dudv I.i. . • 5 du dv^ 1.2... 7 dttdy

expression que Ton doit regarder comn^e complète ^ puisque les

Ttt z

5i5 Ch. III. Appi^ication DU Calcul intégral

lettres ^ et B peuvent représenter des fonctions arbitraires de u et V (^). li est visible que la seconde suite étant désignée par T , la

première sera -r— , pourvu qu'on y change B en ^ ; et^ il suffit

par conséquent de trouver la somme de Tune de ces suites. Occupons-nous de la sérit

iV d^B *V d^B AV d^B

BtA + ■ , 4 ^ 4- etc.

i.x.'^dudv i.i. . . 5 Jtt'^v* i.x...'jdu^dv^ .

Pour en trouver la somme par le théorème du n% 1067 , il faut

observer qu'elle résulte du prodjuit des suivantes ^ multipliées terme

à terme

dudv d u d V

j-H 1 — etc.

La secondé est le développement de sin - ; et si l'on différentie la

première par rapport à xf et à r successivement ^ en la représentant

M-M*WMw«a

(*) L'artifice employé ci-dessus^ pour transformer l'équation proposée , qui ex-» prime les conditions du son «lorsque l'on ne donne que deux dimensions à l'air « et celles des vibrations d'une surface plane, est analogue à celui du n*. 769.

Il est bon de remarquer que dans sa Mécanique analytique , Lagrange a donné

sous la forme

[—A^ Bî + Cx*+ Dr»+ etc.

l'Intégrale complète de l'équation .

dt^^ dx*^ ^ dy^ '

^nî se rapporte au mouvement des fluides. Les relations dès quantités Â^ B, Ci Dy etc. qui représentent des fonctions de x et dey, s'obtiennent facilement par la substîta* tion de la valeur de { , et Lagrange trouve

^^ ^ 1 .\ dx* ^ dy* /Ta \7x* ^ dy* Ji.i. ,rdiA , d^A , d*A \ t* ,

ks fonctions ÀtxB restent aib'itnirei ( Méc. analjt. page 474 }.

A LÀ Théo rie des s v i tes. 517

P9ir r, on recoanoîtra qu'elle dépend de réquation

dans laquelle e^setB sdnt reg^rdé^ comme constantes ; ©n en auroit donc la somme si l'on pouvoit intégrer cette équation qui ne renferme que les trois variables 7^ u et v^ ou du moins y satisfaire; mais en faisant pour abréger

on verra facilement que l'expression

T=p {fdu/Bdv^Kf-JuY'Bdv^ + K^/^du^fBdv'^ttc.} , donnant

—— zrzpB-^p KfdufB dv+p K^fdu^pB d v«— etc.

vérifie l'équation ci-idessus. ; \ / / .

Un calcul semblable à celui du n*. « 129 ranjenera les, intégrales de la forme/Va7*5rfv" à ne dépendre que AtfdufBdv. En n'ayam d'^ord égard qu'à r , et remplaçant B par 4^«, v^ , on trouvera

pourvu qu après rmtégration du second membre on fasse jjf^iasv , et on aura

puis en observant que Ton peut intervertir l'ordre des intégrations le second membre de cette équation deviendra

i -tiPtyjd.ii:

A*X»^««*«*a HZ

la dernière intégrale étant prise • déjpuis x^^Oj jusqu'à Ar==»: on aura 4onc enfin

5i8 Ch. III. AppiiCATiAtr DU Calcul luféGRAL

rduTA- r «, V ; y y?= ff ("-'')' (""-y)' ^(^.y) dx

T=PffMxjy)dxdy{i i ^ i£ + -J £i Z±^

La série comprise entre les accolades se transforme >a

*■ ta «* I h- h etc.

lorsqu'on y fait V a(«— x ) {v-^y) = « et dépend des suivantes

aX ÙL*X* .. ct^JC* «MT

I + — -J + — 1- etc. = e

"et fit* et' X

1 + --^ 5^ + etc.=:^ ;

IX I.2A* I.2»3JC^

on en obtiendra donc la somme , en substituant à x les expressions

eos r + V — I sînr, et cos r— ^ V^— t sîhr. Un calcul absolument

semblable à celui du n'^. précédent donnera pour cette somme

ou f4r co^ {%y^{u — ^^K^— y).sinr),

et Ton conclura de là que

^^pfC [^/^''COS (2 \^h{u—x) iy—y) . sîn r ) j 4 C^,^>^^^y >

où il faut se rappeler que Tintégrale relative à r doit être prise depuis r=o jusqu'à r;=sr » tandis que celles qui se Rapportent â ;i; et j^ ont respectivemcA^ pour limites 4£r=o et x=tf , ^^=0 et y=K

Pour achever la sommation que nous nous sommes proposée , il nous reste à remettre dans la valeur de T celles de x et dé /^ , qui

sont r— TT et -77— , ct à combifter le rësul^at précédent avec Tex-

pression sîh — ^-en mettant dans Tun et dans l'autre

cOBf + V^-^i sia ^ et cos-f — V*—^ sin^ , au lieu de ^ ( n*. 1067 )• Les détails de ces calculs étant assez compliqués ^ nous les suppri*

-/m ( +« . Wr=-/^rC0s(2«smr),

À LA Théorie ves suites. 519

nierons ; et désignant par les lettres Q et Q^ ce que devient après ces substitutions le produit des fonctions

pfdrcos{%y>^{u^^x){y—y).%itir) et sin-,.

nous aurons

"+5^ TXT + "'• =fj—j^^-i^M^i',yyy.

Tintégrale relative à q étant prise depuis ^=0 jusqu'à j^=t. Mettant dans cette dernière expression ^{^Xyy^ au lieu de 4(*>y)> P^^r 7 tenir la place de ^^ et difFérentiant par rapport à r^ il viendra