AV
ni b ^
les intégrales étant nulles lorsque /7=:o ^ ;çt }p:minée$ à /:;^-7=:;:- ; en observant d'ailleurs les conditions
dont la preijuètf se rédw à, ^ " Lt ' - r^ ^ ^
Rrr 2
500 Ch. IIL Application du Calcul intégral
à cause que la plus petite valeur de i est Tunité, et la seconde
devient ' i i— ; 1 + I > 0.
ifiaa
Il est facile de voir aussi que l'intégrale définie
//"» dti^nî — rit) »"» peut être remplacée par une constante arbitraire , et que l'on aura enfin
K Vm'—h'n'
Le coefficient J , qui entre dans la valeur de ;^ , étant arbitraire i la dernière expression de y eist une intégrale complète puisqu'elle renferme les deux constantes ^ et C
La possibilité d'échanger entr'elles les quantités n et n'^ k et k'f en prenant
n a pour n , — «^ pour /i.', (la — i)a+c pour A, et o pour k\
conduit à une seconde solution ^ dans laquelle on a
k km-'^hn k' Art— fc«
la fonction i devant être égale à A lorsque j=o ^ et
l'intégrale relative à t devant s'évanouir lorsque / = o , et lors-^
que ^ = -T- Les conditions de cette expression sont -7 > o, n , m
et I — — 7 > o , à cause que A'=o. La relation entre { et j , délivrée du signe d'intégration , est
ds "^ . s(n^^ms)
1117. Ewîer' donne encore deux solutions de l'équation différent tielle proposée ; il les tire de la série descendante
y = a;*(-^+5<»+ C;p"^?*+/?:if"?*+ etc. ) '
A LA Théorie des s vite s. 501
pour laquelle & est déterminé par l'équation
{ fit — I ) b+ A «+jf = ©• Faisant «&(* — 1 )tf + «c +/•= A, il trouve ^ —A ^^
;2(/23 — (ifit — i)b — e) * — n*a+(iûi — i);2tf+/ïc-— A
272(2/lA— (lot— l)A— e)
— (i— l)»/2*4+(lfit— l)(i— î)ntf + (i— l)l2C— A
in{inà'^{%A — ijp — i)
L'expression de N se décompose ainsi :
en posant V{a — cy — Aaf=^p. Par cette opération le développement de y peut être mis sous la forme
^tz^AÂ-^-BB'u^ CCu\ +MM'u^}+NN't^+ etc.
en y changeant «•""• en « , et prenant
jy^ (^'— O^^ — t(^^-"0^ — 7^~T^ jf..
comparant ces valeurs avec celles du n^« 1 115 , nous verrons que les lettres m^h ^ nttk doivent être remplacées par
Tîtf, — H** — ï)^ — a^~"i/'> — ntfeto^
et les lettres mf. A', n! et k\ par
na^ — 7(1*— i)^ — î^ + T/^f «* et — (2«wi)* — e. En faisant ^ = «/ = *^^/, nous jurons . '
y = C^fi'»- ^f^^CW^n'i ).-.""" ,
502 Ch. III. Application du Calcul intégral
les limites de l'intégrale relative à t étant déterminées par la condition qu'à Tune et à l'autre , on ait
Si l'on permute entr'elles les lettres analogues , en prenant
nb pour /2, "-^na pour ri
— ^(2«t—i)tf— 1^+^/7 pour A, -^i(i«— i)--^c~f/^pour*',
— ( 1 A-^— I ) h — t pour A: ^ et o pour Jt', l'expression de { se déduira de l'équation différentielle
ds s^n-^ms) ■
et l'on aura
l=Aks ^ (n—ms) ^ fs^ ds{n—ms) *"» >
h' tV-^V
Ht A'
en observant qu'aux deux limites de l'intégrale relative à ^ j
« • • A #1 -^« fi
iiiS. Edaircissons ce qui précède en rappliquant à Téquatioa particulière
x\l-^x*)d^y — x{^i'\'X^)dxdy'\'Xydx^z=zoi
en la comparant avec celle du n"". iii6 ^ nous aurons
Avec ces données , et eo ayant égard aux deux valeurs dont« «t suscepti^e^ naus.obtLeiidrûos jiar tes focnuiles du n% cité^ les quatre résultats suivans
JT a.(iH-V) »-^^^^^ «'"^'+'> (^^
A LA Th £ 0 R J E DES SUITES. 503
Les valeurs de «t relatives à la série descendante du n"*. 1117, étant + 1 et — 1 9 conduisent de même à ces quatre autres résultats:
^Ts i<T+:ô — ' ^~^^ ^^ ^ . ••••••^^^
Pour répandre sur le sujet qui nous occupe toute la clarté qu'on y peut désirer , il nous reste à montrer comment les valeurs de y satisfont à l'équation proposée. La chose ^X tràs*facile à Tégard de celtes qui sont comprises dans la formule
en prenant le signe inférieur , par exemple , il vient
dx
xU
dy V /* xtdt
dx J {
d^y ^r tdt
dx^ \ • dx^ J X i ^ ^
d'oh il résulte
et rintégrale du second membre étant
504 Gh* III. Application du Calcul intégral
s'évanouit lorsque /=o , et lorsque / est infini : c'est donc entre ces limites que doit être prise celle qui exprime là valeur de y.
Venons à Tune des formules oh ^ n'est donné que par une équation différentielle ; prenons la quatrième : en n ayant égard qu'au signe supérieur , nous aurons à traiter l'équation
En la multipliant^ par sV i-^s ^ et l'intégrant , nous en tirerons
^ sVi + s
et en observant qu'on doit avoir {;=-4 , lorsque j=0| nous trou*; verons 5=— .z-^, d'où
%A{Vi'\'S^i) lA xA
di '4A xA{%+'itâc^)
dx tx^ .. A
ex^{i + ex*)
â\ xiA 6A{i + ^tx*+4^x^)
5j? tx^ "" "" A
tx%i+fx^) •
Substituant ces valeurs dans les suivantes
et les résultats dans Péquatlon proposée , nous obtiendrons
le
A LA ThÊOAIEDES SUITES, 505
le second membre de celle-ci a pour intégrale Texpressloa
qui devient nulle lorsque tT±: — i , et lorsque t =x) ( * ) ; c'est donc entre ces limites qu'il faut prendre l'intégrale qui exprime y. En y remplaçant { par sa valeur , elle prendra la forme
Si l'on écrit -«/^ au lieu de r^ on aura
et l'intégrale devra s'évanouir lorsque / = o et lorsque /=i.
iir^ç. Laplace a montré le premier que la sommation des séries par les intégrales définies , conduisoit aussi à l'intégrale de Téquation différentielle partielle
idans quelques-uns des cas oh elle échappe à la méthode du n"*. 771 : c'est ce que nous allons faire voir , en suivant à peu de chose près la marche qu'il a tenue.
Il est visible que la série
B^Çu)^C p'(u)+Dp'(u)+ etc.
+BACy)+CAXy)+DA"(y)+ etc.
prise dans le n"". 772 pour la valeur de {, peut être remplacée par celle-ci:
ji fd uç(u) + B/d ufdu f(u) 4- Cfdufd ufd u p (u) -f- etc. '+JJdv'i{v)+BJdvfdv'^(v) + CJdvfdvfdv^(v)+ etc.
(*) Pour s*en convaincre dans le dernier cas , U suffi t de développer — — ■
suivant les puissance» de t,
Appcndiu. S s s
5o<î Ch. III. Application du Calcul intégral
En réduisant les intégrales doubles ^ triples , etc. en ihtégrales simples au moyen des formules du n*. 487 , on changera la première partie en
Afd u ^(u) B
