i«i«3.4....«etc

dont la limite rapportée n^ 1047^ est 0,40365 14077 , etpar J\na

série convergente

I 1 r t î— -. 1 — . — etCr '

égale è 0,796599599197; on aura donc -i^ = 0,577116. Les séries (3) et (4) étant égales pour une valeur de { doivent le demeurer toujours ; ainsi^ la première s*évanouissam quand ^ = o , la seconde en doit faire autant. L'expression

Ij III. 1 ^ ^

donnera par conséquent la valeur de / — —, à partir de {ao, pour toutes les valeurs négatives de 1 { 9 et la formule correspondante

/:ï^=,^+i(-.)+î+i-îi+i-^L.+«.. (o,

celles dé f à partir de x infini négativement.

/^t*dx

1 1 17. En opérant immédiatement sur l'expression / ] nous

allons déterminer de noureau la constante J^ et avec plus d'exac*

478 Ch. III. ApfLîCATioK DU Calcul /intégral

titude que ci*dessus. Si Ton intègre par parties4a différentielle -^ ,

par rapport au facteur t'd x , on trouvera

'dx

/e'dx e /V

/edx t* t* rc'd - — T+ï^+y—

e'dx

i.3«4....(/z — ly

développant ensuite e* suivant les puissances de or , on aura

— -r — =Ê—iri I+-H h \r etc.)

nx* (n— i)x"-' 2(ai — i)x"'''

a: I AT* l x^

H 7 tH ^"7 — ; — zk-i ; r + etc,

en désignant par A^ la constante arbitraire et en observant de changer

dx -^^dx . le terme — en , afin d'éviter les imaginaires pour le cas oh x

seroit négatif. La substitution de ce développement dans celui de / , obtenu plus haut , conduit à

^dx t* t* le* 2.3.4.,..(iï— I )«*

- — =~+'ir+— r +

Ce résultat renferme trois séries dont les deux premières sont finies ;

A LA Théorie des suites. 479

le nombre de leurs termes dépend de /i, et si Ton prend ;i+i au lieu àtrij on aura en changeant la constante arbitraire J^ en ^,

t*dx t* c' 2.3 (/!— i)e* x.'^....fit*

il? X Jt' *• a:"^'

Polir comparer ce résultat au précédent, il faut développer dans

l'un le terme ■ ,^,* , qui ne se trouve pas dans l'autre et qui

donne la série