A LA T H £ 0 RI E DES SUITES

et avec ces conditions , il vient

il— *'^'"-^'^'

^~ rpdx ~ h' \ k'm'—h'n' '

fx^ dx( ni'^Tix) ^ « en observant que

cette dernière intégrale doit être prise de manière à donner {=^ lorsque {;=o ^ et il faut changer dans sa valeur s tnux^ puis re« garder u comme constant dans l'intégration relative à x.

Il est visible que l'on peut échanger dans les résultats ci-dessus % les coefHciens -rf , 5 , C , etc. avec les coefficiens -^, B\ C\ etc. parce que ceux de la première suite sont de la même forme que ceux de la seconde; il suit de là que l'on peut obtenir deux expressions de la somme y tny changeant m^ n^ h, kytam\n\ k', h\ et récipro* quement.

Ilest à remarquer que la fonction Q n'est introduite dans le calcul que pour donner les limites des intégrales fPdx^ et que les conditions

n'étant pas remplies lorsque it/^o , ou ft'=o y il faut déterminer Q d'une manière spéciale pour chacun de ces cas. Les deux valeurs de Pdx se réduisent dans le premier à

on en tire -^^^^s ,, , et Q = «»**« ;

Q nxr ' • -»-

on a dans le second cas

— y KxJfm'-^U*

*'* A* dO (kx^mt—h'Ux k'dx K—m'dx ^ r — ■-*

Q ~-.mx m m! X

Appendice, R r r

49^ Ch. III. Application du Calcul intèqral

1 1 2.6. Nous allons appliquer ce qui précède à l'équation x'(a^bx'')dy+x(c^€^)dydx+(f'\'gx'')ydx^=0, d'après laquelle on peut développer j/* dans une série de la forme

^;c*+5;t*+-+CA:*+*'+2?Ar*+3«+ etc.

A étant donné par l'équation du second degré

a(A — i)a+AC+/=^o, ( n\ 644 ).

^ Si Ton fait pouf abréger »( a,-^i )lf+Ae+gz=^h^ on aura

n ( na+( lA-^i )a'i*c) '

"^ %n( ina+(xA — ija+c)

Les facteurs du dénominateur de ces expressions sont de la forme de ceux de la série du n*. précédent , et le numérateur étant une foTnction du second degré se décompose en deux £icteurs du premier ,

par la résolution de l'équation

^i i;v*+Cict-i)(i — i)«*+(i — i)/itf+A=o, qui donne .

ce qu'on réduit à

en vertu de l'équatioa d*oii dépend «t. Si pour abréger, on fa^ K (^ — «)• — j^bg = q, il viendra

d'oti il résultera

I/3^(i;2tf + (2«— l) tf + f )

A LA Th Écris dm s s u zt b s. 499

Soît à présent «;'=«, et

nous aurons dans cette forme

valeurs dont la comparaison avec celles du n"". précédent ^ nous montre qu'il faut y changer

mennb^ A en 7( a*— i ) i + J^ — ~'^, n en — /ï*, A en o^

fn en nt^ h' en K^*"^*)*+ r^+ïf> /i' en na, h! en ( 2 «t — i ) 4 + c.

Nous chercherons d'après ces dernières dénominations l'expression de { 9 et pour éviter toute ambiguïté y nous y écrirons r au lieu de x; Aoas aurons s = uix=:x'^iy tt

Nous conserverons dans Tèxpression de ^ les lettres m\ n\ h' et it', mais nous changeretis « *e& x*^ et .faisant atteiHton que j^ est divisé par x*y nous obtiendrons

A'x*ft^ ^ii{m'-^'t) "■«'