d ailleurs
il en résulte ' ^
d'oii l'on conclut
— -ç;, = nfx'^yix (! — *■)',
fd *(l i ^
454 Ch. III. ApBueATtoir DU Calcul httégral
Il fatrt se rappder que toutes les latérales de cette équation oat poUr Uinites jescô et jrsBsi; pour plus d'unlfortoité nous y chan* gérons p en /> — i , et «ous aurons
Au moyen de cette équatioA y et en se rappelant que ù r désigne un nombre entier ^ et 5 un nombl-e fractionnaire
nous obtiendrons , i\ En faisant q^=pjf
— — 7—5:^ ="/*"-''« (■-»"/- Ws
et prenant p — 1 = -> n = a,il viendra
L'intégrale du second membre ne dépend que du cercle ; on y ramène immédiatement celle du prenuer, en observant que i doit nécessal«
rement être un nombre impair , sans quoi - seroit un nombre entier y et que par conséquent si l'on change i en 1 i +i » on aura
fdx(\i) " =i.i.i.z........fj±i/^,(rir';
\ X/ 1121 , 1 \:ir/
puis supposant i + 1 = o > dans l'expression àtfdx^X-A , on en
tirera
A LA Thèùris DSS S V I t i S, 4Ï1
.d*ott Ton déduira enfin
x/ alla 1
1*. En fabant q^xp^ nous trouveforts
\-\ :fdx(\-) fi i.!l^==»/*«^«-v*(i-*-r' (3);
multipliant cette équation niembre à membre \ par l'équation (i) , nous parviendrons à , '
posant ensuite p^=-y 'i = } » i^ous obtiendrons
Il est visible par cette équation , et par ce qui a été dit plus haut ,
qwla transcendante/^ *(»'-) présente seulement deux 6as distincts, savoir:
r dx .( f* dx p xdx H
4K6 CH. m. ApPLlCATïOîi DV CjLCVt nftéGRÀL
ou y suivant la notation du n*. 1079 ^
âx __ » ;__
en observant qu'entre les limites ^ = 0 et jp = i , on a en général
Sx^-'ix{\—oi'^ '* = /^«-'rfx(i— ^«) '^ ( n% 1079 ) f
de cette manière la formule /ijir^l-) ne dépendra que de U
seule transcendante désignée par -rf à la page 407. 1105. Ce que nous venons de faire sur \^ formules
fâx{\^^fàx{\^ f peut s'effectuer également sur les
autres formules du même genre j mais au lieu de nous arrêter à des cas particuliers , nous allons démontrer ce théorème général :
n ti m étf nt des nombres entiers.
Soit pour abréger fdx(\ -Y =4 T — \ ; puisque Ton a réquation (1) se change en
mp
^n-^fxf-'dxÇl^J^)
lorsqu'o
A L4 Th ÈO RI.]^ -DBS &U%TS'S. 4l7
lorsqu'on y substitue — à /^ , -^ à y , et s'écrit ainsi :
<ii*-
iJ).
En mettant dans cette dernière successivement au lieu de p , le$ nombres i , x 9 3 . » • • ^ » > et multipliant to^s les résultats entr'eux ^ il viendra
