n 2*3 n II X
eâ^çant ensuite les termes communs , et rapprochant de la constante ^M^, le terme invariable , il restera seulement
équation qui montre ce que devient la constante lorsqu'on introduit un nouveau terme dans la série
X x^ xr
ou que l'on passe du déreloppement de
à celui de
— +— •• + **3»»»(«+0/-;;55-» Maintenant il
est visible que puisque la constante A répond au cas où Pon développe immédiatement e* suivant les puissances de « , la constante A^
sera celle qu'il faudra substituer à A quand ca prendra — (- / ■-
480 Ch. m. Application du Calcul intégral
et l'on aura A^=iA — i; lorsqu'on employera
— I »- 1 / = — , il viendra Aj=A. ==^-- 1— p-. En con-
tinuant ainsi de proche en proche » on obtiendra
^u moyen de cette valeur l'équation (^ ^ ne dépendra plus que de la constante ^ , et deviendra
/!££î ^AU-^l^ i.a....(a-.i)l
J X KfB a^ x^ *" )
II £ __i
\m^» • • mît X*^****/! 7f ^
/ijf* (» — i):»;" * X ^ '
XX* x^
H ^-^7 r; r + — 7 rr î-; r- + etc,...(A^'%
Si l'on fait x= — n^ dans les diverses séries qui .composent le second membre de cette équation ^ et qu'on en cherche la limite en . supposant n infinie , on verra d'abord que la première ^ multipliée p^r c~^, doit s'évanou^i quant aux séries
/2jr* (/» — ijjr'"' X
J. I - I 4- etc.
elles se détruisent réciproquement^ jcar les termes — -et -4 ,
devenant — - et + » sont égaux lof squ^on suppose n infinie ;
il en est de même dçs termes ^ ^ et ^ ,. . ^ . — r » changé;
en '■ et — -7— — r , etc. on aura donc
ef'dx III ^ \f \
La
A LJ Théorie des suites. 481
La valeur de la constante A ne dépend donc que de celle de la série
III I
dont la somme, lorsque /z est très-grand, est Xn-^-C ( n*. 939 ); C représentant le nombre O,577ir566490i5}25t II suit de là qu'à la limite , ou lorsque jr = -:- « , on a
et qu'en prenant par conséquent cette limite pour l'origine de l'intégrale on aura u4 = C, ou -^=0,5771156649015315 , résultat beaucoup plus exact que celui du n"*. précéd.»
Mascheroni, en poussant le calcul indiqué dans le n^ 939, jusqu'au centième terme de la série i + 7 + f + etc. a trouvé
C* ou ^=0,57711 5 664901 531860 618111 090081 39.
La relation qui existe entre A et M { v!". précéd. ) , savoir ; 'A=iL + c'\M — i), donnant itf=e(-rf— L)+i , le conduit à
Cette valeur de la limite de la série divergente
i— -i • !• + 1 • 1* 3—1 . !• 3 #4+ etc.'
.est beaucoup plus approchée que celle du n"". 1047 ,; que d'après EuLe^r , nous avons crue vraie jusqu'au dernier chiffre.
Il faut observer que tout ce qui précède repose sur les séries
XX X x^
Ijliisont divergentes et ne peuvent par conséquent donner immédia*-
/dr . redx
- — et de # ■ , à moins qu'on ne
tienne compte du complément ( Int. n"". 5 ) , lorsqu'on s'arrête à un terme particulier ; c'est ce qu'on a fait pour la seconde , en déve*
loppant l'intégrale / — ^^pj— ; mais quant à la première , on ne
Appendice, PpP'
4S1 Ch. IIL Application du Calcul intégral
l'employé jamais qu'en entier et comme un développement , suivant la remarque du n"". 4 de l'Introduction.
1 1 1 8, La série ( 2' ) est visiblement celle qu'il faut employer lorsque ç est peu différent de l'unité, parce qu'alors 1;^ est une quantité fort petite ; elle devient encore convergente après un certain nombre de termes , même quand 1{ est assez grand ; mais la série (N') étant transformée comme on va le voir , est plus commode pour ce cas. Si l'on fait n = — ^ + r^ r désignant une petite fraction , soit positive^ soit négative, on aura
1 — 4f= \ln — r)= \n — — - — — - — etc.
et l'on changer« par ce moyen l'équation {N^ en
III \ r 7^ j^
+ -^ — ï — 7 — -4-i/r— .r -i^ — j. — etc»
234 n n xn* -^n?
»+I 2(«H-lXtt+2) 3(^+0(^ + i)(« + 3)
x XX* ^x^
résultat dans lequel il faudra remplacer la série — i— i^—i—.! —etc. par la somme obtenue dans le n"". 939. En mettant ensuite 1{^ au lieu de X . il viendra
/^ f ' , ' , * , ^»? 1.3. ...(«—Ql
+— T 7+74 —««u : — rr— «*«•
2/x 2/2' 4»^ 6»^ n 2»* ^nr
«+I 2(n+i)(a+l) bCb+iX^+^X'ï+S) » (fl--l)a (fl-~i)(B— i)/»
formule dans laquelle B^^B^^B^y etc. représentent les nombres de Bernoulli , et dont tous les termes sont moindres que l'unité , à
l'exception de - — , qui est égal à ■:7— ^i et <2,
A LA Théorie des suites. 483
. Il 19. Il nous resterbit à chercher une série qui donnât Tintégrale / -p^ , depuis î = o jusqu'à i infini positif.
En s*appuyant sur la forme des séries (i) et (i), Euler pensoît que si cette intégrale étoît considérée comme réelle entre ^=0 et ;j;== i , elle devoit être regardée comme imaginaire entre ^=i et ç infini, ou vice vtrsâ. Cette conséquence pâroît d'abord difficile à admettre
parce qu'en suivant la marche du coefficient différentiel — , dont
jles valeurs successives forment celles de l'intégrale ( n*. 47O )i on voit qu'il demeure toujours réel , en passant à la vérité du négatif au positif par l'infini. Cette difficulté est une des objiections que faisoît BernouUi contre le système de Léibnitz ^ sur les logarithmes des nombres négatifs ( n^ 494 ) ; mais le passage par l'infini , paroît rompre quelquefois le lien de la continuité , ainsi que je l'ai montré dans le n"". cité ; et il en résulte que quoique l'on puisse avoir séparément sous uîie forme réelle les deux parties de l'intégrale pro* posée j elles ne sauroient être représentées par une même expression ^ et qu'il tst par conséquent impossible de déterminer la constante arbitraire y de manière qu'elle demeure la même dans toute l'étendue "^
de cette intégrale.
ï I xo. Nous allons présenter id le germe de l'une des branches de Usage des înté^ l'Analyse , qui semble promettre la plus ample moisson de décou- p^^ur exprimer les vertes et de laquelle on doit le plus espérer pour le perfectionnement fonctions données du Calcul intégraU Nous avons déjà fait observer plusieurs fois §fffércnticlles. (n^S 675 9 697^ 9^5 ) > que le nombre des transcendantes distinctes pouvoit être très-grand y et qu'il existoit probablement des fonctions dont les coefficiens différentiels ne pouvoient s'exprimer par la variable indépendante seulement , ce qui rendoit impossible la séparation des variables dans les équations différentielles d'où dépendoient ces fonctions. Quand même on auroit l'analyse complète des transcendantes expliciusy c'est-à-dire, exprimées par des intégrales à une seule variable, ou relatives aux quadratures , on ne saurait encore rien sur la nature de celles qui sont implicius , ou données seulement par des équations différentielles dans lesquelles les variables sont mêlées. La difficulté de
Ppp X
484 Ch. IIL Application du Calcul intégual
séparer les variables dans une équation dîfFérentîelle tient sans doute quelquefois à la manière dont elles sont liées , même algébriquement ^ dans son intégrale. Si cette dernière étoit par rapport à Tune'et à l'autre d'un degré supérieur 9 et qu'on ne sût pas la résoudre généralement , il ne seroit pas étonnant que ne pouvant parvenir à Texpression finie de la fonction par l'équation primitive , on ne pût pas non plus obtenir une semblable expression de son coefficient différentiel ; mais outre ce cas ^ dans lequel le facteur propre à rendre Téquation différentielle intégrable , doit être susceptible d'une forme finie , on sent qu'il peut en exister d'autres dans lesquels la relation primitive entre la fonction et la variable indépendante, ne puisse être exprimée algébriquement. C'est pouf ceux là, que l'on rencontre presque toujours lorsqu'on veut appliquer les 'Mathématiques à la Physique, qu'il faut se préparer des ressources particulières. Euler a encore donné dans ce genre une nouvelle preuve de la fécondité de son génie, en indiquant le parti qu'on pouvoit tirer des intégrales définies : voici comme il présente la chose.
Soit y =:jydx , y étant une fonction de x et de « , l'intégration ne devant avoir lieu que par rapport à la première de ces variables , et se terminant à â;=tf ; de cette manière y se réduit à une fonction de u seul , et ses coefficiens différentiels sont
dy d^y
— , y-^ , etc. Il est visible que la variable x , qui disparoît après
l'intégration , introduit dans l'expression de^^ une généralité , beaucoup plus grande que celle des formes employées jusqu'ici ; aussi est-il arrivé > comme nous le verrons bientôt, que des équations différentielles tn y tt u^ dont on n'avoit pu obtenir l'intégrale sous une forme finie ont eu une solution de cette nature , la transe cendance de la relation entre y et u étant rejettéis sur la nouvelle variable AT. Euler n'est d'abord parvenu qu'à former l'équation diff^ rentielle par le moyen de l'intégrale ainsi qu'il suit» ^, En différentlant complètement ^^ ^ on a
/dF - — dx ( n\ KK% ), du
/dy -T—dx étant prise entre ks mêmes limites qae/TJx,
A LA Théorie ves suites. 485
La fonction y resteroit encore indéterminée , si Ton ne fixoit pas en même tems l'origine de l'intégrale ^ et c'est ce qu'Euler fait en supposant qu'elle s'évanouisse lorsque :r=o. Maintenant si l'intégrale ff^dx devient nulle dans cette circonstance quel que soit d'ailleurs u^
dy ' dy
il en arrivera autant à ~ , puisqu'on a y+dy=y+-^du = o; il
du. du .
/dV -r^— dx 9 depuis iif=0,. jusqu'à :r=tf.
En poussant jusqu'au second ordre la différentiation sous le sigqe ,
d^Y Pd^V
il en résultera -j^^Ê—- dx. et si l'on désigne par £, iWet-^,
des fonctions quelconques de u, il viendra
d*y dy d^y dV
Lorsque l'intégration du second membre pourra s'effectuer, et
qu'après la substitution de x=a ^ il donnera pour résultat une fonction de a , que ribiis réprésenterons par Z7, la valeur yz=LfVdx satisfera évidemment à l'équation
On voit que la difficulté de la méthode con^e à choisir «la
d^V dV fonction V^ de manière que la fonction dx\L—^^M-- VNV^
soit intégrable relativement à ^ ; et Euler observe qu'il faut exclure celles de la forme PQ» P étant une fonction de u seul et Q une foncdon de x seul ; car elles coaduiroient à ^
y=p/<id.. i^^/Q"', £=7^nd,
^v dv d^P dP "
résultats dans lesquels l'intégrale /Qio; n'entre que comme un facteur constant, un. Prenons, pour premier exemple.
48^ Ch. III. Aprizcation dv Calcul intégral
nous aurons .
dV
d'où nous tirerons Texpression
+ xpMtâ^xpMuaii' V, qu'il faudra rendre intëgrable par rapport à x. Euler prend
atY w' + ^^Z"" Y ^' + * v^^s
pour la fonction primitive dont Texpression précédente e$t dérivée ; et en différentiant il obtient
développant et comparant de part et d'autre les termes affisctés d'une même puissance àt x ^ il trouve
N==: — /i— -1 (p-^ I ^— 1 (q+ I ) = — » — ip — % q.
Si j de la première de ces équations divisée par u\ on retranche la seconde y il viendra
j^pCp—'I )Z'^Nu^szCn+xq+%)u* — x(p—.i)c\
et mettant pour N sa valeur donnée par la dernière ^ on aura
xp ^ d'oh l'on déduira
(n+ip^iXc'+W) , (/>+y)«
L'intégrale définie;; de laquelle nous sommes partis ^ s'évanouira d'elle-même lorsque x:=:o, tant que /{>o; faisant donc x=a.
A LA Théorie des suites, 487.
l'équation différeatielle cherchée sera
"~ zp du* \ , V* P •'''" •
et sera satisfaite par l'équation
rintégrale indiquée étant prise depuis ar=o jusqu'à x:=a.
En supposant a=scy ce qui fait évanouir (c*'~a^)%lots^e Tejcposant q est positif , on a seulement
( c*+u^)udy^ {( n+ ip-^ 1 )( c^+ u^ ) + i(p+q)u^} dudy
+ ipCn + ip + iq)uydu^=zOi
rintégrale définie restant la même que ci-dessus j doit être prise depuis x=o , jusqu'à x=c.
Si Ton fait on trouvera réquation différentielle et l'expression dé y se changeront en
La solution ci- dessus peut aussi convenir à l'équation
x^Ca+bx"") dy+x(c + cx^) dxdy+(/+gx'')ydx*= O ,
que nous avons traitée par les séries dans le n*". 644, En y mettant d'abord i pour y et faisant ensuite
l^x - (^tf + *â?)»^^ y;
on la tran^ormera dans cette autre
x*(a + bx^'Jd^y +x{ xa^-^c + ^nA 4. (ib-^e + inA + iM^at* } i()r^
+ {f+ah—ck+ah^+(g+(l^c+nb+hhXn+k))x''}ydx^^Oi la quantité A restant arbitraire^ on en disposera pour faire dispa* roître-la première partie du coefficient du dernier terme ^ afin qu'il
488 Ch. IIL Application du Calcul intégral
devienne divisible par :i: 3 on tirera de cette condition
f^ah — cA+aA*=o, ou tf A*+Ctf— -c^A4-/=o(*).,
,Pour achever de rendre notre transformée identique avec l'équation à laquelle nous voulons la comparer^ il faut y faire a?*=»\ Euler n'a point poussé le calcul plus loin, parce qu'il traite la même équation par un autre moyen que nous ferons connoître plus bas,
II 11. Sôît encore ^=<»**;rY^*— ^/; on tire de là
et il faut rendre intégrable , par rapport à ^ ^ la fonction
Pour y parvenir on suppose qu'elle correspond à la fonction primitive e^x'^'^^Cc — Jif /■*■*; diffêrentiant cette dernière, et comparant le résultat avec la précédente ^ il vient
d'où l'on conclut l'équation différentielle
m dvr \ m Jdu • ^ "^ ^ -^ '
(*) La transformation que nous indiquons Ici se déduit delà deuxième du n^.« 6^9* £n comparant l'équation
à celle de cet article , on a
et si Ton veut prendre pour R ui|e fonction telle que la tra^nsformée conserve ta
même forme que la proposée , il faudra supposer /!= — — , „> » f* et f étant
dR
indéterminés» Développant ensuite la fonction J-/2"+P/?j qui aura pour
dénominateur' commun (^ + ^**)S on disposera de /x et de f de manière à réduire ce dénominateur à 4+^x". Ced suffit pour indiquer la marche qu'il faut suivre dans ce calcuL
et
A LA Théorie des suites.^ 489
et la solution j^ =/e'""'A:V x (" c — 'jc /j^ rintégrale étant prise depuis x=-o jusqu^à x=a. Lorsqu'on fait m=i et c=ii^ on a seulement
ud^j''^( au — iz— /? — i)Jydu-r-(n+ T )ayJu*c=o y=/e^x''dx(a^x/,
en supposant d'ailleurs /^+i>o et n+i^o^ pour que l'intégrale ne devienne pas infinie quand x=^a et quand :x7=o. /
Si l'on suppose jy.= /^ ", ou {= -~~-, on obtient cette trans-
formée du premier ordre
udi+ui^du — auidu+(n+p+%){^du — (n+i)àdu=: 0^
à laquelle on satisfait en prenant
fe^'xr^^dxCa-^xy ^~ ft'*'x^dx(a—xy •
Euler transforme cette expression de plusieurs manières ^ en faisant successivement
et il obtient
udv+uv^du+(n+p+%)vdu — \a^udu — ^(n—p)adu = o\ ^ u'^'^'ds^u'^''-'^^''^s^du^\a^udu—{(n—p)adu=Qy ds+ s^dt— \ a* z^^+'^^^rfr— i(n—p) u^^-^'r^U r = o j
enfin il obtient en dernier résultat l'équation
dq+q^dr—, — !: OL Jr—O l
A(n+p + qr
qui se tire immédiatement de la transformée tn i ^i u^ en y faisant
Il transforme aussi l'équation du second ordre entre ^ et ^ ^ et parvient à un résultat remarquable par sa simplicité. Après avoir mis cette équation ^ous la forme
dy ^ . ^ (n-^rp + ^)dy (n+ i)aydu du ' ^ , u u
Apptndiu. Q q ^
490 Ch, UL AppucATjosnu Calcul intégral
il fait ji'=^bt'^ et parvient à
^!y ry-"0^y . (»' +/> + ^)ày gCn-^çi )aydt
bqt'^'-'dt bqt"^ ^ ^ ^ H'' t. ~^^
en prenant dt pour constante. Cette dernière équation revient à
bi^x
et est satisfaite par y^=^f€ ofixÇa.'^xy. Pour transformer celle-ci £uler prend
—iVdt dy
ce qui lui donne
dz V, ou -^^^Pdi^^^
dtd[
d\+iPdrdi — bqat''^*dtdi+(qn + qp+q'hi) ^+idedP
+ [dt^{P-—bqa^''P+ ^JI^lM±î:ïl^—hq*(nJr i>^'"*} —Oi
et pour fair4: disparoître les termes multipliés par <^{ , il feit
La valeur de P > qui résulte de cette équation y le conduit à celle-ci
;.,..KJ1
dont la solution est
Ces formules se simptifient par la supposition de P=^ny î*( 1 /i + I )* — I = o , ou j ==
et * = d=- = il vient alors
i/'{— a*{/»^+i dt^Oy ou ^{ — ûV^'c^/*î=ôt
rfci ±1
et t±r« ^ ^ '^ t fe »i'dx(a—x)%
OU
A LA Théorie des suites. 491
1123. La supposition à^ y=:Jdx(a' — x^y^^cosbu'^x conduit aussi à une équation difFérentxeUe de la même forme que celle du n*. précédent , on en déduit
dV du
~^=— {^^(^— i)««-sio*«'*+*y«*'-*cos*«'«}(«»— *»)'^%
et substituant dans Texpression fdx ( L — - + iW-^ — h -^ ) > on a la fonction
.Np-i f ^ ^^^ bu'^x-^bqMu^^'x sin hu?x—bi^^'^x)Lu!*''^x sin bu^x \ Sdx{a^—xy-' I — ^-^^Itt'^'-AT* cos bvl^x J •
à laquelle on assènera pour intégrale la fonction primitive Ca* — :r*/sin b u\ , qui s'évanouit lorsque a: = o et lorsque x-rsui. La diiFérentiation de cette dernière , et la comparaison du résultat avec la précédente ^ donneront
Il €iut observer que l'équation différentielle
d^y iy ^y iV
se réduit à
lorsque Tintégrale dti second membre s*é vanouit à la limite jc = ^ $ sunsi Ton aura seulement dans l'exemple qui nous occupe ,
du u du
€t y=/dx(a^^x')^'cosbu'x.
Si Von fait p = 2 et * = - , on tombe sur un cas particulier
très-remarquable, savoir:
du* . " '
Qqq »
49* Ch. III. Application du Calcul intégral
pour lequel on a y=.fix(a^ — x^ ) ^^ cos-w^a:,
rintégrale étant prise de inanière à s'évanouîr lorsque ^=0 et x=^a. On a montré dans le n"*. 641 , que cett€ dernière équation difFé* rentielle répondoit à celle de Riccati ; on passe de Tune à l'autre en
fxdu
feisant j^ = « , d'où il résulte
u^" ^fx dx ( fl* — X* ) *^ sîn — îi^x i dy of V y ^ ^
y du — y— I
fdx(a^ — x^) ^f cos — u^x
les intégrations relatives à x s'effectueront toutes le^fois que —
sera un nombre entier positif. En posant donc — ^ =i , on aura
iq
q^='. : , et il viendra
di+i*du+a*u ^'+1 du = o;
équation' qui comprend la seconde classe des cas d'intégrabilîté que nous avons trouvés dans le n*. 5 50. L'équation du second ordre et sa solution sont
d^y+a^u ^H-ï ydu*=0,
y=fdx ( a^—x^/cos ( — (^ 2 i + 1 ; «^''+ ' x).
1 1 14. Dans ce qui précède nous sommes partis de l'intégrale /AV^^^ pour arriver à l'équation différentielle , mais cette méthode est indirecte , puisque c'est toujours l'équation qui est donnée , et qu'on cherche l'expression de la fonction qu'elle détermine. Euler^ en conséquence , retourne son procédé ; il suppose que l'on ait le développement en série de la fonction cherchée ( n**'. 677 et suiv. ) , et il lâche d'obtenir la limite de cette série au moyen d'intégrales '^ définies en s'aidant des procédés indiqués dans les h*^, 1058 et suiv.
A LA Théorie des suites. 493
Pour faire connoître la marche d'Euler, nous commencerons avec lui par déterminer la somme de la série
J+Bs+Cs'+ ,....+Ms^-'+Ni^+etc.
dans laquelle
in+k xn+k in + k i/^^k
Il est visible que cette série rentre dans celle qui a été traitée^ n"*. 1064 y mais comme dans Téquation de cet article j nous n'avons point dégagé la somme de l'équation à laquelle nous sommes parvenus y nous reprendrons en entier ici les Calculs d'Euler. Soit donc
l = J + Bs + Cs^+ Ds\...^... + M/-'+ Ns^+ etc. nous en tirerons dé là
^ = iBs+iCs*+^Ds^ + (l
as
i)Ms'^'+iNi^+ etc.
multipliant cette équation par m , la précédente par h ^ et réunissant les produits, nous aurons
+ («w+A)JVi* l-etc.
nous parviendrons semblablement à
nsdi
~^-^+ki:=zh4J^(n+k)Bs+(in+k)Cs\..+((i-^i)fi+k)Ms^
+{in+k)Ns^+ etc.
et en observant que
{n+k)B=kJ,{xn+k)C^{m+h)B,...(in+k)N={{i—j)m+h)^^^
nous aurons
nsd^
+ ki=kJ+hJs+(m + h)Bs^+(im+h)Cs*+{'^m'\'h)Ds''+ttc.
Mais d'après Tune des équations ci-dessus , la partie qui suit le
terme A:-^, dans le second membre de celle-ci, est égale à jr^--~+A{j;
nous pouvons donc former l'équation
nsd? ^ . ^ ms^dr
~S+ki=zU+—~^+hsi, as ^ ds
494 Ch. III. Application du Calcul intégral
[ds^k-^hs) kAds ou di-\ -2 — =— — ,
dont rintégration fera cotuioître s.
^ ds(k — ks) kds (mk'^nh)ds
On a -r^ ^= +i— ; ^;
' k nh'^^mk *
en intégrant 11 vient s^{n — m s) ^^ pour le facteur qui rend intégrable l'équation en ^ ( n\ 556 ), et au moyen duquel on arrive à
d'où Ton conclut
k mh'^nh k nh'^mk
Tintégrale étant prise de manière à donner i=A ^ lorsque ^=o.
Euler considère en particulier let cas où m=o^ et n:=:o^ dans lesquels la valeur générale de i devient illusoire , et en remontant à l'équation différentielle ^ il trouve pour le premier
ks^^k hsk
r = e^'s V« "s'^ ds^
et pour le second
{= € ^^ s ^fe^^^ d$.
Il remarque encore que l'int^ation indiquée s'cffi^ctue toutes les fois que A: est un multiple de n.
1125. Passons à la série
'AÂ-¥Bïïu\CCu^^DjyuK . .: +iHM«^"-'+A^JW+etc. '
en supposant que
A LA, T H È O RI 1^ DES SUITES. 4<)^ Soit
j^=^^'+ Jîi?'«^+CCV+Z?Z?V +MMu'-''+NN'é+ etc.
et considérons la série
ç=^+5tt;c+C«*x'+Z?ttV+£ttV+ etc.
en y faisant ux^=^s\ nous aurons alors par le n"". précédent
k mfc^^nh k nh — mk
Formons ensuite l'équation
Fz=i/PiJx=/Pdx{J + Bux^Cu^x*+Dtt^x^+ttc.)^
dans laquelle nous regarderons la quantité u comme constante , et nous chercherons à déterminer la fonction P, de manière qu'en efFectuant les intégrations relatives à jp , on obtienne la série proposée. Pour cela , il faudra qu'entre les limites assignées à la variable x , on ait
fPxdx=S^jPdx,fPx'dx^^,fPdx, fPx^dx=S^JPdx, etc/
car il en résultera
y= {AJ'+BB'u+CCu'+DD'u^+tic.}^fPdx^
A'V AfPtdx
^ fPdx fPdx ' les intégrales indiquées étant prises entre les limites convenables. Mais si l'on compare chacune des intégrales /Pa;</ a? ^ fPxfdx ^ etc« à celle qui la précède , on aura ces relations :
fPxdx==%fPdx , fPx*dx=^ —, fPxdx , fP'x^dx^ ^fPx^ix^tXQ. ' d'oh Ton conclura
SPx'dx^^fPx^-^dx^' iZ+Z fPx^^dxi
or 9 en observant que ces relations ne doivent -a voir lieu qu'aux limites des intégrales ^ on verra facilement qu'on peut supposer en général
4^6 Ch. IIL Application du Calcul intégrai,
pourvu que la fonction x^Q^ s'és^anouîsse à ces limites. DifFérentions cette équation et divisons ensuite tt% deux membres par j'"^^ nous aurons , après avoir fait disparoître les dénominateurs ,
Cette 'dernière devant avoir lieu quel que soit i , se partage né-: cessairement en deux autres qui sont
n'Pxdx=^m'Pdx+(ldXy k:Pxdx = ( h'^m' ) Pdx+xd Q, et desquelles oh tire
Q^^ r. , xdO
Pdx—^ , et Pdx = -TT ^
nx — nt kx — '(h! — m') *
divisant Tune des valeurs de Pdx par l'autre , il vient
xd(l}!x->rnJ—li d(l dx(y!x^m'—Ky
<ldx
ou
» JC— '/»
d Q (h'^m')dx (m'k! + m'n'—h!n')dx •ce qui donne —= ^^ + ^,^,,^.:^
[£ Vm'—h'n'
Q = x'»' (vlx—ni)
•X conse^
faisant la constante égale à l'unité y et substituant la valeur de Q dans celle de Pdx , nous aurons
Pdx'sr^x^ dx(m — n'x) «« Nous déduirons de là (in'+k')fPxUx = ((i—j)m'+h')/Px^'"dx
kW—h'n'
mais comme la partie intégrée doit s'évanouir aux deux limites de l'intégrale ^ il faudra prendre cette intégrale depuis x=o , jusqu'à
x=z-—. On aura alors n
fPx'dxz^ - — . ; .7 fP x'-'dx ,
pourvu que
in'+k'
mn
et
