i) -Ma 8 x-h 9 x(x — i

(4) m^=in} — n — 2t — 3i,

I28=/l(/l — 2)(/i* — 9) -2(/l«— /l— 6)(2T — Si) -f-4T(x — l)-hI2Tt-h9l(l — l).

Si,enlreleséquations(i)et(a),nous éliminons 8, ou bien si entre les équations (4) et (5) nous éliminons t, nous arrivons dans les deux cas au même résultat

Ceci démontre que nos équations sont équivalentes à trois équations seulement. Ce résultat peut aussi s'écrire sous les formes suivantes :

3/71 — x=:3/i — i, ou bien 3 m -+- i = 3 /i-h x.

Retranchons membre à membre les équations (i)e! (4), nous

obtenons

el, si nous remplaçons (i — x) par sa valeur déduite de (7), nous avons

(8) 2(x — 8) = (/i— m)(/i-hm — 9).

L'avant-dernière équation, où l'on remplace n et i ou /; et X par leurs valeurs, donne les équations précédenleh (3) et (6).

Des équations (7) et (8) nous déduisons aussi <9) im(/»-f-3)— 0 — 2x=|/i(/i-h3) — T— 21,

(il) rn} — 2 8 — 3x1= «-— 2x — 3i = m -H /i.

Le système entier de ces équations équivaut par le fait à trois équations seulement; étant données trois quelconques des six quantités m, n, S, x, t, i, nous pouvons, à Taide de ce système, déterminer les trois quantitésVestantes; par exemple, connaissant m, 8, x, nous calculerons n par (i), i par (a) ou plus facilement par (7) et T par (3) ou plus facilement par (8).

Exemple, — Supposons qu*on nous donne m = 6, 8=4,x=6; alors, d'après ( i ), n = 4 î par suite, m — /i = 2, n — m = — a; donc

(5) t — X = 6 ou i = o,

n-»- m — 9 = I ; par suite t — 5 = — i , donc t = 3.

83. Quand une courbe est donnée, sa réciproque est déterminée par là-méme; il est donc évident que le même nombre de conditions doit suffire pour déterminer chacune d'elles. Sa voir qu^une courbe a S points doubles équivaut à S condition s . Par exemple, une conique est déterminée par cinq conditions ; mais si elle a un point double, c^est-à-dire si elle se réduit à un système de deux droites, elle est déterminée au moven de quatre conditions seulement, par exemple au moyen de deux points situés sur chacune des droites. De même, quand on sait qu'une courbe a un point de rebroussement, ceci (^uivaut à deux conditions. Donc (n®S7) une courbe du /?i**"»* degré avec S points doubles et x rebroussement s est déterminée par \ m{m + 3) — 8 — ax conditions et sa réciproque par i n(n + 3) — t — 21 conditions. Et Téquation précédente (9) montre qu'en effet ces deux nombres sont égaux.

L'équation (10) trouvée ci-dessus démontre que ladéficience ou le genre (n® 44) est le même pour une courbe et sa réciproque. Dans un prochain Chapitre nous ferons voir que cette proposition est vraie pour toutes les courbes dérivées les unes des autres, de telle manière qu*à un point de Tune il ne corresponde qu'un seul point ou une seule tangente de l'autre.

Si (avec M. Cayley) nous posons

3/n-4-t=:3/i-}-x=za,

PR0PEIÉTÉ8 GÉIIÊRILKS DBS COL'RBES. 96

nous pourrons tout exprimer au moyen de (m, /i, a) et nous

aurons

xr= a — 3/1,

Dans le Chapitre suivant, nous apprendrons ce que sîgniGe Téquation (ii).

96 CHAPITRE m.

84. Si une courbe dépend d'une manière quelconque d'un seul paramètre variable, de telle sorte qu'en donnant à ce paramètre une suite de valeurs nous ayons une suite de courbes, toutes ces courbes sont tangentes à une certaine courbe qu'on appelle Venveloppe du système. Chaque courbe est coupée par la courbe consécutive en un certain nombre de points qui dépendent du paramètre, et le lieu de ces points est l'enveloppe. (Voir Sections coniques, ti? 283 . . ., où le problème des enveloppes a été traité dans le cas où la courbe variable est une ligne droite.) Analytlquement, l'équa- . tion de la courbe peut contenir un seul paramètre variable, ou bien elle peut en renfermer deux ou plusieurs liés par une ou plusieurs équations, de manière qu'il ne subsiste effectivement qu'un seul paramètre réellement variable. Ces deux cas sont essentiellement équivalents -, toutefois il est souvent avantageux de traiter le second d'une manière diffét^ente, en faisant usage de la méthode de multiplicateurs indéterminés que nous allons exposer. La forme sous laquelle le second cas se présente le plus fréquemment est celle où l'équation d'une courbe contient les coordonnées d'un point variable, astreint lui-même à se mouvoir sur une courbe déterminée; ou, en d'autres termes, c'est le cas où la courbe variable dépend d'un point paramétrique qui se meut sur une courbe paramétrique donnée. Par exemple, on a montré (Sections coniques, n° 321) que le problème consistant à former la polaire réciproque d'une courbe donnée par rapport à x^ +y^ -+- z^

est le même que celui où il s'agit de trouver l'enveloppe de a P -H PjK 4- yXf «> P) Y ^^vant vérifier l'équation de la courbe donnée. Ici l'équation de la droite variable contient les deux paramètres variables cl : ^, ^ : ^^ et ces deux rapports sont liés par l'équation de la courbe donnée.

85. Supposons d'abord que l'équation de la courbe, que nous représenterons par T = o, ne contienne qu'un seul paramètre variable t. Les courbes qui correspondent aux valeurs consécutives t, t-\-dt peuvent être représentées par les équations T = G, T| = o. Ces équations, ou les équations équivalentes T = o, T| — T = o, déterminent par conséquent les coordonnées des points d'intersection des deux courbes consécutives. Nous avons

T, = T -^-dtTdt-^- ...

ou bien

Ici; dt étant un infiniment petit du premier ordre, les termes qui suivent le premier peuvent être négligés. Les équations deviennent alors T = o, rfT = o; elles déterminent un système de points qui dépendent du paramètre t ; si donc nous éliminons t entre ces équations, nous obtiendrons l'équation du lieu de tous les points d'intersection des courbes consécutives du système, c'est-à-dire l'équation de l'enveloppe.

Un cas important à considérer est celui où l'équation est une fonction rationnelle de t\ nous pouvons alors, sans nuire à la généralité, prendre pour T une fonction entière en même temps que rationnelle par rapport à /, et le procédé qu'on vient d'indiquer pour trouver l'équation de l'enveloppe revient à former le discriminant de T considéré comme fonction de t et à l'égalera zéro. Par exemple, si a,b^ c^ ... sont des fonctions quelconques des coordonnées, et si T est l'expression

S. — Courbes planes, ^

les équations de Tenveloppe pour les cas qui se reDcontrenl le plus souvent, à savoir n = 2, 3 et 4» sont respectivement (Alg. Slip., n~ 193, 195, 207)

(0 ac — 6*=:o,

(3) a*t/« -h 4 ac' H- 4 b'^d — Ç^abcd—Zb^c^ziiio,

(4) (ac —^bd-^ 3c*)» — 27 (ace -^ 2 bcd-^ad^—b-e — r*)'— o.

Prenons la dernière de ces équations et supposons que nous voulions connaître son ordre en fonction des coordonnées et que nous sachions d^avance à quel degré elles figurent dans 6, a, ... ; il sera alors utile de nous rappeler que, lorsque Téqualion est développée, les termes contenant c^ et c* bd peuvent se réduire, en sorte qu'il pourra arriver que Tordre de l'enveloppe soit moindre que celui de Tun des deuK termes qui constituent l'équation ci-dessus.

Si nous introduisons dans T les coordonnées d'un point quelconque et si nous résolvons l'équation résultante par rapport à ty

nous aurons évidemment n solutions; autrement dit, le système des courbes représenté par T est de telle nature que Ton peut déterminer n d'entre elles de manière qu'elles passent par un point fixe ; et, d'après ce qu'on vient de dire, il est clair que, si le point fixe est sur l'enveloppe, deux de ces courbes coïncideront.

Le cas où T dépend d'un point paramétrique peut se ramener au cas qu'on vient déconsidérer, si la courbe paramétrique est une droite, une conique ou une autre courbe unicursale; en effet (n® 44), les coordonnées du point paramétrique peuvent s'exprimer sous forme de fonctions rationnelles d'un paramètre.

Exemple i. ^~ Trouver l'enveloppe de af^àz btP -^ c = o; ici, comme dans les autres exemples, nous supposons que a, b,. , . sont dei fonctions quelconques des coordonnées.

(Combinons l'équation donnée avec sa dérivée par rapport à /; nous avons

naf^-P-^-pb = o, (/i ^p)btP -h ne = o,

et, en éliminant t, nous obtenons

n'^aPC^-PûzpP^n — /?)'«-pJ ft» = o.

Nous devons ici prendre le signe + quand n est impair et le signe -^ qaand il est pair.

Exemple 2. — Trouver Venveloppe de a cos'»6 -+- ^sin^O = c, 0 étant le paramètre.

Nous avons

- dsT — — a cos*»-* 0 sin 6 -h ^ sin"-* 6 cos 6 = o, n "

d'où langO = ^ — , cos

-^— — /Ti: — j: I -?- jlz

Portons ces valeurs dans l'équation trigonométrique connue et efl'ectuons les réductions, nous trouvons pour l'équation de l'enveloppe

En particulier (Sections coniques, n** 283), l'enveloppe de

acosO -t b sinO - c est a'H- 6* = c*. Réciproquement, toute tangente à la courbe

xffi -^ jr'n --- c'" peut s'exprimer sous la forme

arcos '" 6-f-^sin '" 0 = c et les coordonnées du point de contact sont

se — c cos'" 8, y = c sin ''' 0.

On aurait pu présentée cet exemple comme un de ceux où une enveloppe dépend d'an point paramétrique situé sur une courbe unicarsale. En effet, si nous pospDS cos 6 = a, sin 6 =s ^, les quantités a,

•lOO CHAPITRE III.

P sont alors les coordonnées d'un point situé sur le cercle a* + p< = i et, comme, le cercle est une courbe unicursale, ces coordonnées peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramétre.

Par exemple, si t est égal à cos 0 + i sin 0, nous pouvons remplacer :!t ou cos 6 par «(^H — jetpousinO par — . ( ' — - ) • Si nous prenons comme exemple l'équation aoL-\- b^ = c, elle devient

(a — 6i) «*— ac<-+-(a-h ftt) = o, et son enveloppe, déterminée comme on l'a dit plus haut, est {a-^-bi){a — ôt) = c* ou a* H- ft* = c*.

Si nous voulions éviter les imaginaires, nous pourrions poser tang7Ô = t et (comme dans les Sections coniques, n** 283) exprimer costt et sinO rationnellement en fonction de t.

Exemple 3. — Supposons que la courbe soit

acos26H- 6sin20 -+- c cos6 -^ rfsinO -4-^ = 0.

Posons / = cos 6 -+- tsinO : cette équation devient

ou bien

(a — bi) <* -f- (c — di) <» -¥■ aet» -H (c -t- di) « -h (a -H bi) = o.

Et en appliquant ici la formule donnée précédemment pour le discriminant d'une forme du quatrième degré dont les termes sont affectés des coefficients du binôme, nous aurons

[at ^ 6« - i (c* -h rf«) + i e« ]> = 27 [i («* -^ *') « -^ ïV (c* -+- rf*) «

ou, en chassant les dénominateurs,

[i2(a* -h 6«) — 3(c«-t- rf«) -4- 4 «M* = [7î»{«' + *«) <5-H 9 (^' ■+- ^^') «

— a7a{cï— rf«) — 54^crf— 8«'J«.

Ici encore il est utile de remarquer que le résultat développé ne contiendra aucun des termes «•, (c* -h rf*)e*.

ExEMPUt^. — Trouver V enveloppe des cordes de courbure des points 4fW^ conique»

ENVELOPPES. :Ol

L'équation de la corde est (Sections coniques, n* 244, £x. 1)

- cos a — X sin a = cos 2 a ; a o

son enveloppe esr donc

E\EiiPLE O. — Trouver Véquation de la courbe parallèle à une conique, c'est-à-dire de la courbe obtenue enportant sur chaque normale à la conique, et à partir de cette courbe, une longueur constante égale à r.

On a déjà résolu ce problème (Sections coniques ^ n^ 372| Ex. 2) en considérant la courbe parallèle comme le lieu du centre d*un cercle de rayon constant tangent à la conique donnée. Mais il est facile de voir que la courbe en question peut aussi être considérée comme Tenveloppe d*un cercle de rayon constant dont le centre se meut sur la conique donnée; autrement dit, nous aurons à chercher l'enveloppe de

(a: — a)iH-(j — P)t — r^ = o,

quand le point paramétrique est situé sur la conique; et comme cette dernière courbe est unicursale, le problème se ramène au cas qu'on a déjà discuté. Supposons que Téq nation de la conique soit

et remplaçons a par a cos 6, ^ par 6 sinO ; Téquation

«« -+- p« — aaa? — 2 P^ -r- ar* -4-^* — r* = o devient (a* — 6*)cos26— 4ad?co59 — 46/8in6-4-2(j7*-l-j'*)-»-a*-f-6* — r* = 0.

Celte forme se trouve comprise dans le cas traité dans le dernier exemple; en procédant d'une manière analogue, nous obtiendrions un résultat dont le développement est identique avec celui qui a été donné dans les Sections coniques, n** 372.

86. II convient d^étudier plus attentivement le cas où T est une fonction algébrique par rapport à /, et où cette exprès-

sion renferme les coordonnées courantes au premier deg^ré de manière à représenter une ligne droite ; il s^agira donc dans ce cas de trouver Tenveloppe de

a/" ■+- nfW^-^ -h. . . ,

où a, b, Cf , • • sont des expressions linéaires par rapport aux coordonnées. Dans ce cas, Tenveloppe est évidemment une courbe de la n^ "• classe, puisque (n®85) on peut, par un point pris arbitrairement, lui mener n tangentes; et, comme le discriminant de ar + . . . est de l'ordre 2 (ai — 1 ) par rapport aux coefTicients a, 6, ... {Alg.sup., n** 105; qui contiennent chacun les coordonnées au premier degré, l'ordre de l'enveloppe est 2(71 — 1). On peut obtenir facilement deux autres caractéristiques de l'enveloppe. Ordinairement elle n'a pas de points d'inflexion ; car, en un pareil point, deux tangentes consécutives coïncident, et par suite T = oet€/fT=odoiventreprésenterlamémedroite. Mais, pour que deux équations linéaires puissent représenter la même droite, elles doivent satisfaire à deux conditions; et il ne sera pas possible, en général, de déterminer le paramètre unique t dont nous disposons de manière à vérifier ces deux conditions en même temps.

Le nombre des points de rebroussement de l'enveloppe est 3(/i — 2). De même que la tangente en un point d'inflexion d'une courbe contient trois points consécutifs, de môme réciproquement un point de rebroussement est le point d'intersection de trois tangentes consécutives. Donc, pour un point de rebroussement de Penveloppe, les trois équations ï= o, diT = 0, rf^T= oseront vérifiées en même temps; on peut facilement ramener ces conditions aux suivantes :

Tn = a/«-»-i-(/i — 2)6/«-»-h4(/i--2)(/i — 3)c/»-*4- . .. =0, Ti, = 6/*-* -h (n — 2) c/«-' -hi (n — 2)(/i — 3)é/^«-* + . . . =0, Tj, = ct"-^ -H (/i — 2)^/»-' -^ ; (/i — 2)(/i — 3)e/'*-* 4- . . . =0,

BNVEL0PPE5« lo3

T,nTi3, Tas étant les trois quotients difTérentiels du second ordre de T considéré comme une forme binaire rendue homogène par rintroduction d'une seconde variable. Si entre ces équations nous éliminons maintenant x ety qui entrent au premier degré dans chacune d'elles, l'équation résultante en t sera du degré 3(/i — a). Si nous écrivons T sous l;i forme xV -+• y\ -+- z W, les quantités U, V, W ne contenant que t et des constantes, nous avons évidemment le détermî< nant

Un Vh W„

Un V„ W., =o,

qui nous donnera les valeurs de t correspondant aux 3(/i — a) points de rebroussement.

Le problème qui a pour objet de trouver le nombre dr points doubles de l'enveloppe est le même que celui où il s'agit de déterminer l'ordre du système de conditions pour que T ait deux couples distincts de racines égales {Alg. sup-y n^ 264) et le problème où l'on cherche le nombre de tangentes doubles revient à celui où il faut trouver l'ordre du système de conditions pour que T représente la même droite pour des valeurs différentes de t\ en d'autres termes, il s'agit de déterminer de combien de manières nous pourrons trouver an couple de valeurs ^, if^ qui nous donnent l'égalité de rapports

Mais nous n'avons pas besoin de traiter ces problèmes directement, puisque les équations de Plucker (n^ 82) nous (oumissent déjà plus de conditions qu'il n'en faut pour déterminer 8 et T. Si donc nous écrivons dans ces équations que a(/i — i) et n sont l'ordre et la classe de la courbe en question et si nous y faisons i= o, nous trouvons

87. Considérons mainlenant le cas où Téquation renferme ^ paramètres liés par k — i équations. Pour fixer les idées, supposons qu'il s'agisse de l'équation U = o, contenant les trois paramètres a, p, y liés entre eux par les deux équations V = o, W = o. Nous pouvons, si nous voulons, regarder p et Y comme des fonctions de a, définies par ces deux équations V = o, W = o. Le procédé, dans sa forme originale, consisterait donc à éliminer a entre les équations données et

t/U d{} d^ d[] dy da ap doL d^ da.

. d^ dy Ici 77" et ^ sont des fonctions de a définies par les équations

rfV dV

'di "^rfp

di

doL ■

dW dW da ' rf?

d^ doi

rfW

doL

Ces trois équations nous donnent ^ = o, où

dV

da.

dV

dU

df

d\ dx

df

dW

rfa

rfW

dp

rfW df

et nous aurons le résultat final en éliminant a, ^, y entre U = o, V = o, W= o, V = o. Mais \7 = o est évidemment le résultat de l'élimination de X, pi entre les équations

dW

dV

dW

df

de sorte que le résultat cherché peut s'obtenir en éliminant a, p, Y, \ [X entre ces trois dernières équations et celles qu'on a données tout d'abord. C'est la méthode dite des multiplicateurs indéterminés à laquelle on a fait allusion

88. Le cas où U est homogène par rapport k k -{- i paramètres liés par A: — i autres équations homogènes présente une certaine importance. U se ramène en réalité au cas précédent, puisque les /: + i paramètres peuvent être remplacés par les rapports que l'un quelconque d'entre eux forme avec les k autres. Mais il est plus symétrique de garder toutes les A: + i équations que fournit la méthode des multiplicateurs indéterminés ; en vertu du théorème des équations homogènes, ces équations sont liées par une relation qui les rend réellement équivalentes à k équations seulement. Supposons, par exemple, que U soit une fonction homogène des coordonnées a, p, y d'un point paramétrique qui se meut sur la courbe paramétrique V = o ; outre les deux équations primitives, la méthode des multiplicateurs indéterminés nous donne

dU ^ dW dV ^ d\ dV , dW

du d% d^ dp d^ d^

Mais ces trois dernières équations n'équivalent réellement qu'à deux, puisqu'en les multipliant respectivement par ï, P, Y nous aurons mU4-X/iV = o, et cette relation résulte implicitement des équations U=o,V = o. Nous avons ainsi quatre équations ; en raison de leur homogénéité, nous pouvons éliminer entre elles les quatre quantités *î ?i Y, y^ et obtenir de cette manière l'équation de l'enveloppe,

ExBUPLB. Trouver l'enveloppe de

U = (Aa)'» -+-(Bp)'» -4- ( Cy)"» = o,

a, p, Y étant liés par la relation

V = (aa)»-i-(6?)''-f.(cv)«.

La méthode des multiplicateurs indéterminés nous donne

tn A'" a"*-' -^ X na*^ ««-» = o, m B"» P'«-i H- X /i6» P"-» = o, m C"» Y'"~* -»- ^ '^c" Y*~' = ^>

Pour abréger posons — = — p.'»-'», il vienl

Portons ces valeurs dans U, et nous avons l'équation de Tenveloppe cherchée,

mn ma m u

89. M. Cayley a considéré le cas où il s'agit d'une courbe U = o dont l'équation contient deux ou plusieurs paramètres indépendants. Supposons, par exemple, qu'il y ait deux paramètres a et [3; éliminons ces quantités entre les équations

^U cm

et nous aurons l'équation d'une enveloppe. Mais remarquons qu'entre ces mêmes équations nous pouvons éliminer les coordonnées [^^y) et que les équations impliquent ainsi une relation ^(a, ^) = o entre les paramètres. Ceci nous donne dans le double système de courbes U = o un seul système où les paramètres vérifient cette relation. Si nous prenons une courbe quelconque du système double et la courbe consécutive qui correspond aux valeurs a + rfa, p + rfp des paramètres, ces deux courbes se couperont suivant un système de points qui dépendra en général de la valeur du

rapport d^ : da. des accroissements infiniment petits des paramètres. Mais, si la courbe appartient au système simple, le système de points sera indépendant du rapport en question; les coordonnées des points d'intersection vérifieront les

équations U = o, -r-= o, -tô = o et conséquemment 1 équation U 4- -j— doL 4- -Tq- rf^ = o, quelle que soit la valeur du rapport d^ : doL. Et nous voyons ainsi qu^une courbe de la série simple est rencontrée par chaque courbe consécutive de la série double en un seul et même système de points et que le lieu de ces points est Tenveloppe. Dans le cas où il existe un paramètre unique, l'enveloppe est le lieu d'une suite de points situés sur chaque courbe du système, et on peut lui donner le nom d'enveloppe générale. Dans le cas où Téquation contient deux paramètres, l'enveloppe est le lieu d'une série de points qui ne sont plus situés sur chacune des courbes du système, mais seulement sur les courbes du système unique où les paramètres satisfont à Téquation (j)(a, P)= o; on peut l'appeler une enveloppe particulière. Une théorie semblable s'applique au cas d'un nombre quelconque de paramètres : il y a toujours un seul système résultant de courbes.

89(a). M. Cayley a donné l'explication d'une difficulté que Ton rencontre dans la théorie des enveloppes telle que nous Tavons exposée au n** 84.

Dans ce numéro, nous avons considéré une enveloppe comme le lieu des intersections d'une courbe variable avec les courbes consécutives du système. Mais chaque courbe a en commun avec la courbe consécutive un certain nombre de tangentes communes, qui dépend de son paramètre, et l'enveloppe de ces droites constitue aussi l'enveloppe ; autrement dit, chaque tangente commune à la courbe et à celle qui

lui est consécutive est une tangente à l'enveloppe en un point commun à ces deux, mêmes courbes. Or, si la courbe variable est de l'ordre m et de la classe /i, le nombre des points communs est égal à m^ et celui des tangentes communes kn^\ et cependant les points et tangentes communs doivent se correspondre entre eux deux à deux. L^explication de cette particularité dépend des singularités de la courbe variable. Supposons qu'elle ait en général 8 points doubles, x points de rebroussement, t tangentes doubles et i points d'inflexion ; on voit facilement alors que la courbe rencontre la courbe consécutive en deux points infiniment voisins de cbaque point double, en trois points infiniment voisins de chaque point de rebroussement (ce qui donne ainsi qS -h 3x points d'intersection) et en ouJre en m^ — 28 — 3x points; réciproquement, la courbe considérée et la courbe consécutive ont en commun deux tangentes contiguës à chaque tangente double, trois tangentes contiguës à chaque tangente stationnaire (soit ainsi 2 T -h 3 1 tangentes communes) et de plus elles ont encore ^2 — 2T — 3i tangentes communes; mais nous avons (voir n^'SS)

Chacun des m^ — a S — 3x points est (non pas un point de contact mais ) un point d'intersection ordinaire des deux courbes, mais il a dans son voisinage immédiat une des n^ — a T — 3 1 tangentes communes aux deux courbes ; el l'enveloppe est simultanément ainsi le lieu des m* — 28 — 3x (ou m-Hn) points, et l'enveloppe des n* — at — 3t (ou m -4- n ) tangentes.

Nous pouvons ajouter que l'enveloppe complète de la courbe variable se compose de l'enveloppe proprement dite, ainsi qu'on vient de l'expliquer, et en outre ; i* du lieu des points doubles compté deux fois; a^ du lieu des points de

G0U1BB8 lÉGlPlOQUBS. IO9

rebroussement compté trois fois; 3® de l'enveloppe des langeâtes doubles comptée deux fois et 4^ de Tenveloppc des tangentes stationnaires comptée trois fois.

Dans tout ce qui précède, les nombres m, /i, 8, t, x, t, se rapportent à la courbe qui correspond à la valeur générale du paramètre variable; pour des valeurs particulières de ce paramètre, la courbe variable peut acquérir ou perdre des singularités ponctuelles ou tangentieUes; les différents nombres subissent alors des changements en conséquence.