etc

( uYd u f C«^— 3 «y» d u p(ff) + 3 ufu^d u p(u)^fu^d up(u) }

maintenant afin de distinguer les facteurs où la yariable u se trouve hors du signe intégral de ceux oîi elle en est affectée , on écrira dans les derniers r à la place de i/; on pourra après cela passer les autres sous le signe /, en observant de les regarder alors comme constans , et on aura par ce moyen

fdt^(t){A+^ ^+-i ^ + -^ ^+ctc.}

=fdtT(u^t)^(t) ,

T(u — t) désignant la somme de la série renfermée entre les acco* lades , et les intégrales étant prises depuis r=o jusqu^à r =». On trouvera de même que la seconde partie de la série proposée revient à

• 1 I .Il 1.1.3

=fdtT,(v^O4(0f

en observ£|nt que les limites de l'intégrale sont ici r=o et /=v j on aura donc

l=fdiT(u—0P(0 + fdfT,Cv^t)4(t).

Pour déterminer les fonctions T( u — t) et T^(v'^t)^ il faut connoître d'abord les relations que les coefiiciens A^B , C^ etc. A^^B^^C^y etc. ont entr'euii et qui s'obtiennent en substituant dans l'équation proposée ^ au lieu de { la série

Afdu^(u)'\'Bfdufdu^(u)^Cfdufdufdup(u) + etc. + AJdv'^(v)+BJdvfdy4( y ) + Cjdvfdvfdy4(v)+ tic.

A LA Théorie des suites.^ 507

on aura relativement à la fonction 9 ^ les suivantes dA

^PA—o

dB '„ d^A „dA ^dA ,^^

, dv dudv du dv

dC d^B dB dB

dv dudv du dv

etc.

on en trouveroit de semblables entre A.^B,^ C, , etc. Si Ton pouvoit tirer de ces équations les valeurs des coefficiens^.la question seroit ramenée à sommer les séries

Appliquons ces idées générales à differens cas particuliers afin de faire mieux connoître le parti qu'on en peut tirer ; soit Téquation

dudv du dv

dans laquelle Pt q^ m désignent des constantes. En traitant cette équation par la méthode du n". jjx , on retrouve à chaque transformation la condition/*^ — m=o, et il est par conséquent impossible d'obtenir par ce moyen l'intégrale de la proposée sous une forme finie lorsque cette condition n'est pas remplie ; mais les équations

dJ ,

dB „ d'À dA dA '-r-+pS+-j— — \.p-—+q—-+mA=:0 dv dudv du dv

dC ^ d^S dB dB

etc.

qu'on obtient par la méthode précédente conduisent facilement à une série. En effet ^ la première donne par l'intégration , A^slC^a , <t étant

Sss z

5o8 Ch. III. Application du Calcul intégral

une fonction arbitraire de u ; et en la différentiant par rapport à 1/ ^

on en tire

d^A dA

dydu du *

ce qui réduit la suivante à

àB ^ dA

Pour satisfaire à celle-ci on fera Bzz^r^'^f^ ^ j3 étant une fonction

inconnue de v et de u. La substitution des valeurs de J? et de ^ >

donnera après des réductions évidentes

dfL ^ •j^ — (Pf'—rn)ct:=iOi

en se bornant à satisfaire à cette équation , on aura seulement

et l'on déduira de là

dB , ,

dv dB

dv »

dB ' d^B dB dit

— +pB=r^U(pq^m), j-^p—^r^(pq^nt)-

valeurs qui changeront l'équation d'oh dépend C, en dC /da. \

j^+P^+^ '^{(pq—m)\^—+aij—Cpq—^)^<^^}=^o.

Faisons d'abord C=:e'^''y ; Téquation précédeiite deviendrs^ divisible par c"'''^^ et nous aurons

-~ + (pq-'f^)(J^+*q)-'(pq—f^)^^^—o;

il ne faudra plus ^ pour ramener cette équation à la forme des autres ,

ddL **

que supposer - — h^^sio» ce qui déterminera la fonction' arbi-

traire «^ en donnant ûi:=e''^, puis il viendra

— — C/^j — ;w^*«v=:o^ d'oîi dy

A LA Théorie des suites, 509

L'équation D étant

^D , r, J^C dC dC '

se riduiroit au moyen des valeurs de C,- de «, et en supposant

dv i.x

l*on auroit par conséquent

Il suit des calculs ci-dessus , qu'on employeroit aussi à la recherche des coefficiens ^, B ^ C, etc. que *

etc. J Utc.

et que les séries qu'il faut sommer sont

lorsqu'on fait pq — m:=n.

Si nous désignons cette somme par y , y sera une fonction de v(«— ^) , pour la première série, et de u{v—t)^ pour la seconde, mais de la même forme dans l'un et l'autre cas , et la fonction r^^'^^y

sera une valeur particulière de {. En faisant pour abréger v(i/ /)=9

nous aurons

du ^ -^^ ^fl^«

^î — -« dy di

jio Ch. IIÎ. Application du Calcul intégral

maïs comme --- = v, —- = «—./, il viendra

du dv

qy + v

di)

^ La substitutioa de «es râleurs dans l'équation proposée la changera en

•Ti7+7Ï+ (m—pq)y^o

d6' ■ di

les .deux constantes qui entrent dans la valeur complète de y se dé*-

terminent par la condition que j?=i et 'yi=pq — m^ lorsque J=o,

condition qui résulte de deux premiers termes deia série dont y est la somme. La somme de la seconde série se tirera dis l'expression éiey , en y supposant 9=i(v — r), et prenant y. pour représenter ^ , dans ce nouvel état , la valeur complète de i sera

la première intégrale étant prise depuis /=o jusqu'à t=u y et la seconde depuis /=o jusqu'à r=v.

Si Ton vouloit s'assxtrer xpt ce résultat satîs£iit è l'équation proposée , il faudroit observer qu'en général lorsqu'une intégrale Tdt doit être prise depuis r=so jusqu'à f=tf ^ t doit êtr^ considéré comme une fonction implicite de x^ ^ et que Ton doit avoir par conséquent

d(fTdt)d.fTdt d.fTdt dj

du du dt *^du^

dfTdi ■ dt dt du

lorsque r^i ; ainsi en représentant par 2/ ce que devient alors 7,

^n auroit

d{fTdt) rdT

\fdT J du

dt^V.

A LA T n i O RI E DES SUITES. 51I

1130. Laplace applique encore sa méthode à réquation

^x^^v u^v du u + v dv (tf+v)'

dont nous nous sommes occupés dans le n". 774 « on satisfait aux équations qui déterminent les coeificiens A^ S yC^ etc. en supposant

etc. etc.

«^ i8 j etc. a, y fi, y etc. étant des constantes telles quef

etc. y etc.

Les termes généraux de ces suites seront

et l'on aura

On fera 7==:(x^+r)~^^^ en considérant y comnu^une fonction de là

quantité que Ton représentera par 9, et l'on obtiendra

l'équation en y ^ comme dans le n"*. précédent , par la substitution des fonctions

dT dT' d^T ,. , dr di d^T

^ du^ dv^ dudv^ ^' rf«' iiv' rfik/v f

qui donnera

Pour former T, , il suffira de changer dans cette équation pttiq^ f en /> et ^ eft y, ; Ton aura 7',=f«+v^''j^, ; les constantes des

5 1 2 Ch. III. Applica tiok bu Calcul nfTécRAL

expressions de y et dey^ se détermineront , comme précédemment ; par le moyen des deux premiers termes des séries T et T^ : enfin on obtiendra

L'une des fonctions jk et j^, peut aussi se déduire immédiatement de l'autre ; car Téquation (b) , transformée d'après ce qui a été dit plus haut, se change en

«0-»;^'+ {« r/'— ?-^;+ 1 } ^+ {Pi-^—nSy^^o. . .(*.),

et redevient (b) lorsqu'on faity.s^'i — OJ'^y. La détermination des constantes arbitraires de j^ ne change point cette relation , car lorsque 0=0 1 on doit avoir

y= I , ji=p—p1+m y,=i , ~=î— ?f +/»,

et les deux dernières de ces valeurs résultent aussi de l'équation j^,=( I — ^)'^y 9 quand on la combine avec les premières. Main-*

I J , on aura

II3I. Il est bon de remarquer que l'on peut changer les limites des intégrales. Si à^f , l'on substitue ut dans la première et r; dans la seconde , et que l'on désigne par y et j^" ce que devient alors y , on aura

les intégrales devant être prises toutes deux entre les limites /=3=o'et /=!.

Si l'on représente par K et K, les valeurs des intégrales y3^ir^(r) tt/y^dt^iO 9 prises depuis r=;:o jusqu'à ^infini ^ les quantités

K—fydtpi.t) tt K,^fy,de^{t),

seront les valeurs des mêmes intégrales , à partir de / infini j mettant au lieu de /, dans la première, «+/ et dans la seconde , v+r';

désignant

A LA Théorie des suites. 513

désignant par Y et par F, , ce que deviennent j^ et y, , on aura

= K + K,'^frdt'p(^u^e')—fY,da(y + i').

Les limites des intégrales du sçcond membre seront visiblement t' infini et t'= o , lorsque celles du premier seront r = o et / = « , /=:0 et r=v; pms comprenant la quantité constante JC-H K^ dans les fonctions arbitraires , et changeant le signe des intégrales , on pourra y à une expression de la forme

dans laquelle les intégrales sont prises, Tufte entre r=o et /=«, et Tautre entre /=o et /=v , substituer celle-ci

dont les intégrales seront prises depuis / infini jusqu'à /=so«

II31. Ce qui précède renferme la substance de ce que contient le Mémoire de Laplace ^ relativement à Tintégration des équations différentielles partielles par des Intégrales définies , et se lie parfaitement avec les travaux d'Euler sur les équations différentielles à deux variables , sur- tout lorsqu'on rapproche les n"**. 768 et 1 1 15. En faisant dépendre de l'équation {h) la sommation des séries 7 et T, ^ et réduisant par-là l'intégration de l'équation différentielle partielle (a) , à celle d'une équation différentielle à deux variables ^ Laplace a réellement ramené l'intégrale de la première à ne dépendre uniquement que des intégrales définies , toutes les fois que la seconde sera susceptible d'être traitée par la méthode d'Euler , ou que les séries T et T, seront analogues à celle du n"*. 1115.

La méthode par laquelle Parseval somme la suite jij^ + BB'+ ce + tic, ( n^ 1067 ), conduit aussi à un résultat semblable ; car il est visible que la série

I + — î^ ^+ ^ ^4—^-^ r^ + etc.

à laquelle nous sommes parvenus dans le n"". 1 119 ^ étant mise sous la forme

1 H 1 V' + etc. .

Appmdi^c» Ttt

514 Ch. III. Application DU Calcul, intégral

(en faisaot-n v ( « — ^) = «S résulte des deux séries

i+-*H **^ *'+ €tc. = e*'

et —

i-l 1- -+ -.+ etc.=e ,

multipliés terme à terme; et on en trouvera par conséquent la somme en substituant successivement cos5 4-r — isin^et cos s — Y — 1 sin 5 9 à la place de x dans la fonction

on aura par là

. ^ cosx+l/— isini

«e/x + i- I a* cosi*— 5l«t V — f cos ^ sîn s

0 cosi— V — isiii/

multipliant le numérateur et le dénominateur de l'exposant dans la première formule par cos s — » 1^— l sin s , et dans la seconde par cosf4- V^— isittiy on verra facilement qu'elles se réduisent

ilACO$S

toutes deux k c * ^ d'oà Ton conclura que la série

1+ — + +^ +etc,=^/^ as y .

rintégrale étant prise depuis 5 = 0 jusqu'à j = t, et Ton passera à r = - e /« rf^. Celte expression deviendra celle

de r, y lorsqu'on y supposera nu( v— / ^ =* «* t et on aura en^n

l = -t {ffc "^ dsdtf{t)

^jj^^- ^^<^^dsitA,{i)'i,

Â LA Théorie des st/irss. 515

1133. Cest d'une manière analogue que Parseval a intégré Téquation différentielle partielle à quatre variables ,

Elle se transforme en -~== 4 <»*T--7--j lorsqu'on fait

dt^ dudv

cequidoone

</« </a </v dy \du iv/

dx^ du^. dudv dv^

faisant ensuite 4a*=i* et t=>rf + Bt+ Cr*+ Z)^+£f*+ etc. il vient