IB
(m+ iX'"+^X^+})'* '(«f+n) SI est facile 4ç Foir ^9
^•^•^ » m • • • • • fît
p(î,m)<f(i^m).f.(fCnfm);
%m%»^» • • é •ttl
on conclut de là que
Appendice.
Mmm
4ï8 C». III. ApptiCATiON vu Calcul iffricRAL
et comme . -
<-v-y^(^)' i'^y-^iù- <"4^)=^^a). -
il viendra
41 — )=— •.i.a.3....«»^Ci,/»X'i,m;^C3,OT;...^C/i,/»;,
\n / n d'où on tirera Téquation du théorème^ en observant que
p(nym)=: — ( n**. 1080 ).
iio6. ]^n supposant que les nombres m et n ayent un dlvii mmun r, .nous tirerons encore deTéquation (j4) la suivante
diviseur commun
Pour cela nous y substituerons successivement r, %r, ir^....n à la place de ^ ^ et nous aurons .
^ 7 — : — T7 — ; — <7 — ; — :; — t "•: — ^^c ''> ^M^^% «y • • • fo»»»»^
ot 4l j= 4-1 — 1> et ainsi de suite : par ces valeurs,
1^ deux dernières lignes ci-dessus donnent ^
4( — jn :ssim .r.%r.y.^..m^(r^m)f(ir^m)...^^(n^m)i
A l'A T H éO Al JS P ES 5 Ù I.t E S» 4$^
d'oti 11 résuite » ;. . ' :. i-.. '. .
et ^comparant cette équatioa avec la dernière du n^ précédent ^ on aura celle du théorème.
1107, tprsqu'oo pfeflrf/?s?=/ï-^^, Inéquation (J^ d^yhtà ,,
•^m^^mmm^
mais on a par tes t^\ 1 1 8ô et 1 1 84; k(n\y^mx m)=f= -> V .). . , et
n sin — - =- 9 U Viendra doâ'c
' Faisons sticcessivemenî mr=iytn:=m^ îtîr^ 7' etc." iei InnltS^lrons ; membre à membre ^ tes équatknis résultantes^, nous obtiendrons
)^(:-^)-4?mi~¥:
Mv):'— '-"fe^
r~J II II I I I I II I I ' i \\'\ i I I I I , K
ji^"*«»— $in — . .«.sin-^^ — t — ^ —
Lcpro«lait sin - sin^^î, ....smi^=ll>,
• ni n ■ m ■ *■
9»tmû««qtl^ . . . • ••
* .IT îfr •. I*. »»— ï w
*m — ssxsto— — .cos — — c= ism — — .si» — ;
Mmm 1
Afio Ch* IIL Application du Calcul /ifréGRAL
et ainsi des autres. On aura par cette remarque
ïin -^ sirt '^^ « • sin — * — " — =i" *Sïn-»-sin — •••sin — ^- ^ n tt n m n X n %
X sifl .sin -. ..sm^-r^: — ^
(Toît Ton conclura
prenant la racine de chaque membre de cette équation^ et mettant au lieu de la fonction 4^ Tintégrale qu'elle représente , ri Tiendra
Ce beau théorème se trouve ^ mais sans démonstration , dans ui> Mémoire inédit d'EuIer , querProny ma c6mmuniquér
iioS, Les diverses* formes dlntégrales définies j; dont nousnotrf sommes occupés depuis le &% loyé^v snifisent sans doute pour donner des notions exactes et complètes de cette branche de TAnalyse» créée par Euler^ et faire sentit, son importance. Elle est mal« heureusement très*peu avancée ; toutes ks expressions qu^ ^t parvenu à évaluer sont circonscrites dans un petit nombre de formes très-particulières: les mêmes résultats qui i^vie^nent à tout moment font voir qu'on n'a presque fait que tourner dfms un cercle peu étendu et qui paroit entièrement compris . danjs la Théorie des puissances du second ordre. Eh effet , on. obtiendra par les for-» mules du n"". 1071 f la plupart des théorèmes énoncés dans ce qm précède , ainsi qu'on Ta dé)à vu pour quelques-uns dans le n\ 964. Krampy dans son Analyse des rifracdons astronomiques^ a déduit des facultés numitlqués ( nom qu*il donne à ce que )'ai nommé puissances du second ordre ) ^ quelques résultats généraux sur les int^rales ^léfinies. Ces résultats reposent sur un théorème entièrement semblable à celui du n**, 904 , et sur des transforma-
lions de l'expression -r 5 décomposée en facteurs , d après les
sîn/3^
A tA Tu É 0 RI S DES-SUITES. 461
formules dtt n"*. 1095. Les combinaisons et les modi^cations que ^es formules éprouvent dans le passage des nombres entiers aux nombres fractionnaires , conduisent Tauteur à des conséquences paradoxales y ' qu'il reconnoît pour telles et qu'il ne présente que comme un motif d'examiner avec l'attention la plus sévère , la Théorie des racines et des logarithmes des quantités négatives.- Ces difficultés n'étonneront point ceux qui auront fait attention aux remarques du n'*. 878 ,^ sur l'interpolation , et à la manière dont je me suis exprimé, «en parlant, à la page 173 , de l'interpolation de l'ex-
sm
pression de -: — . Le Chapitre consacré à la Théorie des
facultés nutnériques est terminé par une méthode pour évaluer ces facultés , soit rigoureusement , soit par approximation , et qui dé* pend en grande partie des propriétés des coefficiens du développement des puissances des polynômes , dont les Géomètres Allemands pa* roissent s'êtref beaucoup occupés depuis quelque temps , ainsi que nous l'avons déjà indiqué au n^» ,ip44.
L'analyse que je viens de faire de ' la. Théorie des, /acuités numl^ rïqucs , donnée par Kramp , suffira au lecteur intelligent pour le mettre eh état de comparer cette Théorie avec celle des puissances du second ordre l en observant que le Géomètre de Cologne appelle base le premier terme de la progression des facteurs , et qu*il enseigne non-seulement à changer la diff^ence de cette progression , à la réduire , par exemple , à l'unité , comme je l'ai fait dans le tC. 902 , mais encore à donner à la Êiculté une base quelconque , ce qui s'effectue aussi facileàient que le changement de différence et par un procédé analogue. Le défaut de tems et d'espace ne m'a point permis d'entrer dans de plus grands détails ; mais j'y reviendrai ailleurs ^ si les circonstances me le permettent,
1109. ^ formule fx'^^'dxC i — «»;% égale à — oî j— "1 , Dcfsérfct pro-
m L » J p^^ ^ évaluer les
entre les limites x=o et * = i ( n?. xvjx ) , se rencontre fré- J^f^STS quemment dans la recherche de la probabilité des événemens futurs grands nonÂiet. d'après l'observation des événemens passés ; les nombres mttp^mX
4Sx Ch. IIL Ap^lica TtoKDjr Calcul imÂGRAL
dépendent de ces derniers , sont alor& tdtemeat grands , qu'il ost impossible d'efiêctuer la multiplication d€$ facteurs doat est lOvuké le produit qui exprime cette inrëgrale.
On a recours dans ce cas à une approximation qui fait connoître ks premiers chiffres de ce produit , et qui suffit , parce qu'il ne s\igit que de rapports d'intégrales semblables à la proposée. Les formules du n% 945 5 donnent immédiatement cette approidmatioii i mais Laplace Ta déduite aussi d'une Théorie générale', dans laquelle.il s'est proposé l'évaluation des fonctions de grands noiid>res , et dont nous allons donner un extrait.
Le principal objet de ces recherches est d\2btenir les intégrales des Fonctions différentielles renfermant des facteurs élevés à de grandes puissances , par des séries d'autant plus convergentes que les exposans de ces puissances sont considérables.
Soit ydx=^u'u''W^ pdx la différentielle à intégrer entre
les limites x=$ et x:=;^9'; u, u', u%...p, désignant des fonctions dexytis, 5', / etc. des nombres très-grands. En représentant par T ce que devient y , lorsque x devient 0 , nous ferons jr=re-', e étant le nombre dont le logarithme népérien est Tunité; nou$ tirerons
delà ^^1 — 1 et considérant x comme une fonction der, nous
aurons
dx t d^x /' dPx ^ di l dt* 1.2 dr 1.1.3
<ri>servant
répond à celle de :r=9 et qui change y en Y. L'équation ^==1 —
d%f dx ydx
conduisant à </ 1 = — r^ , on aura — = '^'^j » expression dans
laquelle dy introduit aii dénominateur les exposans s ^ s', s% etc. Si
dx dx
Pon fait pQur ahr&er -^ v r^^^ ^ j '^ viendra rfâ;^-^ ; . «t . cette
^ '^ ay V
équation fournira le nK^yen d^expfimer kt eeeificiena diii%rintî«ls
dj9 d^x d^ /• • "
•7- , -7-r , etc, par v ^ r-— , etc. en traîtaat v comme une fonction
A L A Th é 0 hie des su I t e s. 4<Sj
it x^ ttx comme une fonction de / ; on trouvera
dx 4^x âvix viv d?x d.vdv.dx vi^vdv
17^^ * 'd^~dx dt~lbc ' dF "^ dx^> dt~ dx* i^x d.vd^vdvdx Pd.vd^vdv
dà dx^ d/ dx^
• • • • vICt
d^X vdmVdti^m h ^dp
En général on aura ^-7= ,^ ,en supposant dx constant
dx dx
dans le second membre; et représentant par f'ce quedevientv quand x
\ ,^ , /,x X yd.Vd.V. dF ^
tant est égal à 9 ^ Ou r égala léro , "IF^' ^
sera ce que devient -r-^^ ^ pui$ On obtiendra
- t vdv ^ Vd.vdv <»
X = s + y — +—3 — — ■ H — Tiir" — ' ■ • " H» etc.
I dt i.a d6* 1.1.3
, . , dV t d.viv e
/^i.=rr/^,.-'(t + ^i:+^^ + etc.}.
. Le secioijd membre de la dernière de ces équations dépend dés intégrales comprises dans la formule /r^^r^^'. Si , dans celte formule y on fait ^""'^t» les limites de / étant o et Tinfini ^ celles de { seront i
et o , et Ton aura— /t/^r 1 -J à prendre depuis {=1 jusqu'à {=== 0/ ' ce qui donnera i • i. 5 ••»•;<( n^. 1071 ) ; il viendra donc
r . ^xrc . ^^ d.VdV d.Vd.VdV
pour la valeur àtfydxt depuis j; ss 9 , jusqu'à la valeur de « , qui répond à r infiai. Prenant de même la valeur de fydx , depuis x=tt\ jusqu'à la valeur de x, qui répond à / infini , ce qui s'effi^tuera en marquant d'un accent les quantités JC et f , pour indiquer que. dans ce dernier cas elles se rapportent à V, on trouvera qu'entre les finîtes *=0 et a?=fl',
t„^u dV d.ydy d.r'd.y'dy
««-/ . ''^ d.vdv d.vd^vdy
41^4' Ch. III. Application DU Calcvi intégral
La variable t a entièrement disparu de ce résultat , dont les diiFé« rentiations [ne sont relatives qu'aux lettres B et d'; et si ces lettres entroient primitivement dans l'expression de ^ 5 il ne f^udroit faire variei: que celles qu'întroduiroit le changement de x eq 9 et en 0'^ dans le passage de j^ à JT et à F', *
Pour se convaincre que la formule (J) doit être en général trèsconvergente $ il sufEt de rec^arquer que la* quantité ,
yjx I
dy sdu s' du' dp
udx u'dx ^pdx
deviendra d'autant plus petite que les exppsans s ^ s'^ etc. seront considérables, si toutefois le dénominateur ne cûntijsnt pas des facteurs de la forme {x^-^ay^ dans lesquels a diffère peu de 0 ou de i' ; car il est visible que la substitution de ces quantités rendroit ce facteur très-petit , et que les termes divisés successivement par (x—ay, (^— ^)"^*i (^— ^)"^*-^tc. 4eviea4r9ient de plus ea plus grands»
1 1 10. Pour ce cas on désignera par Y ce que devient^, lorsqu'on y-
change 4: en ^ ; et puisque (x^^ay ^i un facteur de — ^ , ou de
^ • ydx
dAr-y (x'^aY'^^ sera le facteur correspondant de 1 — ; oa
fer» y^Yc , v= '-^ — r
(ir~ij.)«+^
d'oh l'on conclura / = ( l Y— 1^ )"*+ S * r- ^ == ^ ^ »
dx d^x V ne devenant point infini lorsque x:ssa. Les valeurs de ^ , 3— , etc.
d^u^tes de l'éqi^ation [^^-r as v/ ^ en considérant ^ dans le deuxième membre, v comme fppction de <r , ^r comme fonction de r, et négligeant les termes multiplia par t , qui s'évanouissentlorsque x=a ,
d.v^ ^.v^ se réduiront à v , -r^ — . — ^ — , etc. et mettant dans ces demic^i
dx"" ' dx^ *
^es y ai^ lieu 4e y , pour oi^rquer c]^'il fautyxhaDger xena, après les
différentiatioi^s ^
À LA T H à ORl E DES SUITES. 46^
^âéreûtîations ^ on aura et Ton eA déduira
^ ^ dx i ^ dx* I.Z
expression dans laquelle if faut encore effectuer les înt^ratîons comprises dans la formule fedt c , qui se transforme en
/^^(l^ lorsqu'on fait r' ' =^, etse réduîtpar
les formules "Hu n% 418 , au cas oh Texposant ^^^ est une frac-
tion négative, ïn intégrant par parties rexpression/z^iZ/e-'t', après l'avoir aise
sous la forme ffi-^. f'du "\- on trouve
f^du = — ^ ^
T étant le nombre égal au <iuotieat entier de la division de n par«+ 1; par là l'intégrale proposée est ramenée aux suivantes
dont a feudra calculer les valeurs par les méthodes approximatives. Jpptndice, j^ jj ^
4S6 Ch. Iir. Abpucàtiou du Calcul istâgral
La formule (B) doit être regardée comme ua supplément à la formule (A') pour l'intervalle dans lequel x difière peu de a.
On parviendra facilement aux valeurs de F, ^, — , -— ^ — , etc.
dx dx^
au moyen du développement
\Y^\y={x—ay^'{AJ^B{x—a)^C{x^y+IKx-^df+ pour lequel on a
en faisant après tes différentiations ;r=4 : on en tirera immédiatement les puissances de v.
1 1 1 1 . On voit mieux la nature et tes avantages des formules (A) et (B) en les particularisant , c'est pourquoi nous prendrons y=^x^{ I— jK-y. Nous aurons pour ta première
dy /^— (^+î)« ^
et pour exprimer qoe /r et ^ sont de grands nombres , nous ferons /^s— ;; = — 9« étant une très-petite fractiott ; U viendra alora
ainsi v sera de Tordre « , et l*on Voit évidemment que tous le» termes delà sérié f^> seront ordonnés suivant les puissances de «r Cette série est donc très «- conv^gente , lorsque le dénominateur
de y n^eit pas très-petit à rune ou à l'autre des limites de TiiH
f tégrale y et pour cela il faut que %fXV difièrent beaucoup de -•
En effet , l^eKposant du dénominatoir de y croissant d^ l'unité à chaque difiérentiation , le terme multiplié par a"* aura un dé» sominate^t élevé à la puissance %m — 1« Il %vt^ de ^ que « doit être moindre que le quarré du dénominateur ^ pour que la convér« gence ait Ueui^ et que par conséquent la formule (A} peut être employée depuis j? =: 0 jusqu'à x = — -— — ^^ pourvu que «</%
'A L A Théorie des suites. 467
On trouvera dans cette hypothèse
/ydx = . (,+^)H^jv X
La même série peut senrir aussi depuis jr=: H <^ jusqu'à x=si^
parce qve la supposition de jts? i » donnant >^ = o et v=^o > la valeur de/ydx^ dans ce dernier cas , ne diffère de cdUe qui répond au premier qne par le signe de /, à cause qu'elle est prise en sens contraire, par le changement de signe qu'a subi dans l'expression 4e la limite ^ la quantité J" ; il suffira donc d'écrire dans la série précédente -^^ au lieu de /, et de changer le signe du résultat £nal»
^iiii, Layaleur ^^s-— -^^ qui rend nul le dénominateur de v;
faisant évanouir le coeffcient différentiel —, répond a,vi maximum
dx
de j" ( n% 149 ); on ne peut donc par ce qui précède obtenir
l'intégrale fydx dans le voisinage de ce maximum, û faut ^ors
recournr à la formule (B) , dans laquelle a représentera -^^-^ , et
l'exposanc m sera l'unité , en sorte qu'on aura
Il est visible que les termes de cette série ne seront pas multipliés
respectivement par #y <t% «% etc. mais par a*, «, «% etc...«« à cause du radical qui entre dans l'expression de n Les inté>?
grales relatives à / se ramènent toutes à fdif 9 Ou s'obdennent
Nnn %
4^8 Ch. m. Application dv Calcul intégral
algébriquement : on a par la formule du n°. 1 1 lo
ftdte *'=«: — j« ', fi^dte ^ = — itc'~^ + ^fdec
fe'dee =— f^* — ^e , etc.
Si Ton représente par <r et <t' les deux limites de /^ on trouvera entre ces limites 9
X K dx i.idx^ i.i.jdx^^ ^ J
H ne s'agît plus que d'obtenir l'intégrale fdit .
Ce résultat se simplifie beaucoup lorsqu'on prend / et ^\ de manière qu'ils répondent aux valeurs de x , qui rendent y nulle j et
réquation / = V^l T— \y montre qu'il faut faire pour eela ;^= — inf, J^'= + inf. Dans cette hypothèse les quantités
/^e , l''c , s'évanouissent (n*. 140) ; on zfdtc =s=i/^, et
En. faisant m = i , dans le développement de 1 Y-^ly ; în^ diqué ti\ 1 1 10 , on aura
4'oii Tott tirer*
y— { J 4. Jî ( 4?— tf) + C( *— tf )• + etc. }
r= ^"~ *— i^ " *""*/?( *—*) + etc.
Oa formeroit d'une manière analogue les puissances de v, que l'on différentieroit ensuite comme l'exige la formule , puis on feroit
« =s * , suppoâtion qui réduit v i J ', et l'expression;
<i».lv=-^— — , à i'.Iv=— , à cause que la valeur ^r=«.
~A iA Ta éoR r e des suites, 469
propre au maximum , fait évanouir dy. Il suit de là que dans l'hypothèse établie après les différentiations ,
i^xdx^ zYdx* '
et que par conséquent f= — ; ■; en sorte quen n ayant
^ dx^
égard qu'au premier terme de la série, il vient
fydx= , ou ifydxy= -— ..
^ -Z? dx>
Dans l'exemple que nous avons choisi , oîi j^ = 3f{ i — ;c )%
on trouve a = ; et calculant d après cette dernière valeur
celles de Y et de -; — . on obtient . en conservant les dénomina* tions adoptées plus haut..
fydx = T—n*
Si on poilrsuîvoît le calcul ^ on trouveroit de même les autres termes de l'expression de fydx\ tous rentreroient dans ceux de la série qu'on obtiendroit en développant l'intégrale /y ^:c^ en produit indéfini ( n"". 1071 ), et en calculantes produits par la méthode du tf. 94;.
ix;[3. Si les limites. de Intégrale yy 4/ at étoîent quelconques^
l'intégrale fdtc ne seroit plus donnée immédiatement par la cir« conférence du cercle , et si l'exposant m du facteur âS^^Hy dans XY-^ly^ surpassoit x, on auroit aussi de nouvelles intégrales à évaluer.
Pour calculer immédiatement la valeur Atfdtt ^ lorsqu'elle ne doit pas être prise entre les deux limites infinies de / > Laplace donne deux séries que nous allons rapporter*
470 Ch. IIL Application DU' Calcul iKTkcRAL
1*. En développant Texponentlelle « y suivant les puissances de ir ^ et intégrant chaque terme depuis txx> ^ jusqu'à t=. 7, on obtient
fdtt = r— + — — — + etc.
Tant que T ne sera pas tràs«grand ^ cette série sera convergente ; çt elle tend toujours à le dev^mr par sa nature ( Int. n^. 22 ).
1^. On peut donner à la «fiflérenâelle 4tt la forme
-^.xtdtt jften intégi-ant ensuite par parties relativement au 2»
second facteur , on trouvera cette série
qui paroit convergente au moins dans ses premiers termes lorsque 7 est très- grand, mais qui pourtant finit par être divergente. Ce* pendant comme les termes qui la composent sont alternativement positifs et négatifs , sa partie convergente peut encore donner des
limites de la valeur de ^dtt ^ depuis $ ingni , jusqu'i /= 7j; ces limites seront resserrées le plus qu'il sera possible , lorsqu'on aura poussé la série jusqut'à la fin d^ la convergence ^ c'est-à-dire ^ jusqu^au poiot oii la dîrflSbrencfi d« àsux termes cotséçutifs est moindre que dana le reste de U sériir.
Ce cpM tous avons dit pirécé4«Miejat$ur ks intégr^et définies de la forme fdxfl -Y^ nous dispense de suivre Laplace dans 1^ détails
o2iil entre relativement à 11ntégralé//^^re , lorsqu'elle doit être prâe depuis izszo, j usqu^à i infini. En efiet , cette intégrale i été
transforpiée daos le n\ 11 10 en — — 7? — ^/^tC^")'"'^* > *^
fyisMt € =tf «t oelliB«a doit visiblement être pris» entit le» limites {si et {=:o^ quand la première l'est depuis #sso^
ji LA Théo Rie des suites. 471
losqu'à t infini; les théorèmes des n''% 1104 et suiv. s'appliquent
donc alors à llntégrale ffdec % et donnent des moyens d'en réduire les différens cas aux transcendantes distinctes qu'elle contient, *
II 14, Laplace indique ensuite ce qu'il faut faire pour appli* quer sa méthode aux intégrales doubles, et triples. Il montre d'abord comment on peut changer leurs limites variables en d'autres qui soient déterminées. S'il s'j^soît ^ par exemple , cTévaluer la formule ffydxdx^, en int^rant en premier lieu depuis x'tsiX ^ jusqu'à x*^=s^X\ on figroit «'=-X'+ ^X! — X)\ on transformeroit , d'après cette hypothèse , l'expression fjy dx dai en une autre de la forme Jfy (JC—X)dxdu, du ( n% 517 ) , dans laquelle Hn-* tégration relative à u s'effectueroit depuis if=o , jusqu'à iœi.
Cela posé , nous regarderons dans ce qui va suivre l'intégrale ffydxdxf^ comme ayant des limites constantes, savoir:
Ar=«, a?=Ac, x'=r, s/—(/.
Représentant à l'ordinaire par T ce que devient y , lorsqu'on y
change * et a/ en fl et fl', on fera y:=^Te , ou 1 r"— }y = t+ r'; substituant ensuite 0+î et 9'+ {9 à \x' et à x\ puis développant I Y-^ly en série , par rapport aux puissances de { et 4^ {' ( n*. jx ), on mettra le résultat sous la forme
en rassemblant dans M tous les termes qui contiendront i seul ou i combiné avec ^^ et dans M^ ceux qui ne contiendront que {'i on fera séparément
La seconde équation fournira immédiatement par le retour des suites , une expression de ^ en ^^ à Paide de Jaquelle on tirera de la première l'expression de { en / et /; il ne restera phis qu'à transformer le produit dxdx'sszdid(y au moyen des difiërentielles dtetd/^ et en supposant i=^Ni^ (=N'/^ on aura ( n*. 518 )
dtd/,t
47^ Ch. IïI. Application du Calcul intégrai
l'intégration des diâërens termes du second membre de cette équation
dépendra des formules ffdt€~*^ f^'d^c j si l'on commence par l'intégration relative à /, et qu'entre les limites /=e et t infini , l'on ait
d.Nt d,N'/ , , ^ -
/d,h Tt
dt'
YQ. sera la valeur à&fyd^^ depuis j:'= Vy jusqu'à la valeur de *', qui répond à r' infini. Remplaçant ensuite 9' par f«', dans y et dans Q , que nous changerons en conséquence en Y' et Q', nous aurons TÇ[ pour la valeur àtfydx\ depuis x'=ii\ jusqu'à la valeur de oc qui répond à Tinfini , et nous conclurons de là que FQ— F^(^' est la valeur complète de fydx\ ou que pour ohxtmx ff y dxdx\ il ne tçste plus qu'à intégrer par rapport à r la fonction YQ^dt^^TQ^dt. . Faisant ?XoxsfQ^dt=R^f(^dt=R\ ReiR! étant prises depuis fc=o, jusqu'à /= infini , on aura YR — Y'R'^ pour la valeur Atjydxdx'; depuis x=^i^ jusqu'à la valeur de x qui répond à /infini. Enfin dans r, Y\ R et R!y on changera A en /n ^ et représentant les résultats par r, , Y\ , R^ et R! ^ , on obtiendra Y^R;— Y\R1 ^ , pour la valeur de ffydxdx\ depuis ^=/*, jusqi^'à la valeur de x qui répond à f infini. Prenant la jdî^érence entre cette quantité et la précédente^ on trouvera qu'entre les limites x'z^V et x=zy!^ x=A et x-=il^
ffydxdx'=^YR--rRf^Y^,+r^R\.
Ççtte foripule est analogue à l'équation {^J du n*. 1x09, et
n,e peut pas non plus servir aux environs du maximum de ^ ^
pour en trouver une qui soit appropriée à ce cas f il faut considérer
si le maximum a lieu par rapport à l'une des variables seulement ,
ou par rapport à toutes deux en même tems ^ c'est*à-dire , s'il ne fait
dy d^ évanouir que l'un des coefficiens différentiels -r^ . —t % ou s'il les * dx dx
dy rend nuls tous deux ( n*. 154 ). Si l'on avoit seulement ~^ = o ^
on prendroit jc=:7« , tandis qu'il faudroit faire jczJTii 1 j
dy dy î
>i J'oiji avoit en même tems j^ = o, yy- :== 0, .
in5
A LA Théorie des su ï tes. 473
III 5. Sans s'arrêter à ces circonstances particulières, Laplace indique le moyen de parvenir à des formules qui donnent Tintégrale ffydxdx'dx'\ entre les limites de ^ , de x' et de x% qui rendent^ nuU n part pour cela du maximum absolu de la fonction 'j^ , qu'il suppose correspondre à jr=a j x'^=a! , x:=za^^ et qu'il désigne par F; il fait '
y^Yc '^ ' , x^aAri, x'=a'+i% x^=a'^+ç%
et développant ensuite^ suivant les puissances de i^ i\ ^% le premier membre de l'équation
il lui donne la forme
en réunissant dans M tous les termes multipliés par ^ , et contenant i j 1% 1% dans M' ceux qui ne contiennent que {' et {', et enfin dans M' ceux qui ne contiennent que {' seul. Il déduit de là les trois isquations
Ml^=^^ itfY*=^'% ilfV=^'% qiû résolues , en commençant par la dernière , au moyen du retour des suites 9 donnent
l=zNf, î'=iVV, t*=iVV,
N^' étant une fonction de t^' seul , N' une fonction de / et 1% et enfin N une fonction de t^ ^ / et ^^ Cela fait , il transforme
ixdx'dar^ d i d(dsC^ en r- — -r- ———.dtdt'dt\ il obtient
dt dt ' dt
Il ne s'agit plus maintenant que d'évaluer les intégrales des termes du second membre , comprises dans la formule
ffftt' t" dtdUt^t i
les limites des variables t , /> t'y étant l'infini négatif et l'infini positif ^ on reconnoîtra comme dans le n*. iiii, que l'intégrale ci* dessus '^'évanouit toutes le& fois que l'un des nombres n^ ii^ n",' jàpptndicc. Ooo ^
474 Ch. III. Application du Calcul rsTÛGRAL
sera impair ; et dans le cas où ces exposans seroîent pairs ou de la forme %i^ xi\ li', on trouvera, au moyen de Tîntégration par parties , que la même expression se réduit à
I • 3 • f . • . (li — i). 1 . 3 . 5 . • .(li' — i), 1 . 3 • 5 • • . (li'— i)t*
résultat dans lequel le numérateur de l'exposant de t est égal au nombre des variables indépendantes x , x\ x".
Si Ton veut se borner au premier terme de la série qui exprime. rintégraleyy^jT^y^jKT^ terme qui suffira lorsque les exposans des facteurs dey seront en très-grands nombres , on aura , par un calcul semblable à celui qui termine le n*. 1 1 1 x ,
1 ii*r 1 d^r I d'Y
^=-FZ?' ^=-TZ?^» ^--rST"-'
d^Y d*Y d^Y les quantités -— , --j— ^ , •— j- , désignant ce que deviennent les
dx dx dx
coefficiens différentiels -r^ , -y— y -r-^r i lorsqu'on y substitue
dx^ d X dx
a, a', a", au lieu de ;r, x\ x". On tirera de là
L/I^T ^ l/I^^ iX
puis cette équation approchée fydxdx'dx'=s
-r-.dtdidt't
dx*^ ' dx'* ^ dx"*
d'où Ton conclura cette autre
fydx dx^d **= y C""*T^ -.
En calculant <2 />rion l'intégraîe fdtdidt*i , nous n'arom
considéré que trois variables , mais il est évident que la méthode demeurera la mâme quel que toit le nombre des variables.
Examen de la
iii6. Nous allons acquitter ici l'engagement que nous avons pns transcendante dans le n*. 43 5 , de faire connoître plus en détail la transcen- J—^.
dante / , qui se change en / -p- » lorsqu'on fait «'=î.
En développant e% nous avons déjà trouvé ta série
=(U-i— h + + +etc.).,.(0-
Si Ton fait x=: i ^ on a une limite naturelle de cette intégrale donnée par la série convergente
I + -• f--. •< 1 — . '-^•4- etc. = «•
et Ton trouve avec cette valeur de it ,
Cette formule donnera facilement les diverses valeurs d« l'intégrale..^ depuis :ir = - , jusqu'à x = i ; elle fait voir que la valeur de.
t*dx
y prise depuis x=i jusqu'à «=o , est infinie , car la série
est de plus en plus convergente à mesure que n augmente et se réduit
à — -1- lorsque n est infinie, fi
Si l'on se servoit de la série (i) pour les valeurs négatives de x^
/fdx — est imaginaire
pour ces valeurs ^ ce <|ui pourtant ne sauroit être , ainsi qu'on peut s'en convainae en suivant la marche de cette intégrale par les valeurs successives de la fonction différentielle, d'après la méthode du* n*. 470 ; mais on parvient à un résultat réel , en changeant le signe
Ooo 2
An6 Ch. III. Application du Calcvl ihtâgràl
de X avant Tintégration , car oi} a
— = r—dx \ + 1 + etc. \p
d'où l'on conclut
"Vjf , jc I «• ta?' = \x h + etc.
X étant pris avec le signe + , da^ns cette équation. L'hypothèse jtr=a donne encore un résultat infini , et Ton peut fixer l'origine de l'in* tégrale à «=i , mais il restera à savoir ce qu'elle devient quand x est infini , car il se peut que I9 différence entre la partie positive et la partie négative dtt second membre demeure finie , quoique chacune
/e'dx ■" ,. prise
depuis :r:=r jusqu'à x infini négativement , auroit une valeur finie.
Pour éelaircir cette difficulté considérons l'expression j-A-r
qui répond à la série (i)^ transformée d'après, la relation e^=£{;;!^ nous aurons
/:£i=(nt+Ii+:MV Ç!lL+etc.> (a);
les valeurs jr=— i et x infini négativement correspondent à î=e""l et à {=0 ^ limites dans lesquelles la série ci-di^ssus a des termesinfinis et un imaginaire. Sr Ton intègre f-r^ pa^ parties re^ btivement au facteur d[ , on obtiendra
etc.
cToù Ton conclura Féquation
/dz f i r 1.2 . r.2.y , ^ ï , .,
dont le second membre a la propriété de s'évanouir lorsque i—O^
et se téduit à
— «''*{i— i + i*2— r.2.3+ etc. }
fc>
A LA TaÈORÎEDES SUITES. 4JJ
lorsque :j;=e"'. En ajoutant à la série (a) ta constante iS + l— F, Ou £+lF+l— I , et en observant que 1— i+lU=l( — 1{), on aura
puis faisant pour abréger E + IF=±J , et (Comparant cette série avec ( 3 ) , en supposant dans lune et dans Taulre { = é^\ on
formera Téquation
A — -H h etc.
== — «"■'{ I— I + i.i— 1.1.3 ■+■ «te. } , de laquelle on tirera
A^ — r'{ I— ilf} +Âr,
en teprésentant par M la série divergente
