SM

■^•\-T-j +etc.= .

dudv lit. dt

et enfin

àq-\{x^y)ixiy

U est aisé de voir que chacun des termes de ce résultat renferme implicitement quatre intégrations successives. Nous donnerons plus bas une autre manière de satisfaire , avec des intégrales définies ^ à réquation

d^ \dx^ dy^r

. xi34« Dans le Mémoire cité au n\ 1109; Laplace, après avoir obtenu des séries qui donnent les valeurs approchées des Ppï<»^ûacf intégrales dans lesquelles entrent comme exposans des nombres très- T '

grands , développe une méthode pour ramener à des intégrales définies rhitégradoiT^dct les fonctions déterminées par des équations aux diflPérences. Voici *5««^on» aux dîf«

„ . - ^ , , j ' fércnccs et iiSbt

lesprit de cette méthode. remîelles.

Soit l'équation du premier degré et d'un ordre quelconque aux différences

-S:=-^j..+5 Aj^,+ Ca>,+ etc (i) / .

*Vlans laquelle Ay B^ C ^ etc. représentent des fonctions rationnelles

are , — , x€ —7-7, •*« y-s, etc.

510 Ch. m. Application DU Calcul INTÉGRAL

et entières de la variable x , et peuvent être mis par conséquent sous Tune ou l'autre de ces formes ( n*. 903 ):

^=tf4.tfjA:+tf,x*+etC. ; -«^=tf+tf,M+iî.[ji:] + etC.

5=^-1- ^^:ir+*.x*+etc. 5— *+*iW+*.M+etc.

Dans le premier cas on fera y=zfr^vdu\ on supposera que les limites de l'intégrale soient indépendantes de x^ v étant une fonction de u seul , et il en résultera

A>',=/«""*'( «■"— i)vdu, AV.=/e"'"( «"*-r I yvdu , etc. S) y pour abr^er , on fait e~1*= « , on aura

et substituant dans Téquation (i) ces expressions , ainsi que les précédentes y on obtiendra

«(tf + *(r'*~i)+c(e-''*— i)»+etc.)

etc.

Dans le second cas , on fera y^rzfu'vdu , «*= «ty <^Q aura par conséquent

CxK=«~, M«-=«-— ,etc.

etc.

Ce résultat et le précédent sont compris dans la formule

x=/.M^«+^^+^ê+<20 + etc.},

A LA Théorie des suites. 521

M^ N j P ^ Q^ etc. étant des fonctions de a seul. Comme ce n'est que dans a que se trouve la variable x , on peut la faire sortir entièrement du signe /en intégrant par parties ( n"*. 361 ) , et Ton aura

*• du dt^ dur. *

d(Pv) ^(Qv)

+ conse.+ M,[Nv V"-^"< — TT^ "^ ^*<^- }

du du '

dA / ^ ^(Qv) '

{Qv— etc.}

du'

+ etc.

Maintenant puisque la fonction v est indépendante de jp , il faut que la partie soiHnise au signe d'intégration dans l'équation ci-dessus ^ soit nulle par elle-même ^ ce qui fournit l'équation

4{Nv) £{Pv) AQv) J

pour déterminer la fonction f ; et il restera ensuite à satisfaire à réqùation

Xs=ieonst.^- « {Nv ^ — -+ \\ / — etc.}.. (3)

•*-^{Q''— etc.)

+ etc. '

qui fera connoitre les limites de rintégrale/<«y^£r:

Il est à remarquer que l'équation (i) est précisément celle qui exiprime les conditions d'intégrabilité de la fonction différentielle

.^«{iM*+N^ + P^.+ Qg + etc.};

V peut donc être regardé comme le facteur qui rend intégrable l'iquation

3l. + ^^ + />^ + Q^+etc. = o Jfftttdice, ^ Vyy

52Z Ch. III. Applica tion du Calcul intégral

de Tordre immédiatement inférieur à celui de l'équation (i) ; et il est facile de voir que Tordre de celle*ci dépend du degré oh montent les puissances de x dans les coefficiens de la proposée (i).

Pour montrer comment on doit employer Téquation (3) , nous supposerons d'abord que Ton ait X =0 ; et supprimant la constante ^ il faudra que ce qui restQ de Téquation s'évanouisse , lorsqu'on y substitue pour u les deux valeurs relatives aux limites de Tintégrate /et V du. On remplit une fois cette condition en donnant à u une valeur qui fasse évanouir in même tems les quantités

d(t d^tt

savoir : u infini lorsqu'on prend a = e"**', et «=o quand «t=K*; mais c'est au moyen des constantes arbitraires qui entrent dans Texpression de v ^ que Ton obtient la seconde limite , en déterminant ces constantes y de manière que chaque ligne de Téquation ( 3 ) «'évanouisse d'elle* même : on obtient ainsi un nombre d'équations

Nv V-^+ j. -— CtC.:i=:0

du dur

Pv IJE— l+ctC. = 0

du

Q — etc. = o etc.

égal à celui des constantes. On éliminera toutes ces constantes ,. à l'exception d'une seule ; les valeurs àtu^ tirées de Téquation finale , seront autant de limites de l'intégrale f^y du\ on les introduira dans les expressions des autres constantes , et on en déduira un pareil nombre de valeurs de v , que nousreprésenterons par v\ v", r"', etc. Par ce moyen on aura successivement les expressions

y =/« v^duy y =/* v'^du , y =^fé, v^'d u + etc.

qui satisferont à la proposée » et comme elle ^t du premier degré par rapport à la fonction j^ et à ses coefficiens différentiels , on pourra faire

y —A'ffL Vdu +^7* vUu +jya v"du + etc. A' y A", A"'^ etc. étant des constantes arbitraires , et toutes les inté-

A LA Théorie des suites. 523

grales ayant pour une de leurs limites la valeur qui rend <t et ses coefficiens différentiels nuls , et pour l'autre les diverses valeurs de u déterminées d'après ce qui précède.

On sent qu'il y auroit Heu à des discussions délicates et nécessaires sur la possibilité de déterminer u , sur le nombre et la nature de ses valeurs, circonstances desquelles dépend le succès de la méthode et la généralité des résultats ; mais on ne peut ici que les indiquer comme objet de recherches.

Lorsque X n'est pas nul ^ il faut premièrement que cette fonction puisse être ramenée à la forme que prend le second membre de l'équation (3) après la substitution de l'expression complète de v , afin qu'en comparant de part et d'autre les termes semblables par rapport à jt, on puisse obtenir des équations qui ne renferment que u et les .constantes arbitraires introduites par Tex pression de r« C'est par ces équations qu'on déterminera comme ci-dessus les limites de Vitïtégràle fdvdu ; mais on ne pourra pas dans le cas actuel multiplier chacune des valeurs particulières de^ par une constante arbitraire , et Laplace propose en conséquence d'^a jouter à la somme de ces valeurs l'expression de ^9 dans le cas où x=:o ^ ce qui satisfait évidemment à l'équation proposée, puisque cette partie fait évanouir par lui-même le second membre de l'équation (3).

Il est visible que l'esprit de cet^e méthode consiste à donner à l'expression dt^y une forme telle que l'on puisse, après la substitution dans réquation plToposée, rendre entièrement indépendante de X la partie qui demeure soumise au signe d'intégration ; elle peut s'appliquer â un système d'équations du premier degré aux différences , entre un nombre quelconque de variables » et en ramène l'intégration à c«lle d'un système d*équations différentielles du premier degré , mais cette dernière est le plus souvent sujette à des difficultés aussi grandes que celle du système proposé.

1135. Lorsqu'on n a qu'une seule équation du premier degré aux différences , l'ordre de l'équation (2) dépendant du plus haut ex^ posant de la variable a;, il en résulte qu'on ne peut guères résoudre généralement que celles où cette variable ne pass« pas le premier degré, et que l'on peut représenter par

Ç24 Ch. IIL Application du Calcul intâgràl

y eîT étant des fonctions du premier degré de y^ et de ses dîffiJrences. La supposition de y=fcivdu,^ conduit alors à des résultats

de la forme

d(Nv) Mv^^-^ — ' = o , const. + ttNy = oi du

ru ^

A' ^ le premier donne y = — - ^ \ Â étant une constante arbi*

■«▼ traire^ et le second conduit aux ligiites de Tintégrale. Prenons pour exemple l'équation du premier ordre

En y supposant j^,=/«*v du y ou«=i^, on obtiendra

du

d'oU l'on déduira y-ss-A'r^y puis l'on aura -<<'«*^'«"""= o > ce qui peut arriver de deux manières , i"". lorsque u = o ^ i""* lorsque u est infini ; on aura donc yy=^Afr^îfdu , l'intégrale étant prise depuis tt = o jusqu'à u infini

Nous sommes retombés ici sur un des résultats du n^, 1 1 lO ; car l'intégrale de l'équation j^^^j— ( at + 1)^^=0, est

1 136. La méthode que nous venons d'exposer convient aussi aux équations di^entidles : Laplace le montre siur Téquation trà$» générale ,

La supposition de^«=:/<ev</«, et de «=<'"% conduit dans ce cas à

r«(a fl'tf4.flV— a'V+etc.) J A''«|-£f(^-.^'«+iV-etc.) |-=*»'

A LA Théorie des suites. 525

et nntégration par parties fournit les deux équations

d.v(b--b'u+ * V— etc. )

V { a'^a'u+a''u*—af''if^+ etc.} +

«-»'v ( * — i'u+ h"u^^ etc. ) = 0 ; la première étant de la forme

du

donne

,^ d.vN Mdu Ndv+vdN

vM+— — = 0, ou -Tp+ 7j =0,

du N JNv

r Mdu

^, pHdu V ^ ^ ^

l'équation des limites revient à t'^vN^^o : elle est satisfaite lorsque il est infini j et par toutes les valeurs At u^ qui font évanouir la fonction iST^ ou qui sont les racines de Téquation

b — b'u + *V— etc. = o ;

ces valeurs étant désignées par m\ m'\ etc. on aura

yz=zjiyuvdu+A''fAvda+A''^favdu + etC.

en observant * de prendre la première intégrale , depuis. 2^ = ;7i^> jusqu'à u infini ^ la seconde , depi^is u = m^ jusqu'à u infini , et ainsi de suite.

II 37. Si l'on représente par

une équation dans laquelle SjT^ V^ soient des fonctions du premier degré par rapport à i^^^ et à ses différences partielles'^y ou à ses différentielles partielles, et qu'on y fasse {,,y=»/^«^v^r, on obtiendra un résultat de la forme

ffv?vdt{M'\'îJx'\'Py^=^o^

M, N , P ^ ne contenant que les variables t et u. Pour lui donner

la forme fvdtX M'a + -^^ T" | > ^^ ^^"^ regarder 1^ et v comme des

fonctions de r, et observer que

d.fv? ^ fx ydu\ dt \t udtJ

526 Ch. III. Application DU CALCUL ihtègral

X Py X y d il

faisant alors t*u^=Ltt^^ et posant — |---i- = -+'^— - ,

/ Ni t udt

. , P du du Pdt

e'cst- a-dire , —-=-—, d'oii il suit — =-- — , on aura

ivr udt u Ni

fvdA Af* + JV/ — [ =z=o.

En intégrant par parties , on obtiendra

dfNiv)

Mv — i — = 0, A^rv«t = o.

' dt

L'expression de v ^ tirée de la première de ces équations ^ ne con** tenant point de fonction arbitraire , né donnera qu^une valeur parti* culière de la fonction [ ; mais, on peut y introduire^ une fonction arbitraire de la constante que doit renfermer l'expression de u tirée de

du Pdt l'équation différentielle — =r— — ', et pour cela il faudra , en désignant cette constante par &, supposer [^=zfft'i^v^{ti)dtde». Il est facile de s'assurer que cette formule satisfera aussi à l'équation . proposée ; les limites de^ l'intégration relative à a n'étant assujetties qu'à la seule condition d'être indépendantes des variables x et y. Celles de l'intégration relative à t doivent se déduire de l'équation A^/ret = o, et chacune des valeurs de / en « donnera pour l'expression de [ un terme dans lequel on pourra mettre une fonction arbitraire distincte de celles qui entrent Aans les autres.

1138. Ces rechercheç présentent un moyen très-simple et trèsremarquable de satisfaire au g équations différentielles partielles à ' coefEciens constans ; il sufEt pour cela , si la fonction [ ne dépend - xjue de deux variables , de prendre ['=^fn'py<p{p)dp ^ 9ip) désignant une fonction arbitraire. En effet , on a

-S. =fn'pf\ np{p) dp^ -^ ^fn'p,\p fCp)Jp,

%=fn'py{\ny^{p)dp, P:^fn'pyCpyfip)dp,

dx' ' "^ ^ / Tvr/ r , jy

dxdy

-fn'py{\n){yp)^{p)dp'.

A LA Théorie des suites, 517

en substituant ces valeurs dans l'équation

elle deviendra

et sera satisfaite si

A {Uyj^ B{\n){\p)'^C{\py'¥E\n+F\p + G =0.

On tirera généralement de celle-ci deux valeurs del/z; si on les désigne par \P et IP', on aura

i=/P'p^9(p)dp+fF'pTp{p)dpi

les limites de p doivent être indépendantes de ^ et de j^ ^ mais sont dViUeurs arbitraires.

Il est visible que le même procédé peut s'appliquer à toutes les équations du premier degré de qudqu'ordre qu'elles soient , pourvu qu'elles n'ayent point de terme indépendant de { , ou de ses coefficiens difiërentiels. Une modification facile à trouver , suffit pour le rendre applicable aux équations du même genre qui contiennent plus de trois variables ; nous prendrons pour exemple Téquation

et nous y satisferons au moyen de l'expression

qui donne ,\

■^^ffm'n'fir{\myf{n,p)dndp

^. ^ff'n'iirjir{\nYp in,p)dndp

§^.^ffm'f^py{\prf{n,p)dndp,

et conduit par conséquent à

JJ'm'nY*{n,p)dndp {{\my^a*{{\ny^ {XpY)} =:o, . Nous déterminerons m en posant

flS' CH. III. ApPirCATlON DV CAtCVL INTÉGRAL

d'où il suit

et nous conclurons de là

+ ffc-""^^"'^'+^'Pyn'pr^{n,p)dndp.

Ces solutions beaucoup plus faciles à obtenir que celle du n*. i<33 f paroissent aussi plus simples à beaucoup d'égards ; ce seroit une chose importante que de discuter leur généralité comparativement à celle des autres , et même à celle des intégrales exprimées immédiatement par les variables de Téquation ; mais y comme nous l'avons remarqué 9 n"". 761 , 765, il reste encore bien des difficultés à éclairdr dans la Thébrîe des équations différentielles partielles.

1 139, On aura aussi par des intégrales définies les différences , les différentielles et les intégrales de toute fonction 9 qui dépendra d'équations > soit aux différences , $oit différentielles ^ intégrables par les méthodes précédentes ; car cette fonction étant exprimée par des terme de la forme A'fuTv du, on A'fr^vdu ,

^^ = jrfu'vdu{lu)\ Ly^^À'Jifvdu{u^iY

ou bien

£y^ = ( — I yj'fe-*'u*v du , t,*y,—Aft-^vdu (e"»— i)';

les intégrales rys^^j ^ ^>*i se déduiront de ces formules ea rendant négatif l'exposant n.

Kotts prendrons pour exemple la fonction — , qui est l'intégrale

•dy ^e réquatîon xj-^my-^o.

Cette équation étant traitée comme celle du n"". précéd. o^ en tire

d.vu du

A LA Th é 0 R I E DES SUITES. 5x9

et les limites de Tintégrale seront if=o et u infini. La constante devant être telle que la fonction se réduise à = 1 , lorsque :i;=3 1 , et rint^ale définie devenant zlors /r'^u'^^du , il en résulte

L'expression que nous venons d'obtemr peut être employée à trouver les différences ^ les différentielles et les intégrales à indicée

fiacdonuaircs de la fonction — ;; ( n*. 1074 ) ; on en tire

«" fu'^'T'^du

en y changeant le signe de /» , on aura t^.o^. Lapface s'est particulièrement attaché à déterminer ces fonctions par des séries convergentesy et il a donné sur cela des détails où Ton .ne sauroit entrer ici*

Apptndiu. Xkx

530 Ch. IV. Dms i<iuAtiONS